Class 9 Maths Chapter 2 – बहुपद

Class 9 Mathematics बहुपद (प्रश्नावली 2.5)

1. उपयुक्त सर्वसमिकाओं का प्रयोग करके निम्नलिखित गुणनफल ज्ञात कीजिए :
(i) (???? + 4) (???? + 10)
(ii) (???? + 8) (???? – 10)
(iii) (3???? + 4) (3???? – 5)
(iv)
(v) (3 – 2????) (3 + 2????).

हल : (i) (???? + 4) (???? + 10)
= ????² + (4 + 10) ???? + 4 x 10
[सर्वसमिका (???? + α) (???? + b) = ????² + (α + b)???? + αb का प्रयोग करने
पर, जहाँ α = 4, b = 10] = ????² + 14???? + 40

(ii) (???? + 8) (???? – 10)
= ????² + {8 + (- 10)} ???? + 8 x ( – 10)
(सर्वसमिका (???? + α) (???? + b) = ????² + (α + b) + αb का प्रयोग करने
पर, जहाँ α = 8, b = – 10] = ????² + 14???? – 40

(iii) (3???? + 4) (3???? – 5)
3???? = y प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
(y + 4) (y – 5)
= y² + {4 + (-5)}} y + 4 (-5)
[सर्वसमिका (???? + α) (???? + b) = ????² + (α + b) x + αb का प्रयोग करने पर,
जहाँ α = 4, b = – 5] = y² – 3???? – 20
= (3????)² – 3???? – 20
= 9????² – 3???? – 20

(iv)
y² = ???? प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :

[सर्वसमिका (???? + α) (???? + b) = ????² + (α + b) ???? + αb
का प्रयोग करने पर, जहाँ
[∵ y² = ????]

(v) (3 – 2????) (3 + 2????)
= – (2???? – 3) (2???? + 3)
= – (2???? + 3) (2???? – 3)
2???? = 1 प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
– (y + 3) (y – 3)
[y² (3 – 3)y + 3 (- 3)
[सर्वसमिका (???? + α) (???? + b) = ????² + (α + b)???? + αb
का प्रयोग करने पर, जहाँ α = 3, b = – 3] = – (y² + 0y – 9)
= – (y² – 9)
= – [(2x)² – 9] [जहाँ 2x = y प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं] = – (4????² – 9)
= 9 – 4????²

2. सीधे गुणा किए बिना निम्नलिखित गुणनफलों के मान ज्ञात कीजिए:
(i) 103 x 107
(ii) 95 x 96
(iii) 104 x 96

हल :(i) 103 x 107
= (100 + 3) (100 + 7)
[103 को 100 + 3 और 107 को 100 + 7 लिखने पर] = (100)² + (3 + 7) 100 + 3 x 7
[सर्वसमिका (???? + α) (x + b) = ????² + (α + b) + αb का प्रयोग करने
पर, जहाँ ???? = 100, α = 3, b = 7] = 10000 + 10 x 100 + 21
= 10000 + 1000 + 21
= 11021

(ii) 95 x 96
= (100 – 5) (100 – 4)
[95 को 100 – 5 और 96 को 100 – 4 लिखने पर)
= (100)² + [( – 5) + ( – 4)]100 + ( -5) ( – 4)
[सर्वसमिका (???? + α) (???? + b) = ????² + (α + b) x + αb का प्रयोग करने पर,
जहाँ ???? = 100, α = – 5, b = – 4] = 10000 + ( – 9) 100 + 20
= 10000 – 900 + 20 = 9120

(iii) 104 x 96
= (100 + 4) (100 – 4)
[104 को 100 + 4 और 96 को 100 – 4] (100)² – (4)²
[सर्वसमिका α² – b² = (α + b) (α — b) का प्रयोग करने पर, जहाँ
α = 100 और b = 4] = 10000 – 16 = 9984

3. उपयुक्त सर्वसमिकाएँ प्रयोग करके निम्नलिखित का गुणनखंडन कीजिएः
(i) 9????² + 6????y + y²
(ii) 4y² – 4y + 1
(iii)

हल : (i) 9????² + 6y???? + y²)
= (3????)²– + 2(3????) y + y²)
= (3???? + y)²
[सर्वसमिका (α + b)² = α² + 2αb + b² का प्रयोग करने पर, जहाँ
α = 3???? और b = y)

