Class 9 Maths Chapter 13 – पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन

Class 9 Maths पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन (प्रश्नावली 13.2)

जब तक अन्यथा न कहा जाए, लीजिए।

1. ऊँचाई 14 सेमी वाले एक लंब वृत्तीय बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 88 सेमी² है। बेलन के आधार का व्यास ज्ञात कीजिए।

हल : मान लीजिए लंब वृत्तीय बेलन के आधार की त्रिज्या = r सेमी
बेलन की ऊँचाई = h = 14 सेमी
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 88 सेमी²
⇒ 2????rh = 88
⇒

⇒
⇒ r = 1

बेलन के आधार का व्यास = 2r सेमी
= 2 x 1 सेमी
= 2 सेमी

2. धातु की चादर से 1 मी ऊँची और 140 सेमी व्यास के आधार वाली एक बंद बेलनाकार टंकी बनाई जानी है। इस कार्य के लिए कितने वर्ग मीटर चादर की आवश्यकता होगी?

हल : मान लीजिए बेलनाकार टंकी के आधार की त्रिज्या = r
∴ व्यास = 2r = 140 सेमी
⇒ सेमी
⇒ r = 70 सेमी
⇒ सेमी
⇒ r = 0.7 मी
बेलन की ऊँचाई = h = 1 मी
बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2????r(r + h)
= मी²
= 2 x 22 x 0.1 x 1.7 मी²
= 7.48 मी²
अतः, बंद बेलनाकार टंकी बनाने के लिए 7.48 मी² चादर की आवश्यकता है।

3. धातु का एक पाइप 77 सेमी लम्बा है। इसके एक अनुप्रस्थकाट का आंतरिक व्यास 4 सेमी है और बाहरी व्यास 4.4 सेमी है (देखिए आकृति) ज्ञात करें :
(i) आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
(ii) बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
(iii) कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल

हल : पाइप की लम्बाई = 77 सेमी
(i) अनुप्रस्थ काट का आंतरिक व्यास = 4 सेमी
∴ अनुप्रस्थ काट की आंतरिक त्रिज्या r = 4 सेमी/2 = 2 सेमी
क्योंकि पाइप बेलनाकार है,
∴ आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2????rh [∵ पाइप की लम्बाई = ऊँचाई] = सेमी²
= 2 x 22 x 2 x 11 सेमी²
= 968 सेमी²

(ii) पाइप की लम्बाई = 77 सेमी
पाइप का बाहरी व्यास = 4.4 सेमी
पाइप की बाहरी त्रिज्या R = 4.4 सेमी/2 = 2.2 सेमी
∴ बेलन का बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 2????rh
= सेमी²
सेमी²
सेमी²
= 1064.8 सेमी²
(iii) अब पाइप के दोनों अंत सिरों में प्रत्येक सिरे पर 2 सेमी और 2.2 सेमी त्रिज्याओं के वृत्त हैं,
∴ पाइप के दोनों सिरों का क्षेत्रफल = 2
(बाहरी वृत्त का क्षेत्रफल – आंतरिक वृत्त का क्षेत्रफल)
= 2(????R² – ????r²)
= 2????(R² – r²)
सेमी²
सेमी²
सेमी² = 5.28 सेमी²
∴ पाइप का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = आंतरिक वक्र पृष्टीय क्षेत्रफल + बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + दो वृत्तीय सिरों का क्षेत्रफल
= 968 सेमी² + 1064.8 सेमी² + 5.28 सेमी²
= 2038.08 सेमी²

4. एक रोलर (roller) का व्यास 84 सेमी है और लंबाई 120 सेमी है। एक खेल के मैदान को एक बार समतल करने के लिए 500 चक्कर लगाने पड़ते हैं। खेल के मैदान का मी² में क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल : रोलर का व्यास = 84 सेमी

रोलर की त्रिज्या सेमी = 42 सेमी
रोलर की लम्बाई l = 120 सेमी
∵ रोलर बेलन के आकार का है।
∴ रोलर का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
= बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 2????rh (∵ l = h)
सेमी²
= 31680 सेमी²
= मी
= 3.1680 मी²
अब रोलर द्वारा एक चक्कर में समतल किया गया क्षेत्रफल = 3.1680 मी²
∴ रोलर द्वारा 500 चक्करों में समतल किया गया क्षेत्रफल = 500 x 3.1680 मी²
= 1584.0000 मी²
= 1584 मी²
खेल के मैदान का क्षेत्रफल = रोलर द्वारा 500 चक्करों में समतल किया गया क्षेत्रफल = 1584 मी²

5. किसी बेलनाकार स्तंभ का व्यास 50 सेमी है और ऊँचाई 3.5 मी है। 12.50 प्रति मी² की दर से इस स्तंभ के वक्र पृष्ठ पर पेंट कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।

हल :स्तंभ का व्यास = 50 सेमी
∴ स्तंभ की त्रिज्या = 50 सेमी/2 = 25 सेमी

स्तंभ की ऊँचाई = 3.5 मी
स्तंभ का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2????rh

1 मी² पर पेंट कराने का व्यय = ₹ 12.50
मी² पर पेंट कराने का व्यय = ₹ 12.50 x
= ₹ 68.75

