Class 9 Maths Chapter 12 – हीरोन का सूत्र

Class 9 Mathematics हीरोन का सूत्र (प्रश्नावली 12.2)

हल :

आकृति में यदि हम BD को मिलाते हैं तो हम देखते हैं कि विकर्ण BD चतुर्भुज ABCD को त्रिभुजों (i) समकोण त्रिभुज BCD (ii) AABD में विभाजित कर देता है।
समकोण ∆BCD, में C पर समकोण है।
इसलिए आधार CD = 5 मी
और शीर्षलंब, BC = 12 मी
ABCD का क्षेत्रफल

= 30 मी²
∆ABD; का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए हमें भुजा BD की आवश्यकता है, इसलिए इसे इस प्रकार निकालते हैं।
समकोण ∆BCD, में C पर समकोण है।
BD² = CD² + BC² [पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करने पर] BD = (5 मी)² + (12 मी)²
= 25 मी² + 144 मी²
BD² = 169 मी²
BD = √169 मी = √13 x 13 मी
= 13 मी
∆ABD का परिमाप = (9 + 8 + 13) मी
∆ABD का अर्ध-परिमाप मी
⇒ s = 15
हीरोन के सूत्र का प्रयोग करने पर,
∆ABD का क्षेत्रफल






= 6 x 5.92m²
= 35.5 मी² (लगभग)
चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल
= क्षे० (∆BCD) + क्षे० (∆ABD)
= 30 m² + 35.5 मी²
= (30 + 35.5) मी²
= 65.5 मी²
अतः, चतुर्भुज का क्षेत्रफल 65.5 मी² है।

हल : चतुर्भुज ABCD में, विकर्ण AC इसे दो त्रिभुजों, ∆ABC और ∆ADC में विभाजित करता है।

∆ABC का परिमाप = (3 + 4 + 5) सेमी
⇒ 2s = 12 सेमी
⇒
हीरोन के सूत्र का प्रयोग करने पर;
∆ABC का क्षेत्रफल




= 2 x 3 सेमी² = 6 सेमी²
∆ADC का परिमाप = (4 + 5 + 5) सेमी
⇒ 2s’ = 14 सेमी
⇒ सेमी
⇒ s’ = 7 सेमी
हीरोन के सूत्र को प्रयोग करने पर;
∆ADC का क्षेत्रफल


= 2 x 4.6 सेमी² (लगभग)
= 9.2 सेमी² (लगभग)
अब चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल
= ∆ABC का क्षेत्रफल + ∆ADC का क्षेत्रफल
= 6 सेमी² + 9.2 सेमी²
= (6 + 9.2) सेमी²
= 15.2 सेमी² (लगभग)
अतः, चतुर्भुज ABCD का अभीष्ट क्षेत्रफल 15.2 सेमी² लगभग है।

हल : भाग I का क्षेत्रफल
भाग I एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसकी भुजाएं, 5 सेमी और 1 सेमी है।

∴ सेमी = 5.5 सेमी
भाग I का क्षेत्रफल



= 2.5 सेमी^{2 …….. (1)}

भाग II का क्षेत्रफल भाग II एक आयत के रूप में जिसकी भुजाएँ 6.5 सेमी और 1 सेमी है।
भाग II का क्षेत्रफल = 6.5 x 1 सेमी² = 6.5 सेमी² …(2)
भाग III का क्षेत्रफल
भाग III एक समलंब के रूप में है जिसकी असमान भुजाएं 1 सेमी और 2 सेमी, समान भुजाएं 1 सेमी की हैं।

समबाहु त्रिभुज TQS का क्षेत्रफल
x (भुजा)² सेमी²
सेमी²
समबाहु त्रिभुज TQS का क्षेत्रफल
x आधार x शीर्षलम्ब
x 1 सेमी x शीर्षलम्ब
अब, सेमी² शीर्षलंब
या शीर्षलम्ब सेमी सेमी
समलम्ब PQRS का क्षेत्रफल
x (समांतर भुजाओं का योग) x शीर्षलम्ब