(ii) 4y² – 4y + 1
= (2y) – 2(2y) 1 + 1²
= (2y – 1)²
[सर्वसमिका (α — b)² = α² – 2αb + b² का प्रयोग करने पर, जहाँ α = 2y और b = 1]

(iii)

[सर्वसमिका α² – α² = (α + b) (α – b) का प्रयोग करने पर, जहाँ

4. उपयुक्त सर्वसमिकाओं का प्रयोग करके निम्नलिखित में से प्रत्येक का प्रसार कीजिए :
(i) (???? + 2y + 4z)²
(ii) (2???? – y + z)²
(iii) ( – 2???? + 3y + 2z)²
(iv) (3α – 7b – c)²
(v) ( – 2???? + 5y – 3z)²
(vi)

हल : (i) (???? + 2y + 4z)²
दिए गए व्यंजक की तुलना (α + b + c)² से करने पर हम पाते हैं कि α = ????, b = 2y) और c = 4z
इसलिए सर्वसमिका का प्रयोग करने पर
(α + b + c)² = α² + b² + csup>2 + 2αb + 2bc + 2cα
हम लिखते हैं (???? + 2y) + 4z)² = ????² + (2y)² + (4z)² + 2????(2y) + 2(2y) (4z) + 2(4z)????
= ????² + 4y² + 16z² + 4????y + 16yz + 8????z

(ii) (2???? – y + z)²
= [2???? + (- y) + z]²
दिए गए व्यंजक की तुलना
(α + b + c)² से करने पर हम पाते हैं कि α = 2????, b = – y और c = z
इसलिए सर्वसमिका (α + b + c)² = α² + b² + c² + 2αb + 2bc + 2cc का प्रयोग करने पर हम प्राप्त करते हैं : [2???? + (- y) + z]² = (2????)² + (- y)² + z² + 2(2????) (- y) + 2( -y)z + 2z (2????)
= 4????² + y² + z² – 4????y – 2yz + 4z????

(iii) ( – 2???? + 3y + 2z)²
दिए गए व्यंजक की तुलना (α + b + c)² से करने पर हम पाते हैं कि α = – 2????, b = 3y और c = 2z इसलिए सर्वसमिका (α + b + c)² = α² + b² + c² + 2αb + 2bc + 2cα का प्रयोग करने पर हम प्राप्त करते हैं :
( – 2???? + 3y + 2z)²
= ( – 2????)² + (3y)² + (2z)² + 2( – 2????) (3y)
+ 2(3y) (2z) + 2(2z) ( – 2????)
= 4????² + 9y² + 4z² – 12????y + 12yz – 8z????

(iv) (3α – 7b – c)²
= [3α + (-7b) + (-c)]²
इसलिए सर्वसमिका (α + b + c)² = α² + b² + c² + 2αb + 2bc + 2cα का प्रयोग करने पर हम प्राप्त करते हैं:
[3α + (-7b) + (-c)]² = (3α)² + (-7b)² + (- c)² + 2 (3α) (-7b) + 2 (-7b) (-c) + 2(-c) (3α)
= 9α² + 49b² + c² – 42αb + 14bc – 6cα

(v) (-2???? + 5y – 3z)²
= [-2???? + 5y + (-3z)]²
दिए गए व्यंजक की तुलना (α + b + c)² से करने पर हम पाते हैं कि α = – 2????, b = 5y और c = -3z
इसलिए सर्वसमिका (α + b + c)² = α² + b² + c² + 2αb + 2bc + 2cd का प्रयोग करने पर हम प्राप्त करते हैं :
[-2???? + 5y + (-3z)]²
= (-2????)² + (5y)² + (-3z)² + 2(-2????) (5y)
+ 2(5y) (-3z) + 2 ((-3z) (-2????)
= 4????² + 25y² + 9z² – 20????y – 30yz + 12z????

