Class 9 Maths Chapter 7 – त्रिभुज

Class 9 Mathematics त्रिभुज Ex 7.5

हल : मान लीजिए ∆ABC एक त्रिभुज है।
इसकी भुजाओं AB और BC के लंब समद्विभाजक क्रमश: PQ और RS खींचिए। मान लीजिए PQ, AB को M पर समद्विभाजित करता है और RS, BC को बिंदु N पर समद्विभाजित करता है।
मान लीजिए PQ और RS बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं।
OA, OB और OC को मिलाइए।
अब, ∆AOM और BOM में
AM = MB [रचना से]
∠AMO = ∠BMO (प्रत्येक = 90°) [रचना से]
OM = OM [उभयनिष्ठ)
∴ ∆AOM ≅ ∆BOM [SAS सर्वांगसमता नियम

इसलिए, OA = OB [सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग] ….(i)
इसी तरह, ∆BON ≅ ∆CON
⇒ OB = OC [सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग] …(ii)
(i) और (ii) से हम देखते हैं कि
OA = OB = OC
अतः, ∆ABC की किन्हीं दो भुजाओं के लंब समद्विभाजकों का प्रतिच्छेद बिंदु O, इसके तीनों शीर्षों से समदूरस्थ है।

हल : मान लीजिए ABC एक त्रिभुज है।
∠B और ∠C के समद्विभाजक खींचिए।
मान लीजिए ये कोण समद्विभाजक परस्पर बिंदु I पर प्रतिच्छेद करते हैं।
IK ⊥ BC खींचिए।
साथ ही, IJ ⊥ AB
और IL ⊥ AC खींचिए।

∆BIK और ∆BIJ में,
∠IKB = ∠IJB [प्रत्येक = 90°]
[रचना से]
∠IBK = ∠IBJ [∵ BI ∠ B का समद्विभाजक है।
[रचना से]
BI = BI [उभयनिष्ठ]
∴ ∆BIK ≅ ∆BIJ [AAS सर्वांगसमता नियम]
∴ IK = IJ [सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग] …(i)
इसी प्रकार, ∆CIK = ∆CIL
इसीलिए, IK = IL [सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग] …(ii)
(i) और (ii), से हमें प्राप्त होता है।
IJ = IK = IL;
अतः, ∆ABC के किन्हीं दो कोणों के समद्विभाजकों का प्रतिच्छेद बिंदु I इसकी भुजाओं से समदूरस्थ है।

हल : स्टाल A, B और C से समदूरस्थ होना चाहिए। इसके लिए हम बिंदुओं B और C को मिलाने वाली रेखा का लंब समद्विभाजक l और बिंदुओं A और C को मिलाने वाली रेखा का लंब समद्विभाजक m खींचते हैं।

मान लीजिए l और m परस्पर बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। अब बिंदु O, बिंदुओं A, B और C से समदूरस्थ हैं। OA, OB और OC को मिलाइए।
उपपत्ति : ∆BOP और ∆COP में,
OP = OP [उभयनिष्ठ]
∆OPB = ∆OPC [प्रत्येक = 90°]
[रचना से]
BP = PC [∵ P, BC का मध्य बिंदु है।
∴ ∆BOP ≅ ∆COP
[SAS सर्वांगसमता नियम]
इसीलिए, OB = OC सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग] …(i)
इसी तरह, ∆AOQ ≅ ∆COQ
OA = OC [सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग] …(ii)
(i) और (ii) से हमें प्राप्त होता है।
OA = OB = OC
हम देखते हैं कि इन बिंदुओं को मिलाने से प्राप्त तीन भुजाओं में से किन्हीं दो भुजाओं के लंब समद्विभाजकों का प्रतिच्छेद बिंदु O ही वह बिंदु है जहाँ पर आइसक्रीम स्टाल लगाना चाहिए।

हल : षट्भुजीय रंगोली में : प्रत्येक 5 सेमी भुजा वाली समबाहु त्रिभुजों की संख्या

(i)

(ii)

5 सेमी भुजा वाली समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल (भुजा)²
(5) ² सेमी²
X25 सेमी²

षट्भुजीय रंगोली का क्षेत्रफल = 6 x एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल
सेमी²

सेमी²

1 सेमी भुजा वाली समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल
सेमी²
सेमी² …(ii)
षट्भुजीय रंगोली में 1 सेमी भुजा वाले समबाहु त्रिभुजों की संख्या = 150
…(iii)
अब तारे के आकार की रंगोली में
प्रत्येक 5 सेमी भुजा वाली समबाहु त्रिभुजों की संख्या = 12
इसलिए तारे के आकार वाली रंगोली का कुल क्षेत्रफल = 12 x (5 सेमी भुजा वाली एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल)

सेमी²

सेमी²

सेमी² …(iv)
तारे के आकार वाली रंगोली में 1 सेमी भुजा वाली त्रिभुजों की संख्या
[(iv) को (ii) से भाग देने पर]

= 300 ….(v)
(iii) और (v) से हम देखते हैं कि तारे के आकार वाली रंगोली में 1 सेमी भुजा वाली समबाहु त्रिभुजों की संख्या अधिक है।

Class 9 Mathematics त्रिभुज Ex 7.1
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