Class 9 Maths Chapter 6 – रेखाएँ तथा कोण

Class 9 Mathematics रेखाएँ तथा कोण (प्रश्नावली 6.3)

हल : ∠SPR + ∠QPR = 180° (रैखिक युग्म)
⇒ 135°+ ∠QPR = 180°
⇒ ∠QPR = 180° – 135°
⇒ ∠QPR = 45°
जैसा कि हम जानते हैं कि एक त्रिभुज का बहिष्कोण दोनों अंत: अभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है।
∴ △PQR में ;
बहिष्कोण ∠PQT = ∠QPR + ∠PRQ
⇒ 110° = 45° + ∠PRQ
110° – 45° = ∠PRQ
⇒ 65° = ∠PRQ
⇒ ∠PRQ = 65०

हल : △XYZ में,
∠X + ∠XYZ + ∠XZY = 180°
(त्रिभुज का कोण योग गुण)
⇒ 62° + 54° + ∠XZY = 180°
⇒ ∠XZY = 180° – 62° – 54°
⇒ ∠XZY = 64°
अब ZO, ∠XZY का समद्विभाजक है।


⇒ ∠OZY = ∠OZX = 32°
या ∠OZY = 32°
YO, ∠XYZ का समद्विभाजक है।
∴

⇒
⇒ ∠OYZ = 27°
अब △OYZ में
∠YOZ + ∠OYZ + ∠OZY = 180° [त्रिभुज का कोण योग गुण] ⇒ ∠YOZ + 27° + 32° = 180°
⇒ ∠YOZ = 180° – 27° – 32°
⇒ ∠YOZ = 121°

हल : AB || DE और AE एक तिर्यक रेखा है।

∴ ∠BAE = ∠AED (एकांतर कोण)
या ∠BAC = ∠AED
⇒ 35° = ∠AED
या ∠AED = 35°
या ∠CED = 35°
अब △CDE में ;
∠DCE + ∠CDE + ∠CED = 180° (त्रिभुज का कोण योग गुण)
⇒ ∠DCE + 53° + 35° = 180°
⇒ ∠DCE + 88° = 180°
⇒ ∠DCE = 180° – 88°
⇒ ∠DCE = 92°

हल :△PRT में ;
∠RPT + ∠PRT + ∠PTR = 180° (त्रिभुज का कोण योग गुण)
⇒ 95° + 40° + ∠PTR = 180°
⇒ ∠PTR = 180° – 95° – 40°
⇒ ∠PTR = 180° – 135°
⇒ ∠PTR = 45°
PO और RS परस्पर बिंदु T पर प्रतिच्छेदित करते हैं।
∴ ∠STQ = ∠PTR (शीर्षाभिमुख कोण)
⇒ ∠STQ = 45° [(i) का प्रयोग करने पर
अब △STQ में,
∠SQT + ∠STQ + ∠QST = 180° (त्रिभुज का कोण योग गुण)
⇒ ∠SQT + 45° + 75° = 180°
⇒ ∠SQT = 180° – 45° – 75°
⇒ ∠SQT = 180° – 120°
⇒ ∠SQT = 60°

हल : जैसा कि हम जानते हैं कि त्रिभुज का एक बहिष्कोण दोनों अंतः अभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है।
∴ △QSR में,
बहिष्कोण ∠QRT = ∠QSR + ∠SQR
⇒ 65° = ∠QSR + 28°
⇒ 65° – 28° = ∠QSR
⇒ 37° = ∠QSR
या ∠QSR = ∠37° … (i)
PQ || SR और SQ एक तिर्यक रेखा है।
∴ ???? = ∠QSR
⇒ ???? = 37° [(i) का प्रयोग करने पर] … (ii)
PQ ⊥ PS
⇒ ∠QPS = 90°
समकोण △PQS में;
∠QPS + ???? + y = 180°
[त्रिभुज का कोण योग गुण] ⇒ 90° + 37° + y = 180° [(ii) और (iii) का प्रयोग करने पर] ⇒ 127° + y = 180°
⇒ y = 180° – 127°
⇒ y = 53°

6. आकृति में, △PQR की भुजा QR को बिंदु S तक बढ़ाया गया है। यदि ∠PQR और ∠PRS के समद्विभाजक बिंदु T पर मिलते हैं, तो सिद्ध कीजिए कि है।

हल : QT ∠PQR का समद्विभाजक है।
∴ ∠PQT = ∠RQT … (i)
RT, ∠PRS का समद्विभाजक
∴ ∠PRT = ∠TRS … (ii)
जैसा कि हम जानते हैं कि एक त्रिभुज का बहिष्कोण दोनों अंतः अभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है।
∴ △PQR में,
बहिष्कोण ∠PRS = ∠QPR + ∠PQR
⇒ (∠PRT + ∠TRS) = ∠QPR + (∠PQT + ∠RQT)
⇒ ∠TRS + ∠TRS = ∠QPR + (∠RQT + ∠RQT)
[(i) और (ii) के प्रयोग करने से
⇒ 2∠TRS = ∠QPR + 2∠RQT
⇒ 2(∠TRS – ∠RQT) = ∠QPR
⇒ … (iii)
अब △QTR में ;
बहिष्कोण ∠TRS = (∠QTR) + (∠RQT) … (iv)
[∵ त्रिभुज का बहिष्कोण दोनों अंतः अभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है।
(iv) से ∠TRS को ∠QTR और ∠RQT के रूप में
(iii) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है।

Class 9 Mathematics रेखाएँ तथा कोण Ex 6.1
Class 9 Mathematics रेखाएँ तथा कोण Ex 6.2
Class 9 Mathematics रेखाएँ तथा कोण Ex 6.3

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