(vi)
दिए गए व्यंजक की तुलना (α + b + c)² से करने पर हम पाते हैं कि और c = 1 इसलिए सर्वसमिका (α + b + c)² = α² + b² + c² + 2αb + 2bc + 2cα का प्रयोग करने पर हम पाते हैं :

5. गुणनखंडन कीजिए :
(i) 4????² + 9y² + 16z² + 12????y – 24yz – 16xz
(ii) 2????² + y² + 8z² – 2 √2 ????y + 4√2yz – 8 xz

हल : (i) जहाँ
4????² + 9y² + 16z² + 12xy – 24yz – 16xz
= (2????)² + (3y)² + (-4z)² + 2 X (2????) X (3y) + 2 X (3y) x (-4z) + 2 x (2????) x (-4z)
= [2???? + 3y + (- 4z)]²
[सर्वसमिका α + b + c + 2αb + 2bc + 2cα = (α + b + c)² का प्रयोग करने पर] = (2???? + 3y – 4z)²
= (2???? + 3y – 4z) (2???? + 3y – 4z)

(ii) जहाँ 2????² + y² + 8z² – 2√2 ????y + 4√2 yz – 8????z
= (-√2????)² + (y)² + (2√2z)² + 2 (-√2????) (y) + 2 (y) (2√2z) + 2 (-√2????) (2√2z)
= [(-2????) + y + (2√2z)]² [सर्वसमिका α² + b² + c² + 2αb
+ 2bc + 2cα + (α + b + c)² का प्रयोग करने पर] = (-√2 ???? + y + 2√2z)
= (-√2 ???? + y + 2√2z) (-√2 ???? + y + 2√2z)

6. निम्नलिखित घनों को प्रसारित रूप में लिखिए :
(i) (2???? + 1)³ (ii) (2α – 3b)³
(iii) (iv)

हल :(i) (2???? + 1)³
दिए गए व्यंजक (2???? + 1)³ की तुलना (α + b)³ से करने पर हम पाते हैं कि :
α = 2????, b = 1
इसलिए सर्वसमिका (α + b)³ = α³ + b³ + 3αb (α + b) का प्रयोग करने पर हम प्राप्त करते हैं।
(2???? + 1)³ = (2????)³ + (1)³ + 3(2????) 1 (2???? + 1)
= 8????³ + 1 + 12????² + 6????
= 8????³ + 12????² + 6???? + 1
???? की घटती हुई घातांक में व्यवस्थित करते हुए।

(ii) (2α – 3b)³
दिए गए व्यंजक (2α – 3b)³ की तुलना
(???? – y)³ के साथ करने पर हम प्राप्त करते हैं : ???? = 2α, y = 3b
इसलिए सर्वसमिका (???? – y)³ = ????³ – y³ – 3????y (???? – y) का प्रयोग करने पर हम प्राप्त करते हैं :
(2α – 3b)³ = (2α)³ – 3(3b)³ – 3 (2α) (3b) (2α – 3b)
= 8α² – 27b³ – 36α²b + 54αb³

(iii)

दिए गए व्यंजक की तुलना (α + b)³ से करने पर हम पाते
हैं कि :
इसलिए सर्वसमिका (α + b)³ = α³ + b³ + 3αb (α + b) प्रयोग करने पर हम प्राप्त करते हैं :

[???? की घटती हुई घातांक के रूप में व्यवस्थित करने पर]

(iv) दिए गए व्यंज की तुलना (α – b)³ से करने पर हम पाते हैं कि :

इसलिए सर्वसमिका (α – b)³ = α³ – b³ – 3αb (α – b) का प्रयोग करने पर हमें प्राप्त होता है :

[x के घातांकों को घटते क्रम में रखने पर]

7. उपयुक्त सर्वसमिकाएँ प्रयोग करके निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए:
(i) (99)³ (ii) (102)³ (iii) (998)³

हल : (i) (99)³ = (100 – 1)³
= (100)³ – 1³ – 3 (100) 1 (100 – 1)
[सर्वसमिका (α – b)³ = α³ – b³ – 3αb (α — b) का प्रयोग करने पर] = 1000000 – 1 – 30000 + 300
= 970299
(ii) (102)³
= (100 + 2)³
= (100)³ + 2³ + 3(100) (2) [100 + 2] [सर्वसमिका (α + b)³ = α³ + b³ + 3αb (α + b) का प्रयोग करने पर] = 1000000 + 8 + 60000 + 1200
= 1061208

(iii) (998)³
= (1000 – 2)³
= (1000)³ – 2³ – 3 (1000) (2) (1000 – 2)
[सर्वसमिका (α – b)³ = α³ – b³ – 3αb (α – b) का प्रयोग करने पर)] = 1000000000 – 8 – 6000000 + 12000
= 10000 12000 – 6000008
= 994011992

