Class 9 Maths Chapter 9 – समांतर चतुर्भुजों और त्रिभुजों के क्षेत्रफल

Class 9 Mathematics समांतर चतुर्भुजों और त्रिभुजों के क्षेत्रफल (प्रश्नावली 9.4)

हल : दिया है : समांतर चतुर्भुज ABCD और आयत ABEF एक ही आधार AB पर और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित हैं।
क्षे० (समांतर चतुर्भुज ABCD) = क्षे० (आयत ABEF)
सिद्ध करना है : AB + BC + CD + AD > AB + BE + EF + AF

उपपत्ति : AB = CD.
[समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती है। AB = EF
[∵ आयत की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।
⇒ CD = EF …….(1)
(1) के दोनों ओर AB जोड़ने पर
AB + CD = AB + EF
∴ किसी बिंदु से जो दी हुई रेखा पर स्थित नहीं है, रेखा तक खींचे गए सभी रेखाखंडों में से लांबिक रेखाखंड सबसे छोटा होता है।
∴ BE < BC
और AF < AD

या BC > BE
और AD > AF
∴ BC + AD > BE + AF …(3)
(2) और (3) से हमें प्राप्त होता है।
AB + BC + CD + AF > AB + BE + EF + AE [इति सिद्धम् ]

हल :∆ABC में, बिंदु D और E, BC को तीन बराबर भागों में इस प्रकार विभाजित करते हैं कि
BD = DE = EC है।
∴ BD = DE = EC = BC
AF ⊥ BC खींचिए।
क्षे० (∆ ABC) = BC x AF …..(i)
[∵ त्रिभुज का क्षेत्रफल = आधार x लम्ब] क्षे० (∆ABD) = x BD x AF


= क्षे० (∆ ABC) …(ii)
इसी प्रकार, क्षे० (∆ADE) = क्षे० (∆ABC) …(iii)
और क्षे० (∆AEC) = क्षे० (∆ABC) …(iv)
(ii), (iii) और (iv) से हमें प्राप्त होता है :
क्षे० (∆ ABD) = क्षे० (∆ADE) = क्षे० (∆ AEC) [इति सिद्धम् ] [टिप्पणी : ध्यान दीजिए कि यदि BD = DE= EC, लें तो ∆ABC बराबर क्षेत्रफलों वाले तीन त्रिभुजों ABD, ADE और AEC में विभाजित हो जाता है। इसी प्रकार, BC को n बराबर भागों में विभाजित करके और इस भुजा को विभाजित करने वाले बिंदुओं को सम्मुख शीर्ष A से मिलाकर हम इस त्रिभुज को बराबर क्षेत्रफलों वाले n त्रिभुजों में विभाजित कर सकते हैं।

हल : जैसा कि हम जानते हैं कि समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।

∴ समांतर चतुर्भुज ABFE में,
AE = BF और AB = EF
समांतर चतुर्भुज DCFE में,
DE = CF और DC = EF
समांतर चतुर्भुज ABCD में,
AD = BC और AB = DC
अब, ADE और ABCF में,
AE = BF (समांतर चतुर्भुज ABFE की सम्मुख भुजाएँ)
DE = CF (समांतर चतुर्भुज DCFE की सम्मुख भुजाएँ।
और AD = BC (समांतर चतुर्भुज ABCD की सम्मुख भुजाएँ।
… ∆ADE = ∆BCF [SSS सर्वांगसमता नियम] इसलिए, क्षे० (∆ADE) = क्षे० (∆BCF)
[∵ दो सर्वांगसम आकृतियों का क्षेत्रफल सदैव बराबर होता है।]

हल : A और C मिलाइए।
∆APC और ∆BPC एक ही आधार PC पर तथा एक ही समांतर रेखाओं PC और AB के बीच स्थित हैं।
∴ क्षे० (AAPC) = क्षे० (ABPC) … (1)

ACBD एक समांतर चतुर्भुज है।
∴ AD = BC
[∵ समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।] साथ ही, BC = CQ (दिया है)
∴ AD = CQ
अब, AD || CQ [∵ CQ, बढ़ी हुई BC है।] AD = CQ
∴ ∆DQC एक समांतर चतुर्भुज है।
[∵ यदि चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर हो, तो वह समांतर चतुर्भुज होती है।] क्योंकि समांतर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित होते हैं।
∴ AP = PQ और CP = DP
अब, ∆APC और ∆DPQ
AP = PQ [ऊपर सिद्ध किया है।
∠APC = ∠DPQ [शीर्षाभिमुख कोण] PC = PD [ऊपर सिद्ध किया गया है।
∴ ∆APC ≅ ∆DPQ … (2)
⇒ क्षे० (∆APC) = क्षे० (∆DPQ)
[∵ सर्वांगसम आकृतियों का क्षेत्रफल सदैव बराबर होता है।] (1) और (2) से हमें प्राप्त होता है।
क्षे० (∆BPC) = क्षे० (∆DPQ) [इति सिद्धम्]

