Class 9 Maths Chapter 10 – वृत्त

Class 9 Mathematics वृत्त (प्रश्नावली 10.6)

हल : मान लीजिए दो वृत्त जिन के केंद्र क्रमश: A और B हैं, परस्पर C और D पर प्रतिच्छेद करते हैं।
हमने सिद्ध करना है कि ∠ACB = ∠ADB

उपपत्ति : ∆ABC और ∆ABD में,
AC = AD [प्रत्येक = r]
BC = BD [प्रत्येक = ‘]
AB = AB [उभयनिष्ठ]
∴ ∆ABC ≅ ∆ABD [SSS सर्वांगसमता नियम्]
⇒ ∠ACB = ∠ADB [सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)

हल : मान लीजिए 0 वृत्त का केंद्र है। OA और OC को मिलाइए।
क्योंकि वृत्त के केंद्र से जीवा पर खींचा गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।

∴
सेमी
सेमी
और
सेमी

सेमी

मान लीजिए OE = x,
∴ OF = 6 – x
मान लीजिए वृत्त की त्रिज्या r है।
समकोण ∆AEO में,
AO2 = AE2 + OE2
[पाइथागोरस के परिणाम का प्रयोग करने से]
⇒ …(i)
समकोण ∆CFO में,
OC2 = CF2 + OF2
⇒ …..(ii)
(i) और (ii) को बराबर करने पर हमें प्राप्त होता है :

⇒
⇒
⇒
⇒
⇒ 12???? = 24 + 36
⇒ 12???? = 60
⇒

⇒ x = 5

(i) से,

[(i) में ???? का मान प्रतिस्थापित करने पर]
⇒
⇒
⇒
दोनों ओर का वर्गमूल लेने पर हमें प्राप्त होता है :

⇒

⇒

अतः, वृत्त की त्रिज्या सेमी है।

हल : मान लीजिए AB = 6 सेमी और CD = 8 सेमी, O केंद्र वाले वृत्त की जीवाएँ हैं।

OA और OC को मिलाइए।
क्योंकि वृत्त के केंद्र से जीवा पर खींचा गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।
∴

= 3 सेमी
और

= 4 सेमी
जीवा AB की केंद्र O से लंबात्मक दूरी OE है।
∴ OE = 4 सेमी
अब समकोण ∆AOE में,
OA2 = AE2 + OE2
[पाइथागोरस का परिणाम प्रयोग करने पर]
⇒ r2 = (32 + 42) सेमी2
⇒ r2 (9 + 16) सेमी2
⇒ r2 25 सेमी2
⇒ r = √25 सेमी2
⇒ r = 5 सेमी2
जीवा CD की केंद्र 0 से लंबात्मक दूरी OF है।
समकोण ∆OFC में,
OC² = CF² + OF²
[पाइथागोरस का परिणाम प्रयोग करने पर]
⇒ r² = 4² सेमी² + OF²
⇒ 5² सेमी = 4² + OF²
या OF² = (25 – 16) सेमी²
⇒ OF² = 9 सेमी²
⇒ OF = √9 सेमी
⇒ OF = 3 सेमी
अतः, दूसरी जीवा की केंद्र से दूरी 3 सेमी है।

हल : ∠ABC का शीर्ष B एक वृत्त (जिसका केंद्र O है) के बाहर स्थित है।

भुजा AB, जीवा CE को बिंदु E पर प्रतिच्छेद करती है और BC जीवा AD को बिंदु D पर प्रतिच्छेद करती है।
हमने सिद्ध करना है कि

OA, OC, OE और OD को मिलाइए।
अब, ∠AOC = 2 ∠AEC

[चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण वृत्त के शेष भाग के किसी बिंदु पर अंतरित कोण का दुगुना होता है]
या ….(i)
इसी प्रकार, …(ii)
[उपरोक्त कारण से]
(ii) को (i) में से घटाने पर हमें प्राप्त होता है,
…(iii)
अब, ∠AEC = ∠ADC …(iv)
[एक ही वृत्तखंड के कोण]
साथ ही, ∠DCE = ∠DAE …(v)
[एक ही वृत्तखंड के कोण]
(iv) और (v) को (iii) में प्रयोग करने पर हमें प्राप्त होता है,
…(vi)
∆ADB में, ∠ADC = ∠DAE + ∠ABD …(vii)
[त्रिभुज का बाह्य कोण अंत:अभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है]
(vii) को (vi) में प्रयोग करने पर हमें प्राप्त होता है ।