8. निम्नलिखित में से प्रत्येक का गुणनखंडन कीजिए :
(i) 8α³ + b³ + 12α²b + 6αb³
(ii) 8α³ – b³ – 12α²b + 6αb²
(iii) 27 – 125α³ – 135α + 225α²
(iv) 64α³ – 27b³ – 144α³b + 108αb²
(v)

हल : (i) 8α³ + b² + 12α²b + 6αb²
= (2α)³ + b³ + 3 (2α) b (2α + b)
= (2α + b)²
[सर्वसमिका (???? + y)³ = ????³ + y³ + 3????y (???? + y) का प्रयोग करने पर,
जहाँ ???? = 20 और y = b]

(ii) 8α³ – b³ – 12α²b + 6αb²
= (2α)³ – b³ – 3 (2α) b (2α – b)
= (2α – b)³
[सर्वसमिका (???? – y)³ = ????³ – y³ – 3????y (???? – y) का प्रयोग करने पर
जहाँ ???? = 2α और y = b]

(iii) 27 – 125α³ – 135α + 225α²
= (3)³ – (5α)³ – 3 (3) (5α) [3 – 5α] = (3 – 5α)
[सर्वसमिका (???? – y)³ = ????³ – y³ – 3????y (???? – y) का प्रयोग करने पर
जहाँ ???? = 3, y = 5α]

(iv) 64α² – 27b³ – 144α²b + 108αb²
= (4α)³ – (3b)³ – 3 (4α) (3b) [4α – 3b] = (4d – 3b)³
[सर्वसमिका (???? – y)³ = ????³ – y³ – 3????y (???? – y) का प्रयोग करने पर,
जहाँ ???? = 4α, y = 3b]

(v)

[सर्वसमिका (???? – y)³ = ????³ – y³ – 3????y (???? – y) का प्रयोग करने पर,
जहाँ

9. सत्यापित कीजिए :
(i) ????³ + y³ = (???? + y) (????² – ????y + y²)
(ii) ????³ – y³ = (???? – y) (????² + ????y + y²)

हल : (i) ????³ + y³ = (x + y) (????² – ????y + y²)
R.H.S. लीजिए।
(???? + y) (????³ – ????y + y²)
= ???? (????² – ????y + y²) + y (????² – ????y + y²)
= ????³ – ????²y + ????y² + ????²y – ????y² + y³
= ????³ + ????²y – ????²y + ????y² – ????y² + y³
= ????³ + y³
= L.H.S.

(ii) ????³ – y³ = (???? – y) (????² + ????y + y²)
R.H.S. लीजिए।
(???? – y) (????² + ????y + y²)
= ???? (????² + ????y + y²) – y (????² + ????y + y²)
= ????³ + ????²y + ????y² – y????² ????y² – y³)
= ????³ + ????²y – ????²y + ????y² – ????y² – y³)
= ????³ – y³
= L.H.S.

10. निम्नलिखित में से प्रत्येक का गुणनखंडन कीजिए :
(i) 27y³ + 125z³
(ii) 64m³ – 343n³

हल : (i) 27y³ + 125z³
= (3y)³ + (5z)³
= (3y)³ + 5z) [(3y)² – (3y) (5z) + (5z)²] [सर्वसमिका α³ + b³ = (α + b) (α² – αb + b²) का प्रयोग करने पर,
जहाँ α = 3y, b = 5z] = (3y + 5z) (9y² – 15yz + 25z²)

(ii) 64m² – 343n³
= (4m)³ – (7n)³
= (4m – 7n) [(4m)² + (4m) (7n) + (7n)²] [सर्वसमिका α³ – b³ = (α – b) (α² + αb + b²) का प्रयोग करने पर, जहाँ α = 4m, b = 7n] = (4m – 7n) (16m² + 28mm + 49n²)

11. गुणनखंडन कीजिए :
27????³ + y³ + z³ – 9????yz

हल : हम लिख सकते हैं :
27????³ + y³ + z³ – 9????yz
= (3????)³ + y³ + z³ – 3 (3????) (y) (z)
= (3???? + y + z) [(3????)² + y² + z² – (3????) y – yz – (3????) z] [सर्वसमिका α³ + b³ + c³ – 3αbc = (α + b + c) (α² + b² + c²) – αb – bc – cα) का प्रयोग करने पर, जहाँ α = 3????, b = y, c = z] = (3x + y + 2) (9????² + y² + z² – 3????y – yz – 3????z)

12. सत्यापित कीजिए

हल : R.H.S. लीजिए

= (???? + y + z) (????² + y² + z² – ????y – yz – z????)
= ???? (????² + y² + z² – ????y – yz – z????) + y (????² + y² + z² – ????y – yz – z????) + z (????² + y² + z² – ????y – yz – z????)
= ????³ + ????y² + ????z² – ????²y – ????yz – z????² + y????² + y³ + yz² – ????y² – y²z – ????yz + ????²z + zy² + z³ – ????yz – yz²-z²????