हल : EC और AD को मिलाइए।
∆ABC एक समबाहु त्रिभुज है।
∴ ∠A = ∠B = ∠C = 60°
∆BDE भी एक समबाहु त्रिभुज है।
∴ ∠B = ∠D = ∠E = 60°
यदि हम दो रेखाएँ AC और BE तथा BC को तिर्यक रेखा लें,
तो ∠B = ∠C [(प्रत्येक = 60°) एकांतर कोण] ⇒ BE || AC [∵ जब एकांतर कोण बराबर होते हैं, तो रेखाएँ समांतर होती हैं।]

इसी प्रकार, रेखाओं AB और DE तथा BF तिर्यक रेखा के लिए।
∠B = ∠D [(प्रत्येक = 60°) एकांतर कोण] ∴ AB || DE
(i) समबाहु त्रिभुज BDE का क्षेत्रफल

[∴ समबाहु ∆ का क्षेत्रफल (भुजा)²] …(1)
समबाहु ∆ABC का क्षेत्रफल
…(2)
(1) को (2) से भाग देने पर हम प्राप्त करते हैं।
क्षे०

⇒ क्षे०

⇒ क्षे०

⇒ क्षे० [∵ दिया है कि D, BC का मध्य-बिंदु है।] ∴ BD = DC
अब, BC = BD + DC
BC = BD + BD
BC = 2BD

या, क्षे० (∆BDE) = क्षे० (∆ABC)
(ii) ∆BEC में, ED माध्यिका है।
∴ क्षे० (∆BDE) = क्षे० (∆BEC) …(3)
[∵ माध्यिका त्रिभुज को बराबर क्षेत्रफलों वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।] हमें प्राप्त है : BE || AC
इसलिए ∆BEC और ∆BAE एक ही आधार BE तथा एक ही समांतर रेखाओं BE और AC के बीच स्थित है।
∴ क्षे० (∆BEC) = क्षे० (∆BAE) …(4)
(4) को (3) में प्रयोग करने पर हमें प्राप्त होता है।
क्षे० (∆BDE) = क्षे० (∆BAE)
(iii) क्योंकि ED त्रिभुज BEC की एक माध्यिका है।
∴ क्षे० (BDE) = क्षे० (BEC)
भाग (i) से, क्षे० (BDE) = क्षे० (ABC)
∴ क्षे० (ABC) = क्षे० (BEC)
क्षे० (ABC) = क्षे० (BEC)
अतः, क्षे० (ABC) = 2 क्षे० (BEC)
(iv) अब, ∠BDE = ∠ABD = 60° (दिया है)
परंतु ये एकांतर कोण का युग्म है।
∴ AB || DE
अब, ∆BDE और ∆ADE एक ही आधार DE तथा समांतर रेखाओं AB और DE के बीच स्थित हैं।
∴ क्षे० (BDE) = क्षे० (ADE)
दोनों ओर से क्षे० (FED) घटाने पर,
क्षे० (BDE) – क्षे० (FED) = क्षे० (ADE) – क्षे० (FED)
क्षे० (BFE) = क्षे० (AFD)
(v) ∆BDE और ∆AED एक ही आधार DE एक ही समांतर रेखाओं DE पर स्थित हैं।
क्षे० (∆BDE) = – क्षे० (∆AED)
क्षे० (∆FED) को दोनों पक्षों में से घटाने पर हमें प्राप्त होता है :
क्षे० (∆BDE) = – क्षे० (∆FED)
= क्षे० (∆AED) – क्षे० (∆FED)
⇒ क्षे० (∆BFE) = क्षे० (∆AFD) …(5)
एक समबाहु त्रिभुज में खींची गई माध्यिका भुजा पर लम्ब भी होती है।
∴ AD ⊥ BC [∵ AD, ∆ABC की माध्यिका है।] अब क्षे० (∆AFD) = FD x EG …(6)
EG ⊥ BC खींचिए।
∴ क्षे० (∆AFD) = FD x EG
(6) को (7) से भाग देने पर हमें प्राप्त होता है।

