Class 9 Maths Chapter 10 – वृत्त

Class 9 Mathematics वृत्त (प्रश्नावली 10.4)

हल : मान लीजिए, दो वृत्त जिनके केंद्र O और O’ हैं, परस्पर बिंदुओं A और B पर प्रतिच्छेद करते हैं। A और B को मिलाने पर, AB उभयनिष्ठ जीवा है।

त्रिज्या OA = 5 सेमी, त्रिज्या O’A = 3 सेमी,
उनके केंद्रों के बीच की दूरी OO’ = 4 सेमी
हम देखते हैं कि त्रिभुज AOO’ में;
5² = 4² + 3²
⇒ 25 = 16 + 9
⇒ 25 = 25
∆AO’O में पाइथागोरस का परिणाम संतुष्ट होता है।
अतः, ∆AO’O एक समकोण त्रिभुज है जिसमें O’ पर समकोण है।
जैसा कि हम जानते हैं कि वृत्त के केंद्र से जीवा पर गिराया गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।
अतः O’ जीवा AB का मध्य-बिंदु है। साथ ही O’ वृत्त II का केंद्र है।
इसलिए जीवा AB की लंबाई = वृत्त II का व्यास
∴ जीवा AB की लंबाई = 2 x 3 सेमी
= 6 सेमी

मान लीजिए दो वृत्त, जिनके केंद्र O और O’ हैं, परस्पर बिंदुओं A और B पर प्रतिच्छेद करते हैं। मान लीजिए उभयनिष्ठ जीवा AB, OO’ को C पर प्रतिच्छेद करती है।
मान लीजिए OC = ???? सेमी
∴ O’C = (4 – ????) सेमी
जैसा कि हम जानते हैं कि दो वृत्तों के केंद्रों को मिलाने वाली रेखा वृत्तों की उभयनिष्ठ जीवा का लंब समद्विभाजक होती है।
समकोण ∆OCA में,
AC² + OC² = OA² [पाइथागोरस प्रेमय का प्रयोग करके] ⇒ AC² + ????² = 5²
⇒ AC² = 25 – ????² …..(i)
इसी प्रकार ∆ACO’ में,
AC² + O’C² = AO²
⇒ AC² + (4 – ????)² = 3²
⇒ AC² = 9 – (4 – ????)² …..(ii)
(i) और (ii) से हमें प्राप्त होता है :
25 – ????² – ????² = 9 – (4 – ????)²
⇒ 25 – ????² = 9 – (16 + ????² – 8????)
⇒ 25 – ????² = 9 – 16 – ????² + 8????
⇒ – 8???? = 9 – 16 – 25 – ????² + ????²
⇒ – 8???? = – 32
⇒ ???? = 4
⇒ CO’ = 4 – ????
⇒ CO’ = 4 – 4
⇒ CO’ = 0
इसका अर्थ है कि O’, C के साथ संपाती है।
∴ AC = त्रिज्या AO’ = 3 सेमी
जीवा AB की लंबाई = केंद्र O’ वाले वृत्त का व्यास
जीवा AB की लंबाई = 2 X AO”
= 2 x AC
= 2 x 3 सेमी
= 6 सेमी

हल : मान लीजिए एक वृत्त जिसका केंद्र O है, की दो समान जीवाएँ AB तथा CD वृत्त के अंदर E पर प्रतिच्छेद करती हैं। हमने सिद्ध करना है कि
(a) AE = CE (b) BE = DE
रचना : OM ⊥ AB, ON ⊥ CD खींचिए OE को मिलाइए।

उपपत्ति : समकोण ∆OME और समकोण ∆ONE में
∠OME = ∠ONE (प्रत्येक 90°)
OM = ON [∵ समान जीवाएँ वृत्त के केंद्र से समदूरस्थ होंगी।
कर्ण OE = कर्ण OE (उभयनिष्ठ)
∴ ΔΟΜΕ ≅ ΔΟΝΕ [R.H.S. सर्वांगसमता नियम] ∴ ME = NE [सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
…(i)
अब; O वृत्त का केंद्र है और
OM ⊥ AB
∴ [∵ वृत्त के केंद्र से जीवा पर लंब जीवा को
समद्विभाजित करता है।] …(ii)
इसी प्रकार, …(iii)
परंतु AB = CD (दिया है)
(ii) और (iii) से हमें प्राप्त होता है।
AM = NC …(iv)
साथ ही, MB = DN …(v)
(i) और (ii) को जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है :
AM + ME = NC + NE
⇒ AE = CE भाग (a) सिद्ध हुआ
अब AB = CD (दिया है)
AE = CE (ऊपर सिद्ध किया है)
AB – AE = CD – CE
⇒ BE = DE भाग (b) सिद्ध हुआ

हल : मान लीजिए एक वृत्त जिसका केंद्र O है, की दो समान जीवाएँ AB तथा CD वृत्त के अंदर E पर प्रतिच्छेद करती हैं। हमने सिद्ध करना है कि
∠OEM = ∠OEN
रचना : OM ⊥ AB, ON ⊥ CD खींचिए। OE को मिलाइए।