= ????³ + y³ + z³ – 3????yz
L.H.S.

13. यदि ???? + y + z = 0 हो, तो दिखाइए कि ????³ + y³ + z³ = 3????yz

हल : ???? + y + z = 0
⇒ ???? + y = – z … (i)
दोनों ओर घन करने पर हम प्राप्त करते हैं :
(???? + y)³ = (- z)³
⇒ ????³ + y³ + 3????y (???? + y) = -z³
⇒ ????³ + y³ + 3????y (-z) = -z³
⇒ ????³ + y³ – 3????yz = – z³
⇒ ????³ + y³ + z³ = 3????yz प्रमाणित हुआ।

14. वास्तव में घनों का परिकलन किए बिना निम्नलिखित में से प्रत्येक का मान ज्ञात कीजिए :
(i) (-12)³ + (7)³ + (5)³
(ii) (28)³ + (-15)³ + (-13)³

हल : (i) मान लीजिए α = – 12, b = 7 और C = 5
जब α + b + c = 0
तब α³ + b³ + c³ = 3αbc
जहाँ α + b + C
= – 12 + 7 + 5
= 0
∴ (-12)³ + (7)³ + (5)³ = 3(-12) (7) (5)
= – 1260

(ii) मान लीजिए α = 28, b = – 15 और c = -13
अब α + b + C
= 28 + (- 15) + (- 13)
= 28 – 15 – 13
= 28 – 28
= 0
⇒ α + b + c = 0
∴ α + b + c = 3αbc
⇒ (28)³ + (-15)³ + (-13)³
= 3(28) (-15) (-13)
= 16380

15. नीचे दिए गए आयतों, जिनमें उनके क्षेत्रफल दिए गए हैं, में से प्रत्येक की लंबाई और चौड़ाई के लिए संभव व्यंजक दीजिए।
(i) क्षेत्रफल : 25α² – 35α + 12
(ii) क्षेत्रफल : 35y² + 13y – 12

हल : (i) आयत का क्षेत्रफल = 25α² – 35α + 12 (दिया है)
⇒ लंबाई x चौड़ाई = 25α² – 15α – 20α + 12
= 5α (5α – 3) – 4 (5α – 3)
= (5α – 4) (5α – 3)
यदि लंबाई = (5α – 4)
तब चौड़ाई = 5α – 3
यदि लंबाई = 5α – 3
तब चौड़ाई = 5α – 4

(ii) आयत का क्षेत्रफल = 35y² + 13y – 12
⇒ लंबाई x चौड़ाई = 35y² + 28y – 15y – 12
= 7y (5y + 4) – 3 (5y + 4)
⇒ लंबाई x चौड़ाई = (5y + 4) (7y – 3)
यदि लंबाई = 5y + 4
तब चौड़ाई = 7y – 3
यदि लंबाई = 7y – 3
तब चौड़ाई = 5y + 4

16. घनाभों (cuboids), जिनके आयतन नीचे दिए गए हैं, उनकी विमाओं के लिए संभव व्यंजक क्या हैं?
(i) आयतन : 3????² – 12????
(ii) आयतन : 12ky² + 8ky – 20k

हल : (i) घनाभ का आयतन = 3????² – 12???? (दिया है)
⇒ लंबाई x चौड़ाई X ऊँचाई = 3???? (???? – 4)
∴ धनाभ की एक संभव विमाएँ हैं: 3 ???? और ???? – 4

(ii) धनाभ का आयतन है = 12ky² + 8ky – 20k
⇒ लंबाई x चौड़ाई x ऊँचाई = 4k (3y² + 2y – 5)
= 4k [3y² + 5y – 3y – 5] = 4k [y(3y + 5) – 1 (3y + 5)] = 4k [(3y + 5) (y – 1)] ⇒ लंबाई x चौड़ाई X ऊँचाई = 4k (3y + 5) (y – 1)
∴ घनाभ की एक संभव विमाएँ हैं 4k, (3y + 5) और y – 1

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