Class 9 Maths Chapter 13 – पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन

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Class	Class 9
Subject	Mathematics
Chapter	Chapter 13
Chapter Name	पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन

NCERT Solutions For Class 9 गणित Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन

Class 9 Maths पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन (प्रश्नावली 13.1)

1. 1.5 मी लम्बा, 1.25 मी चौड़ा और 65 सेमी गहरा प्लास्टिक का एक डिब्बा बनाया जाना है। इसे ऊपर से खुला रखना है। प्लास्टिक शीट की मोटाई को नगण्य मानते हुए, निर्धारित कीजिए :
(i) डिब्बा बनाने के लिए आवश्यक प्लास्टिक शीट का क्षेत्रफल।
(ii) इस शीट का मूल्य, यदि 1 मी शीट का मूल्य के 20 है।

हल : (i) मान लीजिए प्लास्टिक शीट की लम्बाई (l) = 1.5 मी
चौड़ाई (b) =1.25 मी
और गहराई (h) = 65 मी

मी
= 0.65 मी
ऊपर से खुला बॉक्स बनाने के लिए वांछित शीट का क्षेत्रफल
= 2(bh + hl) + lb
= मी²
= 2 (0.8125 + 0.975) मी² + 1.875 मी²
= 2 (1.7875) मी² + 1.875 मी²
= 3.575 मी² + 1.875 मी²
= 5.45 मी²
(ii) 1 मी² शीट का मूल्य = ₹ 20
5.45 मी² शीट का मूल्य = ₹ (20 x 5.45) = ₹ 109

2. एक कमरे की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः 5 मी, 4 मी और 3 मी हैं। ₹ 7.50 प्रति मी² की दर से इस कमरे की दीवारों और छत पर सफेदी कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।

हल : मान लीजिए कमरे की लम्बाई (l) = 5 मी
चौड़ाई (b) = 4 मी
और ऊँचाई (h) = 3 मी
कमरे की चार दीवारों का क्षेत्रफल = पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 2 (bh + hl)
= 2 (b + l) h
= 2 (4 + 5) 3मी²
= 2 x 9 x 3 मी²
= 54 मी²
छत का क्षेत्रफल = l x b
= (5 x 4) मी²
= 20 मी²
अतः, दीवारों और छत का कुल क्षेत्रफल
= 54 मी² + 20 मी²
= 74 मी²
1 मी² को सफेदी करवाने का व्यय = ₹ 7.50
74 मी² को सफेदी करवाने का व्यय
= ₹ (7.50 x 74)
= ₹ 555

3. किसी आयताकार हॉल के फर्श का परिमाप 250 मी है। यदि ₹ 10 प्रति मी² की दर से चारों दीवारों पर पेंट कराने की लागत के ₹ 15000 है, तो इस हॉल की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल : मान लीजिए आयताकार हाल की लम्बाई = l मी
चौड़ाई = b मी
∴ आयताकार हाल का परिमाप = 2 (l + b) = 250 मी …(i)
अब कमरे की चार दीवारों का क्षेत्रफल
= दीवारों पर पेंट कराने की लागत/ 1 मी² दीवारों पर पेंट कराने की लागत
= ₹15000/₹10
= 1500 मी² … (ii)
मान लीजिए मीटरों में आयताकार हाल की ऊँचाई = h मी
चार दीवारों का क्षेत्रफल (पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल)
= 2 (l + b) h = 1500 मी² [(ii) का प्रयोग करने से] ⇒ 250 x h = 1500 [(ii) का प्रयोग करने से] ⇒ h = 6
अतः, हाल की वांछित ऊँचाई 6 मी है।

4. किसी डिब्बे में भरा हुआ पेंट 9.375 मी² के क्षेत्रफल पर पेंट करने के लिए पर्याप्त है। इस डिब्बे के पेट से 22.5 सेमी x 10 सेमी x 7.5 सेमी विमाओं वाली कितनी ईंटें पेंट की जा सकती हैं?