क्षे०

⇒ क्षे०

⇒ क्षे०
[∵ समबाहु त्रिभुज के शीर्षलम्ब भुजा)

⇒ क्षे०

[∵ D, भुजा BC का मध्य-बिन्दु है।]⇒ क्षे०
या, क्षे० (∆AFD) = 2 क्षे० (∆FED) …(8)
(8) को (5) में प्रयोग करने पर हमें प्राप्त होता है।
क्षे० (∆BFE) = 2 क्षे० (∆FED) [इति सिद्धम् ] (vi) क्षे० (∆AFC) = क्षे० (∆AFD) + क्षे० (∆ADC)
= 2 क्षे० (∆FED) + क्षे० (∆ABC)
[संबंध (8) के प्रयोग करने पर और हम यह भी जानते हैं कि माध्यिका त्रिभुज को बराबर क्षेत्रफलों वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।] = 2 क्षे० (∆FED) + [4 क्षे० (∆BDE)] [भाग (i) के परिणाम को प्रयोग करने पर] = 2 क्षे० (∆FED) + 2 क्षे० (∆BDE)
= 2 क्षे० (∆FED) + 2 क्षे० (∆AED)
[∵ ∆BDE और ∆AED एक ही आधार ED तथा एक ही समांतर रेखाओं AB और DE के बीच स्थित हैं।
= 2 क्षे० (∆FED) + 2 [क्षे० (∆AFD) + क्षे० (∆FED)] = 2 क्षे० (∆FED) + 2 क्षे० (∆AFD) + 2 क्षे० (∆FED)
= 4 क्षे० (∆FED) + 2 (2 क्षे० (∆FED)
[परिणाम को (8) में प्रयोग करने पर] = 4 क्षे० (∆FED) + 4 क्षे० (∆FED)
⇒ क्षे० (∆AFC) = 8 क्षे० (∆FED)
या, 8 क्षे० (∆FED) = क्षे० (∆AFC)
या, क्षे० (∆FED) = = क्षे० (∆AFC) [ इति सिद्धम् ]

हल : दिया है : एक चतुर्भुज ABCD जिसमें विकर्ण AC और BD परस्पर P पर प्रतिच्छेद करते हैं।
सिद्ध करना है : क्षे० (∆APD) X क्षे० (∆BPC) = क्षे० (∆ABP) x क्षे० (∆CDP)
रचना : A से AM ⊥ BD और
C से CN ⊥ BD खींचिए।

उपपत्ति : क्षे० …(i)
क्षे० …(ii)
(ii) को (i), से भाग देने पर हमें प्राप्त होता है।
क्षे० …(iii)

क्षे०
इसी प्रकार
क्षे०
⇒ क्षे० …(iv)
(iii) और (iv) से हमें प्राप्त होता है।
क्षे० = क्षे०
⇒ क्षे० (∆APD) x क्षे० (∆BPC)
= क्षे० (∆ABP) x क्षे० (∆CDP) [इति सिद्धम् ]

हल :

