Class 10 Maths Chapter 7 Exercise 7.4 – निर्देशांक ज्यामिति

Class 10 Maths Chapter 7 Exercise 7.4 – निर्देशांक ज्यामिति

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 7 Coordinate Geometry Ex 7.4 – जो विद्यार्थी 10वीं कक्षा में पढ़ रहे है उनके लिए यहां पर एनसीईआरटी कक्षा 10 गणित अध्याय 7. (निर्देशांक ज्यामिति) प्रश्नावली 7.4 के लिए सलूशन दिया गया है. जोकि एक सरल भाषा में दिया है .ताकि विद्यार्थी को पढने में कोई दिक्कत न आए .इसकी मदद से आप अपनी परीक्षा में अछे अंक प्राप्त कर सकते है. इसलिए निचे आपको एनसीईआरटी समाधान कक्षा 10 गणित अध्याय 7 निर्देशांक ज्यामिति प्रश्नावली 7.4 दिया गया है .

NCERT Solutions For Class 10th Maths निर्देशांक ज्यामिति (प्रश्नावली 7.4)

हल : मान लीजिए रेखा 2???? + 1) – 4 = 0 बिंदुओं A (2, – 2) और B(3, 7)

को मिलाने वाले रेखाखंड को C (????, y) पर k : 1 के अनुपात में विभाजित करता है।

 

∴ C के निर्देशांक हैं :

और

∴ रेखा 2???? + y – 4 = 0 पर स्थित होगा।

∴

या

या 9k – 2 = 0

या 9k = 2

या

∴ अनुपात

अतः अभीष्ट अनुपात 2 : 9 है। उत्तर

हल : दिए गए बिंदु A (????, y) ; B (1, 2) और C (7, 0) हैं।

यहाँ ????₁ = ????, ????₂ = 1, ????₃ = 7
y₁ = y, y₂ = 2, y₃ = 0

∵ तीन बिंदु संरेखी होते हैं :

यदि

या

या 2???? – y + 7y – 14 = 0

या 2???? + 6y – 14 = 0

या ???? + 3y – 7 = 0 अभीष्ट संबंध हैं। उत्तर

हल : मान लीजिए, O (????, y) उस वृत्त का केंद्र है जो कि बिंदुओं P(6, – 6) ;

Q (3, – 7) और R (3, 3) में से होकर जाता है।
∵ वृत्त की त्रिज्याएँ समान होती हैं।

∴ OP = OQ = OR

या (OP)² = (OQ)² = (OR)²

अब,(OP)² = (OQ)²

(???? – 6)² + (y + 6)² = (???? – 3)² + (y + 7)² या ????² + 36 – 12 ???? + y² + 36 + 12y

= ????² + 9 – 6???? + y² + 49 + 14y

या – 12???? + 12y + 72 = – 6???? + 14y + 58

या – 6x – 2y + 14 = 0

या 3???? + y – 7 = 0 …..(1)

साथ ही, (OQ)² = (OR)²

या (???? – 3)² + (y + 7)² = (???? – 3)² + (y – 3)²

या (y + 7)² = (y – 3)²

या y² + 49 + 14y = y² + 9 – 6y

या 20y = – 40

y के इस मान को (1) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
3???? – 2 – 7 = 0
या 3???? – 9 = 0
या 3???? = 9
या
∴ अभीष्ट केंद्र (3, – 2) है। उत्तर

हल : मान लीजिए वर्ग ACBD के दो सम्मुख शीर्ष A (-1, 2) और C (3, 2)

हैं तथा B का निर्देशांक (????, y) है।

∵ वर्ग की प्रत्येक भुजा की लंबाई समान होती है।

∴ AB = BC

या (AB)² = (BC)²

या (???? + 1)² + (y – 2)² = (???? + 3)² + (y – 2)²

 

या (???? + 1)² = (???? – 3)²
या ????² + 1 + 2 ???? = ???? ² + 9 – 6x
या 8???? = 8

या …..(1)

अब समकोण ∆ACB में,

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर

(AB)² + (BC)² = (AC)²

(???? + 1)² + (y – 2)² + (???? – 3)² + (y – 2)²

= (3 + 1)² + (2 – 2)²

या ????² + 1 + 2???? + y² + 4 – 4y + ????² + 9 – 6????

+ y² + 4 – 4 = 16

या 2????² + 2y² – 4???? – 8y + 2 = 0

????² + y² – 2???? – 4y + 1 = 0

???? = 1, (1) से प्राप्त ???? के मान को प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :

(1)² + y² – 2(1) – 4y + 1 = 0

या y² – 4y = 0

या y(y – 4) = 0

या y = 0 या y – 4 = 0

या y = 0 या y = 4

∴ y = 0, 4

∴ अभीष्ट बिंदु (1, 0) और (1, 4) हैं। उत्तर

(i) A को मूलबिंदु मानते हुए, त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
(ii) यदि मूलबिंदु C हो, तो ∆PQR के शीर्षों के निर्देशांक क्या होंगे ?
साथ ही, उपरोक्त दोनों स्थितियों में, त्रिभुजों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। आप क्या देखते हैं?