हल : ईंट की लम्बाई = l = 22.5 सेमी
चौड़ाई = b = 10 सेमी
और ऊँचाई = h = 7.5 सेमी
एक ईंट का क्षेत्रफल = 2 (lb + bh + ht)
= 2 (22.5 x 10 + 10 x 7.5 + 7.5 x 22.5) सेमी²
= 2 (225 + 75 + 468.75) सेमी²
= 2 X 468.75 सेमी²
= 937.5 सेमी²

= 0.09375 मी²
पेंट की जाने वाली ईंटों की संख्या
= क्षेत्रफल पेंट करने के लिए डिब्बे में उपलब्ध पेंट/एक ईंट का पेंट करने वाला क्षेत्रफल

= 100
अतः, डिब्बे में उपलब्ध पेंट से 100 ईंटें पेंट की जा सकती हैं।

5. एक घनाकार डिब्बे का किनारा 10 सेमी लम्बाई का है तथा एक अन्य घनाभाकार डिब्बे की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः 12.5 सेमी, 10 सेमी और 8 सेमी हैं।
(i) किस डिब्बे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल अधिक है और कितना अधिक है ?
(ii) किस डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल कम है और कितना कम है?

हल : मान लीजिए घनाकार डिब्बे का किनारा = l
∴ l = 10 सेमी
(i) घनाकार डिब्बे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल
= इसकी चार दीवारों का क्षेत्रफल

= दीवार के क्षेत्रफल का 4 गुना
= 4l²
= 4 (10)² सेमी²
= 4 (10 x 10) सेमी²
= 4 x 100 सेमी²
= 400 सेमी² … (α)
घनाभाकार डिब्बे के लिए
∴ लम्बाई l = 12.5 सेमी
चौड़ाई; b = 10 सेमी
और ऊँचाई; h = 8 सेमी
घनाभाकार डिब्बे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल
= चार दीवारों का क्षेत्रफल

= 2(l + b) h
= 2 (10 + 12.5) 8 सेमी²
= 2 (22.5) 8 सेमी²
= 2 x 22.5 x 8 सेमी²
= 360 सेमी² … (b)
(α) और (b) से हम देखते हैं कि घनाकार डिब्बे का पृष्ठीय क्षेत्रफल घनाभाकार डिब्बे से (400 – 360) सेमी² – अर्थात् 40 सेमी² अधिक है।

(ii) घनाकार डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6l²
= 6 (10)2 सेमी²
= 6 x 10 x 10 सेमी²
= 600 सेमी² … (c)
घनाभाकार डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 2 (lb + bh + hl)
= 2 (10 x 12.5 + 12.5 x 8 + 8 x 10) सेमी²
= 2 (125 + 100 + 80) सेमी²
= 2 (305) सेमी²
= 2 x 305 सेमी²
= 610 सेमी² … (d)
(c) और (d) से हम देखते हैं कि घनाकार डिब्बे का पृष्ठीय क्षेत्रफल घनाभाकार डिब्बे से (610 – 600) सेमी अर्थात् 10 सेमी² कम है।

6. एक छोटा पौधा घर (green house) सम्पूर्ण रूप से शीशे की पट्टियों से (आधार भी सम्मिलित है) घर के अंदर ही बनाया गया है और शीशे की पट्टियों को टेप द्वारा चिपका कर रोका गया है। यह पौधा घर 30 सेमी लम्बा, 25 सेमी चौड़ा और 25 सेमी ऊँचा है।
(i) इसमें प्रयुक्त शीशे की पट्टियों का क्षेत्रफल क्या है?
(ii) सभी 12 किनारों के लिए कितने टेप की आवश्यकता है?

हल : (i) मान लीजिए पौधा घर के लिए
लंबाई ; l = 30 सेमी
चौड़ाई ; b = 25 सेमी
और ऊँचाई ; h = 25 सेमी

शीशे की पट्टियों का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 2 (lb + bh + hl)
= 2 (30 x 25 + 25 x 25 + 25 x 30) सेमी²
= 2 (750 + 625 + 750) सेमी²
= 2 x 2125 सेमी²
= 4250 सेमी²
अतः, 4250 सेमी² शीशे की आवश्यकता है।
(ii) 12 किनारों पर टेप प्रयुक्त की गई है।
अर्थात् 4 लम्बाइयाँ, 4 चौड़ाइयाँ 4 ऊँचाइयाँ
टेप की कुल लम्बाई = 4 (l + b + b)
= 4 (30 + 25 + 25) सेमी
= 4 (80) सेमी
= 320 सेमी
अतः, सभी 12 किनारों के लिए 320 सेमी टेप की आवश्यकता है।

7. शांति स्वीट स्टाल अपनी मिठाइयों को पैक करने के लिए गत्ते के डिब्बे बनाने का ऑर्डर दे रहा था। दो मापों के डिब्बों की आवश्यकता थी। बड़े डिब्बों की माप 25 सेमी x 20 सेमी x 5 सेमी और छोटे डिब्बे की माप 15 सेमी x 12 सेमी x 5 सेमी थीं। सभी प्रकार की अतिव्यापिकता (over laps) के लिए कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल के 5% के बराबर अतिरिक्त गत्ता लगेगा। यदि गत्ते की लागत ₹ 4 प्रति 1000 सेमी² है, तो प्रत्येक प्रकार के 250 डिब्बे बनवाने की कितनी लागत आएगी ?

