Class 9 Maths Chapter 7 – त्रिभुज

NCERT Solutions For Class 9 Mathematics Chapter 7. त्रिभुज – जो विद्यार्थी 9 कक्षा में पढ़ रहे है ,उन सब का सपना होता है कि वे अच्छे अंक से पास हो ,ताकि उन्हें आगे में एडमिशन लेने में कोई दिक्कत न आए .जो विद्यार्थी 9th क्लास में सबसे अच्छे अंक पाना चाहता है उसके लिए यहां पर एनसीईआरटी कक्षा 9th गणित अध्याय 7. (त्रिभुज) का सलूशन दिया गया है. इस NCERT Solutions For Class 9th Maths Chapter 7 Triangles की मदद से विद्यार्थी अपनी परीक्षा की तैयारी कर सकता है और परीक्षा में अच्छे अंक प्राप्त कर सकता है.नीचे आपको एनसीईआरटी समाधान कक्षा 9 गणित अध्याय 7 त्रिभुज दिया गया है ।

Class	Class 9
Subject	Mathematics
Chapter	Chapter 7
Chapter Name	त्रिभुज

NCERT Solutions For Class 9 गणित Chapter 7 त्रिभुज

Class 9 Mathematics त्रिभुज Ex 7.1
Class 9 Mathematics त्रिभुज Ex 7.2
Class 9 Mathematics त्रिभुज Ex 7.3
Class 9 Mathematics त्रिभुज Ex 7.4
Class 9 Mathematics त्रिभुज Ex 7.5

Class 9 Mathematics त्रिभुज (प्रश्नावली 7.1)

1. चतुर्भुज ABCD में AC = AD है और AB, कोण A को समद्विभाजित करता है (देखिए आकृति) दर्शाइए कि △ABC ≌ △ABD है।
BC और BD के बारे में आप क्या कह सकते हैं?

हल :

दिया है : चतुर्भुज ABCD में, AC = AD और AB, ∠A को समद्विभाजित करता है।
सिद्ध करना है : △ABC ≌ △ABD
उपपत्ति: △ABC और △ABD में,
AC = AD [दिया है] ∠BAC = ∠BAD
[∵ AB, ∠A को समद्विभाजित करता है। दिया है] [उभयनिष्ठ] AB = AB
∴ △ABC ≌ △ABD
[SAS सर्वांगसमता नियम द्वारा] अत: BC = BD
[सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग]

2. ABCD एक चतुर्भुज है, जिसमें AD = BC और ∠DAB = ∠CBA है (देखिए आकृति)। सिद्ध कीजिए कि :
(i) △ABD ≌ △BAC
(ii) BD = AC
(iii) ∠ABD = ∠BAC

हल :

△ABD और △ABC में,
AD = BC [दिया है।
∠DAB = ∠CBA [दिया है।
AB = AB [उभयनिष्ठ] ∴ △ABD △BAC [SAS सर्वांगसमता नियम द्वारा] BD = AC [सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग] और ∠ABD = ∠BAC [सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग]

3. एक रेखाखंड AB पर AD और BC दो बराबर लम्ब रेखाखंड हैं। (देखिए आकृति)। दशाईए कि CD, रेखाखंड AB को समद्विभाजित करता है।

हल :

△BOC और △AOD में,
∠OBC = ∠OAD [प्रत्येक 90° (दिया है)] ∠BOC = ∠AOD [शीर्षाभिमुख कोण] BC = AD [दिया है।
∴ △BOC ≌ △AOD [AAS सर्वांगसमता नियम द्वारा] ⇒ OB = OA
[सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग] अतः, CD, रेखाखंड AB को समद्विभाजित करता है।

4. l और m दो समांतर रेखाएँ हैं जिन्हें समांतर रेखाओं p और q का एक अन्य युग्म प्रतिच्छेदित करता है (देखिए आकृति) दर्शाइए कि :
△ABC ≌ △CDA है।

हल :

l ‖ m [दिया है।
AC एक तिर्यक रेखा है।
इसलिए, ∠DAC = ∠ACB [एकांतर कोण] p ‖ q [दिया है।] AC एक तिर्यक रेखा है।
इसलिए, ∠BAC = ∠ACD [एकांतर कोण] अब, △ABC और △CDA,
∠ACB = ∠DAC [ऊपर सिद्ध किया है] ∠BAC = ∠ACD [ऊपर सिद्ध किया है।
AC = AC [उभयनिष्ठ] △ABC ≌ △CDA [AAS सर्वांगसमता नियम द्वारा]

5. रेखा l कोण A को समद्विभाजित करती है और B रेखा l पर स्थित कोई बिंदु है। BP और BQ कोण A की भुजाओं पर B से डाले गए लंब हैं। (देखिए आकृति) दर्शाइए कि :
(i) △APB ≌ △AQB
(ii) BP = BQ है, अर्थात् बिंदु B कोण की भुजाओं से समदूरस्थ है।