या [इति सिद्धम् ]

हल : मान लीजिए कि ABCD एक समचतुर्भुज है जिसमें विकर्ण AC और BD परस्पर बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं।
जैसा कि हमें ज्ञात है कि समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे के लंब समद्विभाजक होते हैं।
∴ ∠AOB = 90°

यदि हम AB को व्यास मानकर वृत्त खींचें तो यह निश्चित रूप से ही बिंदु O (विकर्णो का प्रतिच्छेद बिंदु) में से होकर जाएगा। क्योंकि तब ∠AOB = 90° इसके अर्धवृत्त में बना कोण होगा।

हल :

आकृति (α) में,
ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
⇒ ∠1 = ∠3 ….(i)
[समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण]
ABCE एक चक्रीय चतुर्भुज है।
∠1 + ∠6 = 180° ….(ii)
∠5 + ∠6 = 180° ( रैखिक युग्म) …(iii)
(ii) और (iii) से
∠1 = ∠5 …(iv)
अब, (i) और (iv) से
∠3 = ∠5
अब, ∆AED में,
∠3 = ∠5
⇒ AE = AD [∵ त्रिभुज के बराबर कोणों की सम्मुख भुजाएँ]
आकृति (b) में,
ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
⇒ ∠1 = ∠3 (समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण)
तथा ∠2 = ∠4
साथ ही AB || CD और BC इनकी तिर्यक रेखा है।
∠1 + ∠2 = 180° …(1)
और AD || BC और EC इनकी तिर्यक है।
∠5 = ∠2 (संगत कोण) …(2)
ABCE एक चक्रीय चतुर्भुज है।
∴ ∠1 + ∠6 = 180°
(1) और (3) से हमें प्राप्त होता है :
∠1 + ∠2 = ∠1 + ∠6
⇒ ∠2 = ∠6
परंतु (2) से,
∠2 = ∠5
⇒ ∠5 = ∠6
अब, ∆AED में,
∠5 = ∠6
⇒ AE = AD (Q.E.D.)
अतः, दोनों स्थितियों में,
AE = AD

हल :

मान लीजिए वृत्त की जीवाएँ AC और BD परस्पर O पर समद्विभाजित होती हैं।
तो OA = OC और OB = OD
हमने सिद्ध करना है कि (i) AC और BD व्यास हैं दूसरे शब्दों में, O वृत्त का केंद्र है।
∆AOD और ∆BOC में,
AO = OC [दिया है]
∠AOD = ∠BOC [शीर्षाभिमुख कोण]
OD = OB [दिया है]
∴ ∆AOD ≅ ∆COB [SAS सर्वांगसमता नियम]
⇒ AD = CB [सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग]
इसी प्रकार, ∆AOB ≅ ∆COD
⇒ AB = CD
⇒ AB ≅ CD [बराबर जीवाओं की सम्मुख चापें]
⇒ AB + BC = CD + BC
⇒ ABC = BCD
⇒ AC = BD [बराबर चापों की संगत जीवाएँ]
∴ AC और BD व्यास हैं। क्योंकि केवल व्यास ही, वृत्त की जीवाओं के रूप में परस्पर समद्विभाजित होते हैं।
(ii) के लिए (i) में जैसा कि सिद्ध हुआ;
AC व्यास है।
∴ ∠B = ZD = 90° …(1)
[अर्धवृत्त का कोण समकोण होता है]
इसी प्रकार BD व्यास है
∴ ∠A = ∠C = 90° …(2)
अब व्यास
AC = BD
⇒ AC ≅ BD [बराबर जीवाओं की संगत चाप बराबर होती हैं।
⇒ AC – DC ≅ BD – DC
⇒ AD = BC
⇒ AD = BC [बराबर चापों की संगत जीवाएँ बराबर होती हैं] …(3)
इसी प्रकार AB = DC …(4)
(1), (2), (3) और (4) से हम देखते हैं कि चतुर्भुज का प्रत्येक कोण 90° का है तथा सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं।
अतः, ABCD एक आयत है।