= 1.3 सेमी² …(3)
भाग IV और भाग V का क्षेत्रफल
भाग IV और भाग V एक समकोण त्रिभुज के रूप में हैं जिनकी भुजाएँ 1.5 सेमी और 6 सेमी हैं।
∴ भाग IV का क्षेत्रफल = भाग II का क्षेत्रफल
x आधार x शीर्षलम्ब
सेमी
= 4.5 सेमी ²…(4)
प्रयोग किए गए कागज का क्षेत्रफल
= भाग I का क्षेत्रफल + भाग II का क्षेत्रफल + भाग III का क्षेत्रफल +
भाग IV का क्षेत्रफल + भाग V का क्षेत्रफल
= (2.5 + 6.5 + 1.3 + 4.5 + 4.5) सेमी²
[(1), (2), (3), (4) के प्रयोग से)] = 19.3 सेमी² (लगभग)

हल : त्रिभुज की भुजाएँ 26 सेमी, 28 सेमी और 30 सेमी हैं।
∴ त्रिभुज का परिमाप (2s) = (26 + 28 + 30) सेमी
⇒ 2s = 84 सेमी
⇒ अर्ध-परिमाप
⇒ s = 42 सेमी
हीरोन के सूत्र का प्रयोग करने पर;
त्रिभुज का क्षेत्रफल




= 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 7 सेमी²
= 336 सेमी²
दिया है कि समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = त्रिभुज का क्षेत्रफल
⇒ आधार x संगत ऊँचाई = 336 सेमी²
⇒ 28 सेमी x ऊँचाई = 336 सेमी²
⇒ ऊँचाई सेमी
⇒ ऊँचाई = 12 सेमी
अतः, समांतर चतुर्भुज की संगत ऊँचाई 12 सेमी है।

हल :मान लीजिए समचतुर्भुजाकार खेत ABCD है।

इसलिए इसकी प्रत्येक बराबर भुजा; AB = BC = CD = DA = 30 मी और मान लीजिए इसका बड़ा विकर्ण AC = 48 मी विकर्ण AC समचतुर्भुज को दो सर्वांगसम त्रिभुजों
(i) AABC और (ii) AACD में विभाजित करता है। जैसा कि हम जानते हैं कि दो सर्वांगसम त्रिभुजों का क्षेत्रफल बराबर होता है।
इसलिए क्षे० (∆ABC) = क्षे० (∆ACD)
अब ∆ABC का क्षेत्रफल निकालना ही पर्याप्त है।
जिसकी भुजाएँ AB = BC = 30 मी
और AC = 48 मी हैं;
(2s) = ∆ABC का परिमाप = (30 + 30 + 48) मी
⇒ 2s = 108 मी
⇒ अर्ध-परिमाप ; मी
⇒ s = 54 मी
हीरोन के सूत्र का प्रयोग करने पर; ∆ABC त्रिभुज का क्षेत्रफल




= 3 x 6 x 24 मी²
= 432 मी²
समचतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल
= ∆ABC का क्षेत्रफल + ∆ACD का क्षेत्रफल
= क्षे° (∆ABC) + क्षे° (AABC)
[∵ क्षे० (∆ABC) = क्षे० (∆ACD)] = 2 क्षे° (∆ABC)
= 2 x 432 मी²
= 864 मी²
18 गायों के चरने के लिए प्राप्त क्षेत्रफल = 864 मी²
1 गाय के चरने के लिए प्राप्त घास का क्षेत्रफल
= 48 मी
अतः, प्रत्येक गाय को चरने के लिए घास के खेत का 48 सेमी क्षेत्रफल प्राप्त होगा।

हल : दो विभिन्न रंगों के कपड़ों के 10 त्रिभुजाकार टुकड़ों में से प्रत्येक टुकड़े का माप 20 सेमी, 50 सेमी और 50 सेमी है।

