NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 2 – बहुपद

Class 10th Maths बहुपद (प्रश्नावली 2.4)

[su_note] प्रश्न 1. सत्यापित कीजिए कि निम्न त्रिघात बहुपदों के साथ दी गई संख्याएँ उसकी शून्यक हैं। प्रत्येक स्थिति में शून्यकों और गुणांकों के बीच के संबंध को भी सत्यापित कीजिए :[/su_note]
(i) 2????² + ????² – 5???? + 2; 7,1,- 2
(ii) ????³ – 4????² + 5???? – 2; 2, 1,1
हल : (i) मान लीजिए p(????) = 2????² + ????² – 5???? + 2
इसकी तुलना α????³ + b????² + cx + d से करने पर
∴ α = 2, b = 1, c = – 5, d = 2
अब,

∴ का एक शून्यक है।
और p(1) = 2(1)³ + (1)² – 5 (1) + 2
= 2 + 1 – 5 + 2 = 5 – 5 = 0
∴ 1, p(????) का एक शून्यक है।
साथ ही, p(-2) = 2(-2)³ + (-2)² -5 (-2) + 2
= – 16 + 4 + 10 + 2
= – 16 + 16 = 0
∴ – 2, p(????) का एक शून्यक हैं।
उपरोक्त चर्चा से, यह स्पष्ट है कि दिए गए बहुपद के शून्यक हैं। मान लीजिए यह शून्यक हैं :

अब,







उपरोक्त चर्चा से यह स्पष्ट है कि शून्यकों और गुणांकों में संबंध है।
(ii) मान लीजिए p(????) = ????3 – 4????2 + 5???? – 2 इसकी तुलना α????³ + b????² + c???? + d से करने पर
∴ α = 1, b = – 4, c = 5, d = – 2
अब p(2) = (2)³ – 4(2)² + 5(2) – 2
= 8 – 16 + 10 – 2 = 18 – 18 = 0
∴ 2, p (2) का एक शून्यक है।
और p(1) = (1)³ – 4(1)² + 5(1) – 2
= 1 – 4 + 5-2 = 6 – 6 = 0
उपरोक्त चर्चा से, यह स्पष्ट है कि 2, 1, 1 दिए गए बहुपद के शून्यक हैं। मान लीजिए यह शून्यक हैं :
α = 2, β = 1, ???? = 1
अब, α+β+???? = 2 + 1 + 1 = 4

αβ+β????+????α = (2)(1) + (1)(1) + (1)(2)
= 2 + 1 + 2 = 5

αβ???? = (2) (1) (1) = 2

उपरोक्त चर्चा से यह स्पष्ट है कि शून्यकों और गुणांकों में संबंध है।

[su_note] प्रश्न 2. एक त्रिघात बहुपद प्राप्त कीजिए जिसके शून्यकों का योग, दो शून्यकों को एक साथ लेकर उनके गुणनफलों का योग तथा तीनों शून्यकों के गुणनफल क्रमशः 2, – 7, – 14 हों।[/su_note]
हल : त्रिघात बहुपद का सर्वव्यापक व्यंजक है :
α????² + b????² + c???? + d
मान लीजिए α, β, y इसके शून्यक हैं।
∴ α, β, y = शून्यकों का योग = 2
αβ + βy + yα
= शून्यकों के गुणनफलों का योग
= – 7
αβy = शून्यकों का गुणनफल = – 14
∴ α????³ + b????² + c???? + d = k[(???? – α) (???? – β) (???? – y)]
जहाँ k कोई एक अचर है।
= k[????³ – (α + β + y)????² + (αβ + By + yo) ???? – αβy]
= k[????³ – 2????² – 7???? + 14] [(1) का प्रयोग करने पर]
k, के भिन्न-भिन्न मानों के लिए, हम भिन्न-भिन्न त्रिघात बहुपद प्राप्त करते हैं।