8. एक त्रिभुज ABC के कोणों A, B और C के समद्विभाजक इसके परिवृत्त को क्रमशः D, E और F पर प्रतिच्छेद करते हैं। सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज DEF के कोण 90°-A, 90°-B तथा 90°-c हैं।

हल : प्रश्न के अनुसार (नीचे दी गई आकृति को देखिए)।

AD, ∠A का समद्विभाजक है।
∴
BE, ZB का समद्विभाजक है।
∴
CE, ZC का समद्विभाजक है।
∴
जैसा कि हम जानते हैं कि एक ही वृत्तखंड के कोण बराबर होते हैं।
∠9 = ∠3 (AE द्वारा अंतरित कोण)
∠8 = ∠5 (FA द्वारा अंतरित कोण)
∠9 + ∠8 = ∠3 + ∠5

इसी प्रकार,
और

∆DEF में,
∠D + ∠E + ∠F = 180°
⇒ ∠D = 180° – ∠E – ∠F
⇒ ∠D = 180° – (∠E + ∠F)
⇒

∆ABC में, ∠A + ∠B + ∠C = 180°

⇒
इसी प्रकार हम सिद्ध कर सकते हैं कि

और

हल :

दिया है : दो सर्वांगसम वृत्त बिंदुओं A और B पर प्रतिच्छेद करते हैं। A से खींची गई रेखा वृत्तों को P और Q पर मिलती है।
सिद्ध करना है : BP = BQ
रचना : A और B को मिलाइए
उपपत्ति : AB उभयनिष्ठ जीवा है और वृत्त बराबर हैं।
∴ उभयनिष्ठ जीवा के संगत चाप बराबर होते हैं। अर्थात्
ACB = ADB
क्योंकि दो सर्वांगसम वृत्तों के सर्वांगसम चाप वृत्त के शेष भाग पर बराबर कोण बनाते हैं। इसलिए, हमें प्राप्त है।
∠1 = ∠2
∆PBQ में,
∠1 = ∠2 (सिद्ध किया है)
∴ त्रिभुज के बराबर कोणों की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।
इसलिए :
BP = BQ

हल : दिया है कि ABC एक त्रिभुज है और इसके शीर्षों में से वृत्त गुजरता है।

मान लीजिए कि कोण A का समद्विभाजक तथा सम्मुख भुजा BC का लंब समद्विभाजक (कह लीजिए) बिंदु P पर प्रतिच्छेद करते हैं। हमें सिद्ध करना है कि त्रिभुज ABC का परिवृत्त भी बिंदु P में से होकर जाएगा। उपपत्ति ; जैसा कि हमें ज्ञात है कि किसी भुजा के लंब समद्विभाजक पर कोई भी बिंदु इस संगत भुजा के अंत:बिंदुओं से समदूरस्थ होता है।
∴ BP = PC …(i)

साथ ही प्राप्त है : ∠1 = ∠2 …(ii)
[क्योंकि, AP ∠A का समद्विभाजक है। (दिया है)]
(i) और (ii) से हमें ज्ञात होता है कि बराबर रेखाखंड वृत्त के एक ही खंड (अर्थात् ∆ABC के परिवृत्त के बिंदु A पर) में बराबर कोण बनाते हैं। इसलिए BP और PC; ∆ABC के परिवृत्त की जीवाओं के रूप में हैं और उनकी संगत चापें; BP और PC परिवृत्त के ही भाग हैं।
अतः बिंदु P परिवृत्त पर ही है।
दूसरे शब्दों में, बिंदु A, B, P और C एकवृत्तीय हैं। [इति सिद्धम्]

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• Class 9 Maths Chapter 13 – पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन
• Class 9 Maths Chapter 14 – सांख्यिकी
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