6. एक लम्ब वृत्तीय बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 4.4 मी² है। यदि बेलन के आधार की त्रिज्या 0.7 मी है, तो उसकी ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल : बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4.4 मी²
बेलन की त्रिज्या r = 0.7 मी
मान लीजिए बेलन की ऊँचाई = h
∴ 2????rh = 4.4
या,
या, 44×0.1xh=4.4
या, 44 x 0.1 x h = 4.4
या,
या,
बेलन की ऊँचाई = 1 मी

7. किसी वृत्ताकार कुएँ का आंतरिक व्यास 3.5 मी है और यह 10 मी गहरा है। ज्ञात कीजिए :
(i) आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
(ii) ₹ 40 प्रति मी² की दर से इसके वक्र पृष्ठ पर प्लास्टर कराने का व्यय

हल : वृत्ताकार कुएँ का आंतरिक व्यास = 3.5 मी
वृत्ताकार कुएँ की त्रिज्या
कुएँ की गहराई = 10मी
कुएँ का आकार बेलनाकार है।

भाग (i) के लिए, कुएँ का आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2????rh
[यहाँ गहराई = कुएँ की ऊँचाई]

= 110 मी²
भाग (ii), के लिए 1 मी2 पर प्लास्टर कराने का व्यय = ₹ 40
110 मी2 पर प्लास्टर कराने का व्यय = ₹ 40 x 110 = ₹ 4400

8. गरम पानी द्वारा गरम रखने वाले एक संयंत्र में 28 मी लम्बाई और 5 सेमी व्यास वाला एक बेलनाकार पाइप है। इस संयंत्र में गर्मी देने वाला कुल कितना पृष्ठ है?

हल :मान लीजिए बेलनाकार पाइप की लम्बाई (अर्थात् ऊँचाई) = h
∴ h = 28 मी = 2800 सेमी
और बेलनाकार पाइप की त्रिज्या = r
∴ 2r = 5 सेमी
⇒
गर्मी देने वाले बेलनाकार
पाइप का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2????rh

= 44000 सेमी²

= 4.4 मी²

9. ज्ञात कीजिए :
(i) एक बेलनाकार पेट्रोल की बंद टंकी का पावं या वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल, जिसका व्यास 4.2 मी है और ऊँचाई 4.5 मी है।
(ii) इस टंकी को बनाने में कुल कितना इस्पात (steel) लगा होगा, यदि कुल इस्पात का भाग बनाने में नष्ट हो गया है?

हल : (i) मान लीजिए बेलनाकार पेट्रोल की टंकी की त्रिज्या = r
∴ व्यास; 2r = 4.2 मी
⇒
⇒ r = 2.1 मी
टंकी की ऊँचाई, h = 4.5 मी
पेट्रोल की टंकी का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2????rh

= 59.4 मी²
(ii) मान लीजिए टंकी बनाने में प्रयुक्त हुए इस्पात का वास्तविक क्षेत्रफल x मी² है।
क्योंकि कुल इस्पात का भाग बनाने में नष्ट हुआ, टंकी को बनाने में लगे इस्पात का क्षेत्रफल

⇒
⇒ ???? = 64.8 मी
अतः, टंकी को बनाने में लगा स्टील 64.8 मी² है।

10. आकृति में, आप एक लैंपशेड का फ्रेम देख रहे हैं। इसे एक सजावटी कपड़े से ढका जाना है। इस फ्रेम के आधार का व्यास 20 सेमी है और ऊँचाई 30 सेमी है। फ्रेम के ऊपर और नीचे मोड़ने के लिए दोनों ओर 2.5 सेमी अतिरिक्त कपडा भी छोड़ा जाना है। ज्ञात कीजिए कि लैंपशेड को ढकने के लिए कुल कितने कपड़े की आवश्यकता होगी?

हल :

फ्रेम की ऊँचाई, H = 30 सेमी
ऊपर और नीचे मोड़ने वाले प्रत्येक कपडे की ऊँचाई
h = 2.5 सेमी
मान लीजिए प्रत्येक भाग की त्रिज्या = r
व्यास, 2r = 20 सेमी
⇒
लैंपशेड ढकने के लिए आवश्यक कपड़ा = बेलन I के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल + बेलन II के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल + बेलन III के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल
= 2????rh + 2????rH + 2????rh
= 2????r (h + H + h)
= 2????r (H + 2h)

= 440 x 5 = 2200 सेमी²

11. किसी विद्यालय के विद्यार्थियों से एक वृत्ताकार आधार वाले बेलनाकार कलमदानों को गत्ते से बनाने और सजाने की प्रतियोगिता में भाग लेने के लिए कहा गया। प्रत्येक कलमदान को 3 सेमी त्रिज्या और 10.5 सेमी ऊँचाई का होना था। विद्यालय को इसके लिए प्रतिभागियों को गत्ता देना था। यदि इसमें 35 प्रतिभागी थे, तो विद्यालय को कितना गत्ता खरीदना पड़ा होगा?

हल : मान लीजिए, बेलनाकार कलमदान की त्रिज्या = r
∴ r = 3 सेमी
और बेलनाकार कलमदान की ऊँचाई h
∴ h = 10.5 सेमी
एक कलमदान के लिए वांछित गत्ता = कलमदान का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + वृत्ताकार आधार का क्षेत्रफल
= 2????rh + ????r²
= ????r(2h + r)

= 226.28 सेमी²
अब, एक कलमदान बनाने के लिए वांछित गत्ता
= 226.28 सेमी²
∴ 35 कलमदान बनाने के लिए वांछित गत्ता
= (226.28 x 35) सेमी²
= 7919.8 सेमी²
= 7920 सेमी² (लगभग)

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