प्रश्न 3. यदि बहुपद x³ – 3x² + x + 1 के शून्यक a – b, a, a + b, हो, तो a और b ज्ञात कीजिए।
हल : मान लीजिए ⊘p(????) = ????³ – 3????² + ???? + 1
और इसके शून्यक α – b, α, α + b हैं।
α – b, p(????) का एक शून्यक है।
∴ p(α – b) = 0
या (α – b)³ – 3(α – b)² + (α – b) + 1 = 0
या [α³ – b³ – 3α²b + 3αb³] – 3[α² + b² – 2αb] + α – b + 1 = 0
या α³ – b³ – 3α²b + 3αb² – 3α² – 3b² + 6αb + α – b + 1 = 0 …(1)
और α, p (????) का शून्यक है …(दिया है)
∴ p(α) = 0
या α³ – 3α³ + α + 1 = 0
साथ ही, α + b, p(????) का शून्यक है …(दिया है)
∴ p(α + b) = 0
या (α + b)³ – 3(α + b)² + (α + b) + 1 = 0
या (α³ + b³ + 3α²b + 3αb²) – 3 (α² + b² + 2αb) + α + b – 1 = 0
या α³ + b³ + 3α²b + 3αb² – 3α² – 3b² – 6αb + α + b + 1 = 0 …(3)
(1) और (3), को जोड़ने पर हम प्राप्त करते हैं।
2α³ + 6αb² – 6α² – 6b² + 2α + 2 = 0
या α + 3αb² – 3α² – 3b² + α + 1 = 0
या (α³ – 3α³ + α + 1) + (3αb² – 3b²) = 0
या 0 + 3b² (α – 1) = 0 [(2) का प्रयोग करने से]
α – 1 = 0
α = 1
(3) और (4), से हम प्राप्त करते हैं।
(1)³ + b³ + 3(1)²b + 3(1)b² – 3(1)² – 3b² – 6(1)b + 1 + b + 1 = 0
या 1 + b³ + 3b + 3b²-3 – 3b² – 6b + b + 2 = 0
या b³ – 2b = 0 या b (b² – 2) = 0
या b² – 2 = 0 या b² = 2 या
या b = ±√2
अतः α = 1, b = ±√2
वैकल्पिक हल
दिया है कि बहुपद ????³ – 3????² + ???? + 1 के तीन शून्यक क्रमश: α – b, α, α + b हैं।
अब, शून्यकों का योगफल = (α – b) + α + (α + b)
= α – b + α + α + b
= 3α
परंतु गुणांकों का प्रयोग करके शून्यकों का योगफल
= -????² का गुणांक/????³ का गुणांक

∴ 3α = 3 या α = 1
साथ ही, शून्यकों का गुणनफल = (α – b). α (α + b)
= (α² – b²) α
α का मान भरने पर हम प्राप्त करते हैं
= (1² – b²). 1
= (1 – b²)
परंतु गुणांकों का प्रयोग करके शून्यकों का गुणनफल
= – अचर पद/????³ का गुणांक

∴ 1 – b² = – 1
– b² = – 1 – 1
– b² = – 2 या b² = 2
b = ±√2
अतः α = 1 और b = ±√2

[su_note]  यदि बहुपद x⁴ – 6x³ – 26x² + 138x – 35 के दो शून्यक 2 ±√3, हों, तो अन्य शून्यक ज्ञात कीजिए।[/su_note]
हल : दिया है कि दो शून्यक (2 + √3) और (2 – √3) हैं।
∴ [????-(2+√3)][????-(2-√3)] दी गई बहुपद के गुणनखंड हैं।
अब, [???? – (2 + √3)] [???? – (2-√3)]
= ????² – [2 – √3 + 2 + √3]???? + [(2 + √3) (2 – √3)]
= ????² – 4???? + [(2)² – (√3)²]
= ????² – 4???? + 1
∴ (????² – 4???? + 1) दी गई बहुपद का गुणनखंड है। अब दी गई बहुपद और (????² – 4???? + 1) पर विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करने पर

∴ ????⁴ – 6????³ – 26????² + 138???? – 35
= (????² – 4???? + 1) (????² – 2???? – 35) |S = – 2
= (????² – 4???? + 1) [????² + 5???? – 7???? – 35) |P = – 35
= (????² – 4???? + 1) [???? (???? + 5)- 7 (???? + 5)]
= (????² – 4???? + 1) (???? + 5) (???? – 7)
अब, बहुपद के अन्य शून्यक हैं।
???? + 5 = 0 या ???? – 7 = 0
???? = – 5 या ???? = 7
∴ दी गई चार घात वाली बहुपद के शून्यक हैं :
2 + √3, 2 – √3, – 5,7

[su_note] प्रश्न 5. यदि बहुपद x⁴ – 6x³ + 16x² – 25x + 10 को एक अन्य बहुपद x²-2x + k, से भाग दिया जाए तो शेषफल x + a, आता है, तो k और a ज्ञात कीजिए।[/su_note]
हल : दिया है कि बहुपद ????⁴ – 6????³ + 16????² – 25???? + 10 को एक अन्य बहुपद ????² – 2???? + k से भाग दिया जाता है, तो शेषफल ???? + α आता है। इसलिए सर्वप्रथम हम
????⁴ – 6????³ + 16????² – 25???? + 10 को ????² – 2???? + k, से भाग करते हैं और भागफल और शेषफल ज्ञात करते हैं :

∴ बहुपद ????⁴ – 6????³ + 16????² – 25???? + 10
के लिए विभाजन एल्गोरिथ्म से
= (????² – 2???? + k) [????² – 4???? + (8 – k)]
+ [(-9 + 2k) ???? + (10 – 8k + k²]
∴ भागफल = ????² – 4???? + (8 – k)
और शेषफल = (-9 + 2k)???? + (10 – 8k + k²)
परंतु शेषफल = ????² + α …(दिया है)
∴ (-9 + 2k)???? + (10 – 8k + k²)
= ???? + α
समान गुणांकों की तुलना करने से
– 9 + 2k = 1 या 10 – 8k + K² = α
2k = 1 + 9
2k = 10, हम प्राप्त करते हैं

अब, 10 – 8k + k² = α

k का मान प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं:
10 – 8 x 5 + (5)² = α
10 – 40 + 25 = α
k = 5
– 5 = α
α = – 5
अत: k = 5 और α = – 5

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