Class 9 Maths Chapter 13 – पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन

Class 9 Maths पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन (प्रश्नावली 13.8)

जब तक अन्यथा न कहा जाए, लीजिए।

1. उस गोले का आयतन ज्ञात कीजिए जिसकी त्रिज्या निम्न है?
(i) 7 सेमी (ii) 0.63 मी

हल : (i) गोले की त्रिज्या ; R = 7 सेमी
गोले का आयतन

(ii) गोले की त्रिज्या ; R = 0.63 मी
गोले का आयतन

= 1.047816 मी³
= 1.05 मी³ (लगभग)

2. एक ठोस गोलाकार गेंद द्वारा हटाए गए (विस्थापित) पानी का आयतन ज्ञात कीजिए, जिसका व्यास निम्न है:
(i) 28 सेमी (ii) 0.21 मी

हल : (i) गोलाकार गेंद का व्यास = 28 सेमी
गोलाकार गेंद की त्रिज्या सेमी = 14 सेमी [∵ व्यास = 2 त्रिज्या]
विस्थापित पानी गेंद के आयतन के बराबर होगा।
∴ विस्थापित पानी का आयतन = गोलाकार गेंद का आयतन

(ii) गेंद का व्यास = 0.21 मी
गेंद की त्रिज्या ; [∵ व्यास = 2 त्रिज्या
विस्थापित पानी का आयतन = गोलाकार गेंद का आयतन

3. धातु की एक गेंद का व्यास 42 सेमी है। यदि इस धातु का घनत्व 8.9 ग्राम प्रति सेमी³ है, तो इस गेंद का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए।

हल : धातु की गेंद का व्यास = 4.2 सेमी
धातु की गेंद की त्रिज्या
[∵ व्यास = 2 त्रिज्या]
धातु का आयतन = गेंद का आयतन

= 38.808 सेमी³
धातु का घनत्व = 8.9 ग्राम प्रति सेमी³
∴ 1 सेमी³ का द्रव्यमान = 8.9 ग्राम
38.808 सेमी³ का द्रव्यमान = 8.9 X 38.808 ग्राम
= 345.3912 ग्राम
= 345.39 ग्राम (लगभग)

4. चंद्रमा का व्यास पृथ्वी के व्यास का लगभग एक चौथाई है। चंद्रमा का आयतन पृथ्वी के आयतन की कौन-सी भिन्न है?

हल : मान लीजिए पृथ्वी का व्यास = x
∴ पृथ्वी की त्रिज्या
∴ पृथ्वी गोलाकार है।
∴ पृथ्वी का आयतन

….(i)

अब चंद्रमा का व्यास पृथ्वी का व्यास

∴ चंद्रमा की त्रिज्या ;
चंद्रमा भी गोलाकार है।
∴ चंद्रमा का आयतन = गोले का आयतन

पृथ्वी का आयतन
[∵ (I) से पृथ्वी का आयतन ]

∴ चंद्रमा का आयतन पृथ्वी के आयतन का वाँ भाग है।

5. व्यास 10.5 सेमी वाले एक अर्धगोलाकार कटोरे में कितने लीटर दूध आ सकता है ?

हल : अर्धगोलाकार कटोरे का व्यास = 10.5 सेमी³
अर्धगोलाकार कटोरे की त्रिज्या
[∵ व्यास = 2 त्रिज्या]
अर्धगोलाकार कटोरे में दूध का आयतन = अर्धगोले का आयतन

= 303.187 सेमी³
[∵ 1000 सेमी³ = 1 लीटर]

= 0.303187 लीटर
= 0.303 लीटर (लगभग)

6. एक अर्धगोलाकार टंकी 1 सेमी³ मोटी लोहे की चादर (sheet) से बनी है। यदि इसकी आंतरिक त्रिज्या 1 मी है तो टंकी को बनाने में लगे लोहे का आयतन ज्ञात कीजिए।

हल : अर्धगोलाकार टंकी की आंतरिक त्रिज्या = 1 मी
r = 100 सेमी
चादर की मोटाई = 1 सेमी
∴ अर्धगोलाकार टंकी की बाह्य त्रिज्या
R = (100 + 1) सेमी = 101 सेमी
टंकी को बनाने में प्रयुक्त लोहे का आयतन = बाह्य अर्धगोले का आयतन – आंतरिक अर्धगोले का आयतन

= 0.06348 मी³ (लगभग)

7. उस गोले का आयतन ज्ञात कीजिए जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल 154 सेमी है।

हल : गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 154 सेमी²
मान लीजिए गोले की त्रिज्या = R
∴ 4????R² = 154 सेमी²
या
या,
या,
∴ गोले का आयतन

8. किसी भवन का गुंबद एक अर्धगोले के आकार का है। अंदर से, इस c को सफेदी कराने में ₹ 498.96 व्यय हुए। यदि सफेदी कराने की दर ₹ 2 प्रति वर्ग मीटर है, तो ज्ञात कीजिए :
(i) गुंबद का आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
(ii) गुंबद के अंदर की हवा का आयतन

हल :(i) सफेदी कराने में कुल व्यय = ₹ 498.96
सफेदी कराने की दर = ₹ 2.00 प्रति मी²
∴ सफेदी किए गए कुल भाग का क्षेत्रफल = कुल व्यय/दर

∴ गुंबद का आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल = 249.48 मी²

(ii) मान लीजिए गुंबद की आंतरिक त्रिज्या = R
2????R² = 249.48 मी²
या
या
या
या
= 6.3 मी
गुंबद के अंदर की हवा का आयतन = गोलार्ध गुंबद का आयतन

= 44 x 2.1 x 0.9 x 6.3 मी³
= 523.9 मी³ (लगभग)

9. लोहे के सत्ताइस ठोस गोलों को पिघलाकर, जिनमें से प्रत्येक की त्रिज्या r है और पृष्ठीय क्षेत्रफल S है, एक बड़ा गोला बनाया जाता है जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल S’ है। ज्ञात कीजिए :
(i) नए गोले की त्रिज्या
(ii) S और S’ का अनुपात

हल :(i) गोलों की संख्या = 27
प्रत्येक गोले की त्रिज्या = r
∴ 1 गोले का आयतन
27 गोलों का आयतन …(I)
अब इन ठोस गोलों को पिघलाकर r’ त्रिज्या का एक नया गोला बनाया गया है
∴ नए गोले का आयतन
∴ नए गोले का आयतन = 27 गोलों का आयतन
∴ I और II से,

या

या
या r = 3r
∴ नये गोले की त्रिज्या = 3r
(ii) अब दिए गए गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल S और त्रिज्या r है।
∴ S = 4????r² …(III)
नये गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल S’ और त्रिज्या r’ है।
∴ S’= 4????r²= 4????(3r)² [∵ r = 3r]
S’= 4 ???? x 3r x 3r = 36 ????r² …(IV)
अब
S : S’ = 1 : 9