हल : मान लीजिए बड़े डिब्बे की लम्बाई = L सेमी
∴ L = 25 सेमी
चौड़ाई, B = 20 सेमी
और ऊँचाई, H = 5 सेमी

बड़े डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 2 (LB + BH + HL)
= 2 (25 x 20 + 20 x 5 + 5 x 25) सेमी²
= 2 (500 + 100 + 125) सेमी²
= 2 (725) सेमी²
= 1450 सेमी²
सभी प्रकार की अतिव्यापिकता के लिए कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल के 5% के बराबर वांछित गत्ते का क्षेत्रफल
= 1450 सेमी² का 5%
= सेमी²
= 72.5 सेमी
अब अतिरिक्त अतिव्यापिकता के साथ एक बड़े डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल
= (1450 + 72.5) सेमी²
= 1522.5 सेमी²
ऐसे 250 डिब्बों का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (अतिरिक्त अतिव्यापिकता के साथ)
= (1522.5 x 250) सेमी²
= 380625 सेमी²
1000 सेमी² गत्ते की लागत = ₹ 4
1 सेमी² गत्ते की लागत = ₹
380625 सेमी² गत्ते की लागत
= ₹
= ₹ 1522.50
अब, मान लीजिए छोटे डिब्बे की लम्बाई = l सेमी
∴ l = 15 सेमी
चौड़ाई ; b = 12 सेमी
और ऊँचाई : h = 5 सेमी

छोटे डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 2 (lb + bh + hl)
= 2 (15 x 12 + 12 x 5 + 5 x 15) सेमी²
= 2 (180 + 60 + 75) सेमी²
= 2 (315) सेमी²
= 630 सेमी²
सभी प्रकार की अतिव्यापिकता के लिए कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल के लिए अतिरिक्त 5% गत्ता
= 630 सेमी² का 5%
= सेमी²
= 31.5 सेमी
अब अतिरिक्त अतिव्यापिकता के साथ छोटे डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल
= (630 + 31.5) सेमी²
= 661.5 सेमी²
ऐसे 250 छोटे डिब्बों का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल
(अतिरिक्त अतिव्यापिकता के साथ)
= (661.5 x 250) सेमी²
= 165375 सेमी²
1000 सेमी² के लिए गत्ते की लागत = ₹ 4
1 सेमी² के लिए गत्ते की लागत = ₹
165375 सेमी² के लिए गत्ते की लागत
= ₹
= ₹ 661.50
प्रत्येक प्रकार के 250 गत्ते के डिब्बों की कुल लागत
= बड़े डिब्बों की लागत + छोटे डिब्बों की लागत
= ₹ 1522.5 + ₹ 661.50
= ₹ 2184

8. परवीन अपनी कार खड़ी करने के लिए, एक संदूक के आकार के ढाँचे जैसा एक अस्थाई स्थान तिरपाल की सहायता से बनाना चाहती है, जो कार को चारों ओर से और ऊपर से ढक ले (सामने वाला फलक लटका हुआ होगा जिसे घुमाकर ऊपर किया जा सकता है)। यह मानते हुए कि सिलाई के समय लगा तिरपाल का अतिरिक्त कपड़ा नगण्य होगा, आधार विमाओं 4 मीटर x 3 मीटर और ऊँचाई 2.5 मीटर वाले इस ढांचे को बनाने के लिए कितने तिरपाल की आवश्यकता होगी?

हल : मान लीजिए आधार की लम्बाई = l
∴ l = 4 मी
और आधार की चौड़ाई = b
∴ b = 3 मी
ढांचे की ऊँचाई = h
∴ h = 2.5 मी।
आवश्यक तिरपाल
= चार दीवारों का क्षेत्रफल + छत का क्षेत्रफल
= 2 (l + b) h + 1b
= 2 (4 + 3) 2.5 मी² + 4 x 3 मी²
= 2 x 7 x 2.5 + 12 मी²
= 35 मी² + 12 मी²
= 47 मी²

अतः, ढाँचे के लिए 47 मी² तिरपाल की आवश्यकता है।

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NCERT Solutions For Class 9 गणित Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन

Class 9 Maths पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन (प्रश्नावली 13.1)

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