Class 8 Maths Chapter 11 – क्षेत्रमिति

Class 8 Maths क्षेत्रमिति (प्रश्नावली 11.2)

प्रश्न 1. एक मेज़ के ऊपरी पृष्ठ (सतह) का आकार समलंब जैसा है। यदि इसकी समांतर भुजाएँ 1m और 1.2m हैं तथा इन समांतर भुजाओं के बीच की दूरी 0.8m है, तो इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल : यहाँ पर,

समलंबाकार सतह की समांतर भुजाएँ = 1m व 1.2m
समलंबाकार सतह की समांतर भुजाओं के बीच की दूरी = 0.8m
∴ समलंबाकार सतह का क्षेत्रफल (समांतर भुजाओं का योग) x उनके बीच की दूरी

= 2.2 x 0.4m² = 0.88m² उत्तर

प्रश्न 2. एक समलंब का क्षेत्रफल 34cm है और इसकी ऊँचाई 4cm है। समांतर भुजाओं में से एक की 10cm लंबाई है। दूसरी समांतर भुजा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल : यहाँ पर,
समलंब का क्षेत्रफल = 34cm ²
समलंब की एक समांतर भुजा = 10cm
माना समलंब की दूसरी समांतर भुजा = ????cm
समलंब की ऊँचाई = 4cm

हम जानते हैं कि समलंब का क्षेत्रफल (समांतर भुजाओं का योग) x उनके बीच की दूरी

⇒

या
या 10 + ???? = 17
या ???? = 17 – 10 = 7
अतः समलंब की दूसरी समांतर भुजा की लंबाई = 7cm उत्तर

प्रश्न 3. एक समलंब के आकार के खेत ABCD की बाड़ की लंबाई 120m है। यदि BC = 48m, CD = 17m और AD = 40m है, तो इस खेत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। भुजा AB समांतर भुजाओं AD तथा BC पर लंब है।

हल : यहाँ पर,
AB = ?
BC = 48m
CD = 17m
AD = 40m
प्रश्नानुसार,

AB + BC + CD + AD = 120m
⇒ AB + 48 + 17 + 40 = 120
या AB + 105 = 120
या AB = 120 – 105 = 15m
अब समलंब की समांतर भुजाएँ, BC = 48m व AD = 40m
समांतर भुजाओं के बीच की दूरी (AB) = 15m

∴ समलंबाकार खेत का क्षेत्रफल

= 44 x 15m² = 660m² उत्तर

प्रश्न 4. एक चतुर्भुज आकार के खेत का विकर्ण 24m है और शेष सम्मुख शीर्षों से इस विकर्ण पर खींचे गए लंब 8m एवं 13m हैं। खेत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल : माना, ABCD एक चतुर्भुज आकार का खेत है। इसका विकर्ण AC = 24m, जो इसको दो त्रिभुजों ABC और ACD में विभाजित करता है। यहाँ BF = 8m व DE = 13m

अब, ∆ABC का क्षेत्रफल

∆ACD का क्षेत्रफल

चतुर्भुजाकार खेत का क्षेत्रफल = (∆ABC + ∆ACD) का क्षेत्रफल
= (96 + 156)m²
= 252m² उत्तर
प्रश्न 5. किसी समचतुर्भुज के विकर्ण 7.5cm एवं 12cm हैं। इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल : यहाँ पर, समचतुर्भुज का पहला विकर्ण = 7.5cm

समचतुर्भुज का दूसरा विकर्ण = 12cm

समचतुर्भुज का क्षेत्रफल पहला विकर्ण – दूसरा विकर्ण

उत्तर

प्रश्न 6. एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी भुजा 6cm और शीर्षलंब 4cm है। यदि एक विकर्ण की लंबाई 8cm है तो दूसरे विकर्ण की लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल : यहाँ पर, समचतुर्भुज की भुजा = 6cm

समचतुर्भुज का शीर्षलंब = 4cm
समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = भुजा x शीर्षलंब
= 6 x 4cm² = 24cm² उत्तर
अब, समचतुर्भुज का एक विकर्ण = 8cm
माना समचतुर्भुज का दूसरा विकर्ण = ????cm
समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = 24cm²

