Class 9 Mathematics त्रिभुज Ex 7.4
हल : मान लीजिए ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें B पर समकोण है। हमने सिद्ध करना है कि कर्ण AC, सबसे लंबी भुजा होती है।
समकोण ∆ABC में,
⇒ ∠A + ∠B + ∠C = 180°
∠A + 90° + ∠C = 180° [∵ ∠B = 90°]
⇒ ∠A + ∠C = 180° – 90° = 90°
∠A + ∠C = 90°
और ∠B = 90°
⇒ ∠B > ∠C और ∠B > ∠A
जैसा कि हम जानते हैं कि त्रिभुज में बड़े कोण के सम्मुख भुजा बड़ी होती है।
AC > AB और AC > BC
दूसरे शब्दों में, समकोण त्रिभुज में कर्ण सबसे लंबी भुजा होती है।
हल : ∠ABC + ∠PBC = 180° …(i) [रैखिक युग्म]
∠ACB + ∠QCB = 180° …(ii)
[रैखिक युग्म अभिगृहीत]
(i) और (ii) से हमें प्राप्त होता है,
∠ABC + ∠PBC = ∠ACB + ∠QCB …(iii)
परंतु ∠PBC < ∠QCB (दिया है) …(iv) ∴ (iv) को (iii) में प्रयोग करने पर, ∠ABC > ∠ACB
अब ∆ABC में,
∠ABC > ∠ACB [ऊपर (iv) में सिद्ध किया है।]
∴ AC > AB [∵ बड़े कोण के सम्मुख भुजा बड़ी होती है।
हल : ∆AOB में,
∠B < ∠A [दिया है] या ∠A > ∠B
इसलिए, OB > OA
[∵ बड़े कोण के सम्मुख भुजा बड़ी होती है।]
∆COD में,
∠C < ∠D [दिया है] या, ∠D > ∠C
∴ OC > OD …(ii)
[∵ बड़े कोण के सम्मुख भुजा बड़ी होती है।]
(i) और (ii) को जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है :
OB + OC > OA + OD
⇒ BC > AD
या AD < BC [सिद्ध किया] 4. AB और CD क्रमशः एक चतुर्भुज ABCD की सबसे छोटी और सबसे बड़ी भुजाएँ हैं (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि : ∠A > ∠C और ∠B > ∠D है।
हल : दिया है : ABCD एक चतुर्भुज है। जिसमें AB सबसे छोटी भुजा और CD सबसे बड़ी भुजा है।
सिद्ध करना है : ∠A > ∠C और ∠B > ∠D
रचना : A और C तथा B और D को मिलाइए।
उपपत्ति: ∆ABC में AB सबसे छोटी भुजा है।
∴ BC > AB
⇒ ∠1 > ∠2 …(i)
[∵ बड़ी भुजा के सम्मुख कोण बड़ा होता है।
∆ADC में, CD सबसे बड़ी भुजा है।
∵ CD > AD
⇒ ∠3 > ∠4 …(ii)
(i) और (ii), को जोड़ने पर।
∠1 + ∠3 > ∠2 + ∠4
⇒ ∠A > ∠C [यही सिद्ध करना है (1)]
अब ∆ADB में, AB सबसे छोटी भुजा है।
∵ AD > AB
⇒ ∠5 > ∠6 …(iii)
और ∆BCD में, CD सबसे बड़ी भुजा है।
∵ CD > BC
⇒ ∠7 > ∠8 …(iv)
(iii) और (ii), को जोड़ने पर
∠5 + ∠7 > ∠6 + ∠8
∠B > ∠D [यही सिद्ध करना है 2)]
अतः, ∠A > ZC और ∠B > ∠D [यही सिद्ध करना है।
हल :
∆PQR
PR > PQ [दिया है]
∴ ∠PQR > ∠PRQ
[बड़ी भुजा के सम्मुख कोण बड़ा होता है। …(1)
पुनः ∠1 = ∠2
[∵ PS, ∠P का समद्विभाजक है। …(2)
∴ ∠PQR + ∠1 > ∠PRQ + 22 …(3)
परंतु ∠PQS + ∠1 + ∠PSQ = ∠PRS + ∠2 + ∠PSR = 180°
[त्रिभुज के कोणों का योगफल 180° होता है।
⇒ ∠PQR + ∠1 + ∠PSQ = ∠PRQ + ∠2 + ∠PSR …(4)
[∵ ∠PRS = ∠PRQ और ∠PQS = ∠PQR]
(3) और (4), से हमें प्राप्त होता है।
∠PSQ < ∠PSR या, ∠PSR > ∠PSQ |
हल : दिया है : l एक रेखा है और P एक बिंदु है जो l पर स्थित नहीं है। PM ⊥ l है।
M से भिन्न कोई बिंदु N; रेखा l पर है। (आकृति देखिए)
सिद्ध करना है : PM < PN उपपत्ति : ∆PMN में, ∠M एक समकोण है। N एक न्यूनकोण है। [त्रिभुज का कोण गुणधर्म] ∴ ∠M > ∠N
.:. PN > PM [बड़े कोण की सम्मुख भुजा]
या, PM < PN
अतः एक रेखाखंड पर, एक दिए बिंदु से जो उस रेखा पर नहीं है, खींचे गए सभी रेखाखंडों में से लंब रेखाखंड सबसे छोटा होता है।
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