Class 9 Mathematics वृत्त (प्रश्नावली 10.3)
हल :
आकृति से हम देखते हैं कि जब हम वृत्तों के विभिन्न युग्म खींचते हैं; हरेक युग्म में दो बिंदु (मान लीजिए A और B) उभयनिष्ठ हैं। उभयनिष्ठ बिंदुओं की अधिकतम संख्या दो है।
मान लीजिए कि दो वृत्त C(O, r) और C(O’, r) परस्पर बिंदु तीन बिंदुओं A, B और C पर प्रतिच्छेद करते हैं। तब A, B और C असंरेख बिंदु हैं।
हम जानते हैं कि तीन असंरेख बिंदुओं से होकर एक और केवल एक वृत्त जाता है। इसलिए A, B और C से एक अद्वितीय वृत्त गुजरता है।
⇒ O’O के साथ संपाती है और जो कि तथ्य का अंतर्विरोध है।
C(O’,s) ≠ C(O, r)
∴ हमारी कल्पना गलत है।
इसलिए दो भिन्न वृत्त एक दूसरे को दो से अधिक बिंदुओं पर प्रतिच्छेदित नहीं कर सकते हैं।
हल : रचना के चरण :
1. वृत्त पर कोई तीन बिंदु A, B और C लीजिए।
2. AB और BC को मिलाइए।
3. AB का लंब समद्विभाजक LM खींचिए।
4. BC का लंब समद्विभाजक PQ खींचिए।
5. मान लीजिए LM और PQ बिंदू O पर प्रतिच्छेद करते हैं। तब O वृत्त का केंद्र है।
सत्यापन
O, AB के लंब समद्विभाजक पर स्थित है।
∴ OA = OB … (i)
O, BC के लंब समद्विभाजक पर स्थित है।
∴ OB = OC … (ii)
(i) और (ii) से हम देखते हैं कि
OA = OB = OC = r (माना)
तीन संरेख बिंदु A, B और C वृत्त के अंदर स्थित बिंदु O से बराबर दूरी (r) पर हैं।
अतः, O वृत्त का केंद्र है।
हल : मान लीजिए दो वृत्त C (O, r) और C (O’, s) A और B पर प्रतिच्छेद करते हैं। हमने सिद्ध करना है कि OO’ जीवा AB का लंब समद्विभाजक है। इसके लिए हम OA, OB, O’A और O’B को मिलाते हैं (देखिए आकृति)
त्रिभुजों OAO’ और OBO’ में,
OA = OB = r
O’A = O’B = s
और OO’ = OO’
∴ ∆OAO’ ≅ ∠OBO [SSS अभिगृहीत]
∴ ∠AOO’ = ∠BOO
मान लीजिए AB और OO’ का प्रतिच्छेदित बिंदु M है। तब त्रिभुजों AOM और BOM में,
OA = OB
∠AOM = ∠BOM (∵ ∠AOO = ∠AOM
और ∠BOO = ∠BOM)
और OM = OM [उभयनिष्ठ)
∴ ∆AOM ≅ ∆BOM (SAS अभिगृहीत)
∴ AM = MB … (i)
और ∠AMO = ∠BMO … (ii)
अब, ∠AMO + ∠BMO = 180° [रैखिक युग्म अभिगृहीत]
⇒ ∠AMO + ∠AMO = 180°
⇒ 2∠AMO = 180°
⇒ 
⇒ ∠AMO = 90°
साथ ही, ∠BMO = 90° (∵ ∠AMO = ∠BMO)
अब हमें प्राप्त है।
AM = MB
∠AMO = ∠BMO = 90°
इससे सिद्ध होता है कि केंद्रों O और O’ को मिलाने वाली रेखा उभयनिष्ठ जीवा के लंब समद्विभाजक पर स्थित है।
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