Class 9 Maths Chapter 13 – पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन

Class 9 Maths पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन (प्रश्नावली 13.3)

जब तक अन्यथा न कहा जाए लीजिए।

1. एक शंकु के आधार का व्यास 10.5 सेमी है और इसकी तिर्यक ऊँचाई 10 सेमी है। इसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल : मान लीजिए कि वृत्ताकार आधार की त्रिज्या = r सेमी
∴ व्यास ; 2r = 10.5 सेमी
⇒

⇒

शंकु की तिर्यक ऊँचाई = l = 10 सेमी
इसलिए, शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = ????rl
=
= 165 सेमी²

2. एक शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसकी तिर्यक ऊँचाई 21 मी है और आधार का व्यास 24 मी है।

हल : शंकु की तिर्यक ऊँचाई l = 21 मी
शंकु का व्यास = 24 मी
शंकु की त्रिज्या, मी = 12 मी
शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = ????rl + ????r²
= ????r(l + r)
=

3. एक शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 380 सेमी है और इसकी तिर्यक ऊँचाई 14 सेमी है। ज्ञात कीजिए : (i) आधार की त्रिज्या (ii) शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल

हल : (i) मान लीजिए शंकु के वृत्ताकार आधार की त्रिज्या = r
तिर्यक ऊँचाई ; l = 14 सेमी
शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 308 सेमी² (दिया है)
⇒ ????rl = 308 सेमी²
⇒
⇒
⇒ r = 7 सेमी

(ii) शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + शंकु के वृत्तीय आधार का क्षेत्रफल
= 308 सेमी² + ????r²
=
= 308 सेमी² + 22 x 7 सेमी²
= 308 सेमी² + 154 सेमी²
= 462 सेमी²

4. शंकु के आकार का एक तंबू 10 मी ऊँचा है, उसके आधार की त्रिज्या 24 मी है। ज्ञात कीजिए : (i) तंबू की तिर्यक ऊँचाई (ii) तंबू में लगे केनवास (canvas) की लागत, यदि 1 मी² केनवास की लागत ₹ 70 है।

हल : शंक्वाकार तंबू की ऊँचाई h = 10 मी
शंक्वाकार तंबू की त्रिज्या ; r = 24 मी
(i) तंबू की तिर्यक ऊँचाई ;

= 26 मी
भाग (ii) के लिए, तंबू को बनाने में लगा केनवास
= तंबू का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
= ????rl

1 मी² केनवास का मूल्य = ₹ 70
केनवास का मूल्य
= ₹ = ₹ 137280

5. 8 मी ऊँचाई और आधार की त्रिज्या 6 मी वाले एक शंकु के आकार का तंबू बनाने में 3 मी चौड़े तिरपाल की कितनी लम्बाई लगेगी? यह मान कर चलिए कि इसकी सिलाई और कटाई में 20 सेमी तिरपाल अतिरिक्त लगेगा। (???? = 3.14 का प्रयोग कीजिए)

हल : तंबू की ऊँचाई ; h = 8 मी
तंबू की त्रिज्या ; r = 6 मी
तंबू की तिर्यक ऊँचाई ;

मी
मी
= 10मी
तिरपाल का क्षेत्रफल = तंबू का वृक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = ????rl
= 3.14 x 6 x 10 मी² = 188.4 मी²
तिरपाल की चौड़ाई = 3 मी
मान लीजिए तिरपाल की लंबाई = L
∴ तिरपाल का क्षेत्रफल = लंबाई x चौड़ाई = L x 3 मी
= 3L मी
3L मी = 188.4 मी² [∵ क्षेत्रफल = 188.4 मी²]

सिलाई और कटाई में लगी तिरपाल की अतिरिक्त लम्बाई 20 सेमी है।
अर्थात् 0.2 मी [∵ 1 सेमी = 1/100 मी]
इसलिए तंबू बनाने में लगी तिरपाल की कुल लंबाई
(62.8 + 0.2) मी = 63 सेमी

6. शंकु के आधार की एक गुंबद की तिर्यक ऊँचाई और आधार व्यास क्रमशः 25 मी और 14 मी हैं। इसके वक्र पृष्ठ पर ₹ 210 प्रति ₹ 100 मी की दर से सफेदी कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।

हल : शंक्वाकार गुंबद की तिर्यक ऊँचाई l = 25 मी
शंक्वाकार गुंबद के आधार का व्यास = 14 मी
शंक्वाकार गुंबद की त्रिज्या
गुंबद का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = ????rt

100 मी² पर सफेदी कराने का व्यय = ₹ 210
1 मी² पर सफेदी कराने का व्यय = ₹
550 मी² पर सफेदी कराने का व्यय = ₹ x 550 = ₹ 1155

7. एक जोकर की टोपी एक शंकु के आकार की है, जिसके आधार की त्रिज्या 7 सेमी और ऊँचाई 24 सेमी है। इस प्रकार की 10 टोपियाँ बनाने के लिए आवश्यक गत्ते का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल : टोपी के आधार की त्रिज्या r = 7 सेमी
टोपी की ऊँचाई ; h = 24 सेमी
टोपी शंकु के आकार की है।

तिर्यक ऊँचाई ;
सेमी
सेमी सेमी = 25 सेमी
एक टोपी बनाने में लगे गत्ते का क्षेत्रफल = शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
= ????rl

∴ 10 टोपियाँ बनाने में लगे गत्ते का क्षेत्रफल
= 10 x 550 सेमी² = 5500 सेमी

8. किसी बस स्टाप को पुराने गत्ते से बने 50 खोखले शंकुओं द्वारा सड़क से अलग किया हुआ है। प्रत्येक शंकु के आधार का व्यास 40 सेमी है और ऊँचाई 1 मी है। यदि इन शंकुओं के बाहरी पृष्ठों को पेंट करवाना है और पेंट की दर ₹ 12 प्रति मी² है, तो इनको पेंट कराने में कितनी लागत आएगी?
(???? = 3.14 और √1.04 = 1.02 का प्रयोग कीजिए)

हल : मान लीजिए वृत्ताकार आधार की त्रिज्या = r
∴ व्यास ; 2r = 40 सेमी
⇒
⇒ r = 20 सेमी
⇒

शंकु की ऊँचाई, h = 1 मी
तिर्यक ऊँचाई,
मी
⇒ मी
⇒ मी
शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = ????rl
= 3.14 x 0.2 x √1.04 मी²
= 3.14 x 0.2 x 1.02 मी²
= 0.64056 मी²
1 मी² शंकु को पेंट कराने की लागत = ₹ 12
0.64056 मी² शंकु को पेंट कराने की लागत
= ₹ (12 x 0.64056)
= ₹ 7.68672
एक शंकु को पेंट कराने की लागत = ₹ 7.68672
ऐसे 50 शंकु को पेंट कराने की लागत = ₹ 50 x 7.68672
= ₹ 384.34 (लगभग)

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