उपपत्ति : समकोण त्रिभुजों OME और ONE में,
∠OME = ∠ONE (प्रत्येक 90°)
OM = ON
[∵ वृत्त की समान जीवाएँ केंद्र से समदूरस्थ होती हैं।
कर्ण OE = कर्ण OE (उभयनिष्ठ)
∴ ∠OME ≅ ∠ONE [R.H.S. सर्वांगसमता नियम] ∴ ∠OEM = ∠OEN [सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)

हल : एक रेखा l दो संकेंद्रीय वृत्तों को, जिनका केंद्र O है, A, B, C और D पर प्रतिच्छेद करती है।
हमने सिद्ध करना है कि
AB = CD

रचना : OL ⊥ l खींचिए
उपपत्ति : AD बाह्य वृत्त की जीवा है और
OL ⊥ AD
∴ AL = LD [∵ केंद्र से खींचा गया लंब, जीवा को समद्विभाजित करता है] …(i)
अब ; BC आंतरिक वृत्त की जीवा है और OL ⊥ BC.
∴ BL = LC [∵ केंद्र से खींचा गया लंब, जीवा को समद्विभाजित करता है] …(ii)
(ii) को (i), में से घटाने पर हमें प्राप्त होता है।
AL – BL = LD – LC
⇒ AB = CD

हल : मान लीजिए रेशमा, सलमा और मनदीप की स्थिति को बिंदुओं A, B और C से दर्शाया गया है।
दिया गया है कि रेशमा और सलमा के बीच की दूरी 6 मी है तथा सलमा और मनदीप के बीच की दूरी भी 6 मी है। इसका अर्थ है कि :
AB = BC = 6 मी
∴ वृत्त का केंद्र ∠BAC के समद्विभाजक पर स्थित है।
मान लीजिए कि M, BC और OA का प्रतिच्छेद बिंदु है।
पुनः क्योंकि AB = BC
और AM, ∠CAB को समद्विभाजित करता है।
∴ AM ⊥ CB और M, CB का मध्य बिंदु है।
मान लीजिए OM = ????
तब MA = 5 – ????
अब, समकोण ∆OMB से
OB² = OM² + MB²
5² = ????² + MB² …(1)

पुनः समकोण ∆AMB से,
AB² = AM² + MB²
6² = (5 – ????)² + MB² …(2)
(1) और (2) से MB² के मूल्य को बराबर करने से हमें प्राप्त होता है :
5² – ????² = 6² – (5 – ????)²
⇒ (5 – ????)² – ????² = 6² – 5²
⇒ (25 – 10????² + ????²) – ????² = 36 – 25
⇒ 25 – 10???? + ????² – ????² = 11
⇒ -10???? = 11 – 25
⇒ -10???? = -14
⇒
अतः, (i) से,
MB² = 5² – ????²

⇒

⇒

⇒
⇒
⇒ MB = 4.8 मी
∴ BC = 2MB = 2 x 4.8 = 9.6 मी
अतः, रेशमा और मनदीप के बीच की दूरी 9.6 मी है।

हल : मान लीजिए तीनों लड़कों अंकुर, सैय्यद तथा डेविड की स्थिति को बिंदुओं A, B और C से दर्शाया गया है।
तीनों बिंदु समान दूरी पर हैं।
∴ AB = BC = AC = α मी (माना)

समबाहु त्रिभुज की समान भुजाएँ वृत्त की समान जीवाएँ हैं और वृत्त की समान जीवाएँ केंद्र से समदूरस्थ होती हैं।
∴ OD = OE = OF = ???? मी (माना)
OA, OB और OC को मिलाइए।
अब, हमारे पास तीन सर्वांगसम त्रिभुजें हैं।
∆OAB, ∆OBC और ∆AOC
∴ ar (∆AOB) = ar (∆BOC)
= ar (∆AOC) …(i)
अब, α भुजा वाली समबाहु ∆ABC का क्षेत्रफल =
= ar (∆AOB) + ar (∆BOC) + ar (∆AOC)
…(ii)
⇒ ar (∆ABC) = 3ar (∆BOC) [(i) को (ii) में प्रयोग करने पर] ⇒
⇒
⇒
⇒ α = 2√3???? …(iii)
OE ⊥ BC
∴ BE = EC = BC
[∵ केंद्र से खींचा गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।
⇒ BE = EC = α
⇒ BE = EC = (2√3????) [(iii) को प्रयोग करने पर] ⇒ BE = EC = √3????
अब, समकोण ∆BEO में,
OE² + BE² = OB² (पाइथागोरस प्रमेय)
⇒ ????² + (√3????)² = 20²
⇒ ????² + 3????² = 400

⇒ 4????2 = 400
⇒
⇒ ????2 = 100
⇒ ???? = √100
⇒ ???? = 10 मी …(ii)
अब (iii) से हमें प्राप्त होता है।
α = 2√3????
⇒ α = 2√3 x 10 मी [(iv) का प्रयोग करने पर] ⇒ α = 20√5 मी
अतः, किन्हीं दो लड़कों के बीच की दूरी 20√3 मी है।

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