(i) ∆ABC में, P और Q क्रमश: भुजाओं AB और BC के मध्य बिंदु हैं।
AQ और PC को मिलाइए।
QR, त्रिभुज ABQ की माध्यिका है।
∴ क्षे० (PRQ) = क्षे० (APQ) ….(1)
QP, त्रिभुज ABQ की माध्यिका है।
∴ क्षे० (APQ) = क्षे० ABQ) ….(2)
AQ, त्रिभुज ABC की माध्यिका है।
∴ क्षे० (ABQ) = क्षे० (ABC) ….(3)
(1) और (2) से,
क्षे० (PRQ) = क्षे० (APQ)
क्षे०(ABQ)
= क्षे० (ABQ)
क्षे० (ABC) [(3) से]∴ क्षे० (PRQ) = क्षे० (ABC) ….(4)
अब, CR, ∆APC की माध्यिका है।
∴ क्षे० (PRQ) = क्षे० (APC)
क्षे० (ABC)
= क्षे० (ABC) [∵ CP त्रिभुज, ABC की माध्यिका है।]⇒ क्षे० (ABC) = 4 क्षे० (ARC) …… (5)
(4) और (5) से,
क्षे० (PRQ) = x4 क्षे० (ARC) [(5) से)
क्षे० (PRQ) = क्षे० (ARC)
(iii) क्षे० (RQC)
= क्षे० (RQA) + क्षे० (AQC) –
क्षे० (ARC) अब, RQ, ∆PQA की माध्यिका है। …(6)
∴ क्षे० (RQA) = क्षे० (PQA)
क्षे (AQB) [∵ AQ, ∆AQB की माध्यिका है।
= क्षे० (AQB)
क्षे० (ABC) [∵ AQ, ∆ABC की माध्यिका है।
= क्षे० (ABC) …(7)
∴ AQ, ∆ABC की माध्यिका है।
क्षे० (AQC) = क्षे० (ABC) …(8)
∴ CR, ∆APC की माध्यिका है।
क्षे० (ARC) = क्षे० (APC)
क्षे० (ABC) [∵ CP ∆ABC की माध्यिका है।
= क्षे० (ABC) …(9)
समीकरण (6), (7) (8) और (9) से,
क्षे० (RQC) = क्षे० (ABC) + क्षे० (ABC) – क्षे० (ABC)
= क्षे० (ABC)
= क्षे० (ABC)
(iii) PQ, ∆ABQ की माध्यिका है।
∴ क्षे० (PBQ) = क्षे० (ABQ)
क्षे० (ABC) [∵ AQ, ∆ABC की माध्यिका है।] = क्षे० (ABC) …(10)
समीकरण (9) और (10) से
क्षे० (PBQ) = क्षे० (ARC)

हल : (i) ∆MBC और ∆ABD में, BC = BD [वर्ग BCED की भुजाएँ।
∠MBC = ∠ABD [∵ प्रत्येक = 90° + ∠ABC] MB = AB [वर्ग ABMN की भुजाएँ]∴ ∆MBC ≅ ∆ABD [SAS सर्वांगसमता नियम से]

(ii) ∆ABD और वर्ग BYXD एक ही आधार BD और एक ही समांतर रेखाओं BD और AX के बीच स्थित हैं।
∴ क्षे० (ADB) = क्षे० (BYXD)
परंतु ∆MBC ≅ ∆ABD
[भाग (i) में सिद्ध किया है।
⇒ क्षे० (MBC) = क्षे० (ABD)
∴ क्षे० (MBC) = क्षे० (BYXD) …(1)
⇒ क्षे० (BYXD) = 2क्षे० (MBC)

(iii) ∆MBC और वर्ग ABMN एक ही आधार MB और एक ही समांतर रेखाओं MB और NAC के बीच स्थित है।
∴ क्षे० (MBC) = क्षे० (ABMN) …(2)
(1) और (2) से,
क्षे० (BYXD) = क्षे० (ABMN)

(iv) ∆FCB और ∆ACE में,
CB = CE [वर्ग BCED की भुजाएं]∠FCB = ∠ACE [∵ प्रत्येक = 90° + ∠BCA] FC = AC [वर्ग ACFG की भुजाएं]∴ ∆FCB ≅ ∆ACE [SAS सर्वांगसमता नियम]

(v) ∆ACE और वर्ग ∆YXE एक ही आधार CE और एक ही समांतर रेखाओं CE और AYX के बीच स्थित हैं।
∴ क्षे० (ACE) = क्षे० (CYXE)
⇒ क्षे० (CYXE) = क्षे० (FCB)
⇒ क्षे० CYXE) = 2 क्षे० (FCB) [भाग (iii) से AFCB = AACE]

(vi) वर्ग ACFG और ABCF एक ही आधार CF और एक ही समांतर रेखाओं CF और BAG के बीच स्थित है।
∴ क्षे० (BCF) = क्षे० (ACFG)
साथ ही, क्षे० (FCB) = क्षे० (CYXE)
⇒ क्षे० (CYXE) = क्षे० (ACFG)
⇒ क्षे० (CYXE) = क्षे० (ACFG)
भाग (iii) से, क्षे० (BYXD) = क्षे० (ABMN)
भाग (vi) से, क्षे० (CYXE) = क्षे० (ACFG)
जोडने पर,
क्षे० (BYXD) + क्षे० (CYXE) = क्षे० (ABMN) + क्षे० (ACFG)
⇒ क्षे० (BCED)
= क्षे० (ABMN) + क्षे० (ACFG) [इति सिद्धम्]

Class 9 Mathematics समांतर चतुर्भुजों और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex 9.1
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Class 9 Mathematics समांतर चतुर्भुजों और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex 9.4

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