Class 9 Mathematics रेखाएँ तथा कोण (प्रश्नावली 6.2)
हल : मान लीजिए तिर्यक रेखा l, AB और CD को क्रमशः P और Q पर प्रतिच्छेदित करती है।
दी गई आकृति में,
50° + ???? = 180° (रैखिक युग्म)
???? = 180° – 50°
???? = 130° …(i)
y = 130° (शीर्षाभिमुख कोण) …(ii)
(i) और (ii), से हम देखते हैं कि
???? = y
यह दर्शाता है कि अंतः एकांतर कोण बराबर हैं।
जैसा कि हम जानते हैं कि यदि एक तिर्यक रेखा (मान लीजिए l) दो रेखाओं को इस प्रकार प्रतिच्छेदित करती है कि अंत: एकांतर कोणों के युग्म बराबर हों, तो दो रेखाएँ समांतर होती हैं।
अतः AB || CD
हल : AB || CD
∴ ???? + 1 = 180°
[∵ दो समांतर रेखाओं की तिर्यक रेखा के एक ओर के अंतः कोणों का योग 180° होता है।
दिया है कि
AB || CD, CD || EF
∴ AB || EF
[∵ एक ही रेखा के समांतर खींची गई दो रेखाएँ परस्पर समांतर होती हैं।
अतः ???? = z,
[समांतर रेखाओं के लिए एकांतर अंत: कोण बराबर होते हैं।]
…(ii)
(ii) से ???? का मान (i) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
z + y = 180° …(iii)
दिया है कि y : z = 3 : 7
मान लीजिए कि y = 3k ∴ 2 = 7k
जहाँ अचर k > 0
y और z के मान (iii) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
7k + 3k = 180°
⇒ 10k = 180°
⇒ 
अतः y = 3k
⇒ y = 3 x 18°
⇒ y = 54°
अतः z = 7k
⇒ z = 7 x 18°
⇒ z = 126°
(ii) से हमें प्राप्त होता है : ???? = z
∴ ???? = 126°.
हल : AB || CD और GE एक तिर्यक रेखा है।
∵ ∠AGE = ∠GED [एकांतर कोण)
⇒ ∠AGE = 126°
[∵ ∠GED = 126° (दिया है)]
∠GED = 126° (दिया है)
या ∠GEF + ∠FED = 126°
⇒ ∠GEF = 126° – 90°
⇒ ∠GEF = 36°
अब ∠AGE + ∠FGE = 180° (रैखिक युग्म)
⇒ 126° + ∠FGE = 180°
[∴ ∠AGE = 126° (ऊपर प्राप्त किया है)] ⇒ ∠FGE = 180° – 126°
⇒ ∠FGE = 54°
हल : बिंदु R से होकर ST के समांतर एक रेखा RN खींचिए।
अब ST || RN
⇒ ∠RST + ∠SRN = 180°
⇒ 130° + ∠SRN = 180°
⇒ ∠SRN = 180° – 130°
∠SRN = 50° …(i)
अब PQ || ST (दिया है) और
RN || ST (रचना)
PQ || RN
[∵ दो रेखाएँ जो एक ही रेखा के समांतर हों परस्पर समांतर होती हैं।]
अब PQ || RN और QR एक तिर्यक रेखा है।
∴ ∠QRN = ∠PQR (एकांतर कोण)
⇒ ∠QRN = 110°
[∵ PQR = 110° (दिया है)]
∠QRN = 110°
⇒ ∠QRS + ∠SRN = 110°
⇒ ∠QRS + 50° = 110° [(i) का प्रयोग करने पर]
⇒ ∠QRS = 110° – 50°
⇒ ∠QRS = 60°
हल : AB || CD; तथा PQ एक तिर्यक रेखा है।
∴ ???? = ∠APQ (एकांतर कोण)
⇒ ???? = 50° [∵ ∠APQ = 50° (दिया है)]
AB || CD ; तथा PR एक तिर्यक रेखा है।
∴ ∠APR = ∠PRD (एकांतर कोण)
⇒ ∠APQ + ∠QPR = ∠PRD
⇒ 50° + y = 127°
⇒ y = 127° – 50°
⇒ y = 77°
हल : दी गई आकृति के अनुसार PQ और RS दो दर्पण हैं जो एक दूसरे के समांतर हैं। एक अपाती किरण AB, दर्पण PQ से B पर टकराती है। CD एक परावर्तित किरण है जो दर्पण RS से परावर्तित होती है। हमने सिद्ध करना है।
AB || CD
उपपत्ति : जैसा कि हम जानते हैं कि
अपाती कोण = परावर्तित कोण
∴ ∠1 = ∠2 और ∠3 = ∠4 …(i)
[∵ ∠1 अपाती किरण AB और अभिलंब BL के बीच स्थित है।
∴ ∠1 एक अपाती कोण है, ∠2 परावर्तित किरण BC और अभिलंब BL के बीच स्थित है। इसलिए ∠2 परावर्तित कोण है। इसी तरह ∠3 और ∠4 क्रमशः अपाती कोण और परावर्तित कोण हैं।
∴ PQ ॥ RS और BL ⊥ PQ
और CM ⊥ RS
BL || CM
अब BL और CM समांतर रेखाएँ हैं। एक तिर्यक रेखा BC इन्हें प्रतिच्छेद करती है।
∴ ∠2 = ∠3 (एकांतर कोण) …(ii)
अब ∠ABC = ∠1 + ∠2
⇒ ∠ABC = ∠2 + ∠2 [∵ ∠1 = ∠2]
⇒ ∠ABC = 2∠2
और BCD = ∠3 + ∠4
⇒ ∠BCD = ∠3 + ∠3 [∵ ∠3 = ∠4]
⇒ ∠BCD = 2∠3
परंतु (ii), से हमें प्राप्त होता है।
∠2 = ∠3
⇒ 2∠2 = 2∠3
⇒ ∠ABC = ∠BCD
ये एकांतर कोण हैं। BC एक तिर्यक रेखा है।
अत: AB || CD
Class 9 Mathematics रेखाएँ तथा कोण Ex 6.1
Class 9 Mathematics रेखाएँ तथा कोण Ex 6.2
Class 9 Mathematics रेखाएँ तथा कोण Ex 6.3