∴ एक त्रिभुजाकार टुकड़े का परिमाप (2s)
= (20 + 50 + 50) सेमी
⇒ 2s = 120 सेमी
अर्ध-परिमाप; सेमी
⇒ s = 60 सेमी
हीरोन के सूत्र का प्रयोग करने पर,
प्रत्येक त्रिभुजाकार टुकड़े का क्षेत्रफल

=
=
=


प्रश्नानुसार दो विभिन्न रंगों के कपड़ों के 10 त्रिभुजाकार टुकड़े हैं।
इसलिए 5 टुकड़े एक रंग के और 5 टुकड़े दूसरे रंग के हैं।
प्रत्येक टुकड़े के लिए अभीष्ट कपड़ा
∴ एक रंग के टुकड़ों के लिए अभीष्ट कपड़ा
= 5 x 200√6 सेमी²
= 1000√6 सेमी²
इसी प्रकार 5 दूसरे रंग के टुकड़ों के लिए अभीष्ट कपड़ा
= 5 x 200√6 सेमी²
= 1000√6 सेमी²

हल :

रंग I का क्षेत्रफल = रंग II का क्षेत्रफल

= 256 सेमी²
रंग III के क्षेत्रफल के लिए
अर्ध परिमाप
∴ रंग III का क्षेत्रफल




= 8 x 2.24 सेमी²
= 17.92 सेमी²

हल : त्रिभुजाकार टाइल की भुजाएँ 9 सेमी, 28 सेमी और 35 सेमी हैं।
टाइल का परिमाप (2s) = (9 + 28 + 35) सेमी

⇒ 2s = 72 सेमी
⇒ अर्ध परिमाप ; सेमी
⇒ s = 36 सेमी
हीरोन के सूत्र का प्रयोग करने पर,
त्रिभुजाकार टाइल का क्षेत्रफल





= 36 x 2.45 सेमी² लगभग
= 88.2 सेमी लगभग
हमें प्राप्त है, एक टाइल का क्षेत्रफल = 88.2 सेमी² लगभग
∴ 16 टाइलों का क्षेत्रफल = 16 x 88.2 सेमी²
= 1411.2 सेमी² लगभग
दिया है कि 1 सेमी² को पॉलिश करवाने का व्यय
= 50 पैसे
∴ 1411.2 सेमी² का पॉलिश करवाने का व्यय
= (50 x 1411.2) पैसे
= ₹ [∵ 100 पैसे = ₹ 1 ] [∴ 50 पैसे = ₹ ] = ₹ 705.60 लगभग
अतः, टाइलों को पॉलिश कराने का कुल व्यय ₹ 705.60 है।

हल : मान लीजिए ABCD एक समलंब है जिसमें AB || DC और AB = 10 मी, DC = 25 मी, AD = 13 मी, CB = 14 मी
BE || AD खींचिए।
BE || AD और AB || DC
∴ DEBA एक समांतर चतुर्भुज है।
∴ BE = AD = 13 मी
[समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं] और EC = 25 मी – 10 मी = 15 मी
अब BM ⊥ EC खींचिए।
∆BEC की भुजाएँ 15 मी, 14 मी और 13 मी हैं।
अर्ध-परिमाप,
हीरोन के सूत्र का प्रयोग करने पर,
∆BEC का क्षेत्रफल




= 2 x 2 x 3 x 7 मी²
= 84 मी²
[∆ का शीर्षलंब = 2 x क्षेत्रफल/आधार] आधार समलंब ABCD का क्षेत्रफल
= समांतर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल + ∆BEC का क्षेत्रफल

[समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = आधार x संगत शीर्षलंब] = (112 + 84) मी²
= 196 मी²

Class 9 Mathematics हीरोन का सूत्र Ex 12.1
Class 9 Mathematics हीरोन का सूत्र Ex 12.2

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• Class 9 Maths Chapter 13 – पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन
• Class 9 Maths Chapter 14 – सांख्यिकी
• Class 9 Maths Chapter 15 – प्रायिकता