Class 9 Maths Chapter 13 – पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन

Class 9 Maths पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन (प्रश्नावली 13.7)

जब तक अन्यथा न कहा जाए, लीजिए
1. उस लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए, जिसकी
(i) त्रिज्या 6 सेमी, और ऊँचाई 7 सेमी है।
(ii) त्रिज्या 3.5 सेमी और ऊँचाई 12 सेमी है।

हल :(i) r = 6 सेमी, h = 7 सेमी
शंकु का आयतन

= 264 सेमी³
(ii) r = 3.5 सेमी, h = 12 सेमी
शंकु का आयतन

= 154 सेमी

हल :(i) यहाँ, r = 7 सेमी, l = 25 सेमी
l² = r² + h²
या (25 सेमी)² = (7 सेमी)² + h²
या 625 सेमी² = 49 सेमी² + h²
या (625 – 49) सेमी² = h²
या 576 सेमी² = h²
या h² = 576 सेमी²
या h² = √576 सेमी² = 24 सेमी

∴ शंकु के आकार के बर्तन की धारिता

= 1232 सेमी²
= 1.232 l [∵ 1000 सेमी² = 1 l](ii) यहाँ, h = 12 सेमी, l = 13 सेमी
अब r² + h² = l²
या r² + (12 सेमी)² = (13 सेमी)²
या r² + 144 सेमी = 169 सेमी²
या r² = 169 सेमी² – 144 सेमी²
या r² = 25 सेमी²
या r = √25 सेमी = 5 सेमी

∴ शंकु के आकार के बर्तन की धारिता

[∵ 1000 सेमी³ = 1 l]

हल : शंकु की ऊँचाई; h = 15 सेमी
शंकु का आयतन = 1570 सेमी³
मान लीजिए शंकु की त्रिज्या = r
∴

या
या 15.70r² = 1570 सेमी 1570³
या
या
या r = √100 सेमी = 10 सेमी
अतः आधार की वांछित त्रिज्या 10 सेमी है।

हल : शंकु का आयतन = 48???? सेमी³ …(I)
शंकु की ऊँचाई ; h = 9 सेमी
मान लीजिए शंकु की त्रिज्या = r

∴ शंकु का आयतन =

……(II)
……(II)
I और II से,
????r²x9 सेमी = 48???? सेमी³
या 3r² = 48 सेमी²
या
या r = √16 सेमी = 4 सेमी
∴ आधार का व्यास = 2r = 2 x 4 सेमी = 8 सेमी

हल : गड्ढे का व्यास = 3.5 मी
गड्ढे की त्रिज्या ;
गड्ढे की गहराई ; h = 12 मी
गड्ढे की धारिता

= 38.5 मी³ = 38.5 kl [∵ 1 मी³ = 1000 1 = 1 kl]

हल : (i) शंकु का आयतन = 9856 सेमी³
शंकु का व्यास = 28 सेमी
शंकु की त्रिज्या ;

मान लीजिए शंकु की ऊँचाई = h

∴ [∵ शंकु का आयतन ]

या

या

या

(ii) मान लीजिए शंकु की तिर्यक ऊँचाई = l
अब l² = r² + h²
या l² = (14 सेमी)² + (48 सेमी)²
l² = 196 सेमी² + 2304 सेमी²
= 2500 सेमी²
= 2500 सेमी = 50 सेमी
∴ शंकु की तिर्यक ऊँचाई = 50 सेमी

(iii) अब शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = ????rl

हल : जब समकोण त्रिभुज ABC को इसकी 12 सेमी वाली भुजा के परितः घुमाया जाता है, तो ठोस आकृति, शंकु प्राप्त होती है। 12 सेमी वाली भुजा शंकु की ऊँचाई और 5 सेमी भुजा वाली शंकु के आधार की त्रिज्या होती है।
अब शंकु की त्रिज्या ; r = 5 सेमी
शंकु की ऊँचाई ; h = 12 सेमी

∴ शंकु का आयतन

= 100 ???? सेमी³

हल : जब समकोण त्रिभुज को 5 सेमी भुजा के परितः घुमाया जाता है, तो ठोस आकृति, शंकु प्राप्त होती है। 12 सेमी वाली भुजा शंकु के आधार की त्रिज्या तथा 5 सेमी वाली भुजा शंकु की ऊँचाई होती है।

अब, शंकु की त्रिज्या ; R = 12 सेमी
शंकु की ऊँचाई ; H = 5 सेमी
शंकु का आयतन

= 240 ???? सेमी³

अब, प्रश्न नं०7 में बने शंकु का आयतन/प्रश्न नं०8 में बने शंकु का आयतन

∴ वांछित अनुपात = 5 : 12

हल : सबसे बड़े लम्ब वृत्तीय शंकु के वृत्तीय आधार की त्रिज्या = घन का किनारा
⇒ 2r = 14 सेमी
[जहाँ, r शंकु के वृत्तीय आधार की त्रिज्या है] ⇒
⇒ r = 7 सेमी
और शंकु की ऊँचाई h = घन का किनारा = 14 सेमी

अब, सबसे बड़े शंकु का आयतन




= 718.66 सेमी³

हल : मान लीजिए, शंकु के आकार की ढेरी के आधार की त्रिज्या = r
∴ व्यास; 2r = 10.5 मी
⇒

⇒

⇒

शंकु आकार ढेरी की ऊँचाई, h = 3 मी
शंकु आकार ढेरी का आयतन

= 86.625 मी³

मान लीजिए शंकु आकार ढेरी की तिर्यक ऊँचाई l मी है।
∴ l² = r² + h² (पाइथागोरस परिणाम से)
⇒
⇒

⇒
⇒ l² = 36.5626मी²
⇒ l = √36.5625मी
⇒ l = 6.046मी
वांछित केनवास का क्षेत्रफल
= शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
= ????rl

= 99.75 मी² (लगभग)
अतः, केनवास का वांछित क्षेत्रफल 99.75 मी² (लगभग)

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