पहला विकर्ण x दूसरा विकर्ण = 24

या या
अतः समचतुर्भुज का दूसरा विकर्ण = 6cm उत्तर

प्रश्न 7. किसी भवन के फर्श में समचतुर्भुज के आकार की 3000 टाइलें हैं और इनमें से प्रत्येक के विकर्ण 45cm एवं 30cm लंबाई के हैं। ₹ 4 प्रति वर्ग मीटर की दर से इस फर्श को पॉलिश करने का व्यय ज्ञात कीजिए।

हल : यहाँ पर,

प्रत्येक समचतुर्भुज के आकार की टाइल के विकर्ण = 45cm व 30cm
∴ प्रत्येक समचतुर्भुज के आकार की टाइल का क्षेत्रफल पहला विकर्ण x दूसरा विकर्ण

फर्श में लगी 3000 टाइलों का क्षेत्रफल

अत: फर्श का क्षेत्रफल
1m² फर्श पर पॉलिश करने का व्यय = ₹ 4

फर्श पर पॉलिश करने का व्यय = ₹ ₹ 810 उत्तर

प्रश्न 8. मोहन एक समलंब के आकार का खेत खरीदना चाहता है। इस सड़क खेत की नदी के साथ वाली भुजा सड़क के साथ वाली भुजा के समांतर है और लंबाई में दुगुनी है। यदि इस खेत का क्षेत्रफल 10,500m² है और दो समांतर भुजाओं के बीच की लंबवत् दूरी 100m है, तो नदी के साथ वाली भुजा की 8100m लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल :समलंब के आकार के खेत के लिए,
माना सड़क के साथ वाली भुजा की लंबाई = ???? m
तो नदी के साथ वाली भुजा की लंबाई = 2x m
समांतर भुजाओं के बीच की दूरी = 100m
खेत का क्षेत्रफल = 10,500m²

प्रश्नानुसार,

⇒

या 3???? x 50 = 10,500
या 150???? = 10,500
या
अतः नदी के साथ वाली भुजा की लंबाई = 2 x 70m = 140m उत्तर

प्रश्न 9. एक ऊपर उठे हुए चबूतरे का ऊपरी पृष्ठ अष्टभुज के आकार का है। जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। अष्टभुजी पृष्ठ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल : आकृति अनुसार,
अष्टभुजी पृष्ठ का क्षेत्रफल = (समलंब ABCH + आयत CDGH
+ समलंब DEFG) का क्षेत्रफल

= [32 + 55 + 32]m² = 119m² उत्तर

प्रश्न 10. एक पंचभुज आकार का बगीचा है जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए ज्योति और कविता ने इसे दो विभिन्न तरीकों से विभाजित किया। दोनों तरीकों का उपयोग करते हुए इस बगीचे का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। क्या आप इसका क्षेत्रफल ज्ञात करने की कोई और विधि बता सकते हैं?

हल : ज्योति के आरेख अनुसार,

पंचभुज आकार ABCDE का क्षेत्रफल = 2 x समलंब AFDE का क्षेत्रफल

उत्तर
कविता के आरेख अनुसार,

पंचभुज आकार ABCDE का क्षेत्रफल = वर्ग ABCE का क्षेत्रफल + ∆DEC का क्षेत्रफल

= [225 + 112.5]m ²
= 337.5m²
अन्य विधि से क्षेत्रफल,
पंचभुज आकार ABCDE का क्षेत्रफल = आयत ABGH का क्षेत्रफल – 2 x ∆CGD का क्षेत्रफल

= [450 – 112.5]m²
= 337.5m

प्रश्न 11. संलग्न पिक्चर फ्रेम के आरेख की बाहरी एवं अंतः विमाएँ क्रमशः 24cm x 28cm एवं 16cm x 20cm हैं। यदि फ्रेम के प्रत्येक खंड की चौड़ाई समान है, तो प्रत्येक खंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।