हल : दिया है कि रेखा l, ∠A को समद्विभाजित करती है।
∴ ∠BAP = ∠BAQ
अब, △APB और △AQB में,
∠BAP = ∠BAQ [दिया है।
∠BPA = ∠BQA [प्रत्येक 90° (दिया है)] AB = AB [उभयनिष्ठ)
∴ △APB ≌ △AQB
[AAS सर्वांगसमता नियम से] ⇒ BP = BQ
[सर्वांगसम त्रिभुज के संगत भाग] अर्थात् B, ∠A की भुजाओं से समदूरस्थ है।

6. आकृति में, AC = AE, AB = AD और ∠BAD = ∠EAC है। दर्शाइए कि BC = DE है।

हल :

दिया है कि
∠BAD = ∠EAC
दोनों पक्षों में, ∠DAC जोडने पर हमें प्राप्त होता है।
∠BAD + ∠DAC = ∠EAC + ∠DAC
⇒ ∠BAC = ∠EAD … (i)
अब, △ABC और △AED में,
AB = AD [दिया है।
AC = AE [दिया है।
∠BAC = ∠EAD [(i) से] ∴ △ABC ≌ △ADE [AAS सर्वांगसम नियम से] ⇒ BC = DE [सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग]

7. AB एक रेखाखंड है और P इसका मध्य-बिंदु है। D और E रेखाखंड AB के एक ही ओर स्थित दो बिंदु इस प्रकार हैं कि ∠BAD = ∠ABE और ∠EPA = ∠DPB है। (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि :
(i) △ DAP ≌ △ EBP
(ii) AD = BE

हल :

दिया है कि
∠EPA = ∠DPB
दोनों पक्षों में ZEPD जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है :
∠EPA + ∠EPD = ∠DPB + ∠EPD
⇒ ∠APD = ∠BPE
अब, △DAP और △EBP में,
∠PAD = ∠PBE [∵ ∠BAD = ∠ABE (दिया है)
∴ ∠PAD = ∠PBE] ∠APD = ∠BPE [(i) से
AP = PB [∵ P, AB का मध्य-बिंदु है (दिया है)] ∴ △DAP ≌ △EBP [AAS सर्वांसमता नियम द्वारा] ⇒ AD = BE सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग

8. एक समकोण त्रिभुज ABC में, जिसमें कोण C समकोण है, M कर्ण AB का मध्य-बिंदु है। C को M से मिलाकर D तक इस प्रकार बढ़ाया गया है कि DM = CM है। बिंदु D को बिंदु B से मिला दिया जाता है (देखिए आकृति) दर्शाइए कि :

(i) △AMC ≌ △BMD
(ii) ∠DBC एक समकोण है।
(iii) △DBC ≌ △ACB
(iv)

हल : (i) △AMC और ABMD में,
AM = BM [∵ M कर्ण AB का मध्य-बिंदु है (दिया है)] ∠AMC = ∠BMD [शीर्षाभिमुख कोण] CM = DM [दिया है।
∴ △AMC ≌ △BMD [SAS सर्वांगसमता नियम से
∴ ∠ACM = ∠BDM …. (a)
∠CAM = ∠DBM
और AC = BD [सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)

(ii) दो रेखाओं AC और DB के लिए DC एक तिर्यक रेखा है। हमें प्राप्त है।
∠ACD = ∠BDC
[∵ ∠ACM = ∠BDM, (a) का प्रयोग करने से
∴ ∠ACD = ∠BDC] ∴ AC ‖ DB
[∵ यदि एकांतर कोण बराबर हों तो रेखाएँ समांतर होती हैं।] अब समांतर रेखाओं AC और DB के लिए BC एक तिर्यक रेखा है।
∠DBC + ∠ACB = 180° … (b)
[तिर्यक रेखा के एक ओर ही बने अंत: कोणों का योग = 180°] परंतु A ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें C पर समकोण है।
∴ ∠ACB = 90°
इसलिए ∠DBC = 90° [(b) और (c) का प्रयोग करने से] अतः, ∠DBC एक समकोण है।

(iii) अब △ DBC और △ ABC में,
DB = AC [भाग (i) में सिद्ध किया है] ∠DBC = ∠ACB [प्रत्येक 90° भाग (ii) में सिद्ध किया है।
BC = BC (उभयनिष्ठ] ∴ △DBC ≌ △ACB [SAS सर्वांगसमता नियम से

(iv) भाग (iii) में हमने सिद्ध किया है कि
△DBC ≌ △ACB
∴ DC = AB
⇒ DM + CM = AB
⇒ CM + CM = AB [∵ DM = CM (दिया है)] ⇒ 2 CM = AB
⇒

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NCERT Solutions For Class 9 गणित Chapter 7 त्रिभुज

Class 9 Mathematics त्रिभुज (प्रश्नावली 7.1)

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