हल : स्थिति I. जब A को मूल बिंदु लें तो AD ; X – अक्ष और AB ; Y – अक्ष हैं। ∴ त्रिभुजाकार घास के लॉन PQR के निर्देशांक P (4, 6); Q (3, 2) और R( 6, 5) हैं।

यहां ????₂ = 4, ????₂ = 3, ????₂ = 6

y₁ = 6, y₂ = 2, y₃ = 5

अब ∆PQR का क्षेत्रफल

= 4.5 वर्गमात्रक

स्थिति II. जब C को मूल बिंदु लें तो CB ; X – अक्ष है और CD ; Y – अक्ष लेते हैं।

∴ त्रिभुजाकार घास के लॉन PQR के निर्देशांक हैं : P (12, 2); Q (13, 6) और R (10, 3) हैं।

यहाँ ????₁ = 12, ????₂ = 13, ????₃ = 10

y₁ = 2, y₂ = 6, y₃ = 3

अब ∆PQR का क्षेत्रफ

= 4.5 वर्गमात्रक

उपर्युक्त दोनों स्थितियों से स्पष्ट है कि त्रिभुजाकार घास के लॉन का क्षेत्रफल एक समान रहता है। उत्तर

प्रश्न 6. एक त्रिभुज ABC के शीर्ष A(4,6), B(1, 5) और C(7, 2) हैं। भुजाओं AB और AC को क्रमश: D और E पर प्रतिच्छेद करते हुए एक रेखा इस प्रकार खींची गई है कि है ∆ADE का क्षेत्रफल परिकलित कीजिए और इसकी तुलना ∆ABC के क्षेत्रफल से कीजिए। (प्रमेय 6.2 और प्रमेय 6.6 का स्मरण कीजिए।)

हल : ∆ABC के शीर्ष

A (4, 6); B (1, 5) और C (7, 2) हैं।

भुजाओं AB और AC को क्रमश: D (????₁, y₁) और E (????₂, y₂) पर काटती हुई रेखा इस प्रकार खींचिए ताकि

∴ D और E, AB और AC को अनुपात 1 : 3 में विभाजित करते हैं।

∴ D के निर्देशांक हैं :

और

∴ D के निर्देशांक हैं :

अब E के निर्देशांक हैं :

और

∴ E के निर्देशांक हैं (125)

∆ADE में,

∆ADE का क्षेत्रफल

वर्गमात्रक

∆ABC में,

????₁ = 4, ????₂ = 1, ????₃ = 7

y₁ = 6, y₂ = 5, y₃ = 2

∆ABC का क्षेत्रफल

अब, ∆ADC का क्षेत्रफल/∆ABC का क्षेत्रफल

या

(i) A से होकर जाने वाली माध्यिका BC से D पर मिलती है। बिंदु D के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
(ii) AD पर स्थित ऐसे बिंदु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए कि AP : PD = 2 : 1 हो।
(iii) माध्यिकाओं BE और CF पर ऐसे बिंदुओं Q और R के निर्देशांक ज्ञात कीजिए कि
BQ : QE = 2 : 1 हो और CR : RF = 2 : 1 हो।
(iv) आप क्या देखते हैं?

[नोट : वह बिंदु जो तीनों माध्यिकाओं में सार्वनिष्ठ हो, उस त्रिभुज का केंद्रक (centroid) कहलाता है और यह प्रत्येक माध्यिका को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करता है।

(v) यदि A(x₁, v₁), B(x₂‘ x₂) और C (x₃, x₃) त्रिभुज ABC के शीर्ष हैं, तो इस त्रिभुज के केंद्रक के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

हल : दिया गया है कि ∆ABC के शीर्ष A (4, 2); B (6, 5) और C (1, 4) हैं

(i) AD, शीर्ष A से माध्यिका है।
∴ D, BC का मध्य बिंदु है।

 

तब

अत: D के निर्देशांक हैं। उत्तर

(ii) मान लीजिए P (????, y), AD पर कोई बिंदु इस प्रकार है कि AP : PD = 2 : 1

 

तब

और

अतः P के निर्देशांक हैं। उत्तर

(iii) मान लीजिए BE और CF, AABC की क्रमशः भुजाओं AC और AB पर माध्यिकाएँ हैं।

∴ E और F, क्रमश: AC और AB के मध्यबिंदु हैं।

E के निर्देशांक हैं :

और

∴ E के निर्देशांक हैं :

F के निर्देशांक हैं :

और

∴ F के निर्देशांक हैं :

अब, Q, BE को इस तरह विभाजित करता है कि : BQ : QE = 2 : 1

∴ Q के निर्देशांक हैं :

साथ ही, R, CF को इस तरह विभाजित करता है कि CR : RF = 2 : 1

∴ R के निर्देशांक हैं :

(iv) उपर्युक्त चर्चा से यह स्पष्ट है कि

P, Q और R के निर्देशांक एक समान हैं और एक बिंदु पर संपाती हैं। यह बिंदु त्रिभुज का केंद्रक कहलाता है, जो कि प्रत्येक माध्यिका को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करता है।

Label

मान लीजिए AD, ∆ABC की माध्यिका है।

∴ D, BC का मध्य-बिंदु है तब D के निर्देशांक हैं :

अब G, ∆ABC का केंद्रक है जो माध्यिका AD को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करता है।

∴ G के निर्देशांक हैं : [(iv) का प्रयोग करने पर

हल : दिया है : दी गई आयत ABCD के शीर्ष हैं :

A(- 1, – 1); B (- 1, 4); C (5, 4)

और D (5, – 1).

∵ P, AB का मध्य-बिंदु है

∴ P के निर्देशांक हैं :

∵ Q, BC का मध्य-बिंदु है

∴ Q के निर्देशांक हैं :

∵ R, CD का मध्य-बिंदु है

∴ R के निर्देशांक हैं :

∵ S, AD का मध्य-बिंदु है .

∴ S के निर्देशांक हैं :

अब,

 

और

साथ ही,

और

उपर्युक्त चर्चा से यह स्पष्ट है कि

PQ = QR = RS = SP

साथ ही, PR # QS

→ चतुर्भुज PQRS की सभी भुजाएँ बराबर हैं परंतु विकर्ण बराबर नहीं हैं।

→ चतुर्भुज PQRS एक समचतुर्भुज है।

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