Class 8 Maths Chapter 3 – चतुर्भुजों को समझना

Class 8 Maths चतुर्भुजों को समझना (प्रश्नावली 3.3)

हल : (i) AD = BC क्योंकि समांतर चतुर्भुज में सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।’
(ii) ∠DCB = ∠DAB क्योंकि समांतर चतुर्भुज में सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
(iii) OC = OA क्योंकि समांतर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं।
(iv) m ∠DAB + m ∠CDA = 180° क्योंकि तिर्यक रेखा के एक ओर बने अंतःकोणों का योग 180° होता है। यहाँ पर AB || CD तथा DA एक तिर्यक रेखा है।

हल : (i) हम जानते हैं कि समांतर चतुर्भुज के किन्हीं दो आसन्न कोणों का योग 180° होता है। इसलिए समांतर चतुर्भुज ABCD में
∠B + ∠C = 180°
⇒ 100° + ∠???? = 180°
या ∠???? = 180° – 100° = 80°
इसी प्रकार ∠C + ∠D = 180°
⇒ ∠????+ ∠y = 180°
या 80° + ∠y = 180°
या ∠y = 180° – 80° = 100°
या ∠D + ∠A = 180°
या ∠y + ∠z = 180°
100° + ∠z = 180°
∠z = 180° – 100° = 80°
अतः ∠???? = 80°, ∠y= 100° तथा ∠z = 80° उत्तर

(ii) हम जानते हैं कि समांतर चतुर्भुज के किन्हीं दो आसन्न कोणों का योग 180° होता है।
∴ ∠C + ∠D = 180°

⇒ ∠y + 50° = 180°
या ∠y = 180° – 50° = 130°
इसी प्रकार ∠D + ∠A = 180°
⇒ 50° + ∠???? = 180° या
या ∠???? = 180° – 50° = 130°
अब AB || CD तथा BC एक तिर्यक रेखा है। इसलिए
∠y = ∠z [एकांतर कोण युग्म] ∠z = 130°
अतः ∠???? = 130°, ∠y = 130° तथा ∠z = 130° उत्तर

(iii) समांतर चतुर्भुज ABCD से पता चलता है कि .
∠x = 90° [क्योंकि सम्मुख कोण समान होते हैं] अब △DOC में
∠???? + ∠y + 30° = 180° [त्रिभुज के कोणों का योग] ⇒ 90° + ∠y + 30° = 180°
या ∠y + 120° = 180°
या ∠y = 180° – 120° = 60°
क्योंकि समांतर चतुर्भुज ABCD में AB || DC तथा BD एक तिर्यक रेखा है।
∴ ∠y = ∠z [एकांतर कोण युग्म] ⇒ ∠z = 60°
अतः ∠???? = 90°, ∠y= 60°, ∠z = 60° उत्तर

(iv) क्योंकि समांतर चतुर्भुज में सम्मुख कोण बराबर होते हैं
∴ ∠D = ∠B
⇒ ∠y = 80°
हम जानते हैं कि समांतर चतुर्भुज के आसन्न दो कोणों का योग 180° होता है।
∴ ∠A + ∠B = 180°
⇒ ∠???? + 80° = 180°
या ∠???? = 180° – 80° = 100°
अब क्योंकि AB || DC तथा CB एक तिर्यक रेखा है।
∴ ∠z = 80° [संगत कोण युग्म] अतः ∠x = 100°, ∠y = 80° तथा ∠z= 80° उत्तर

(v) क्योंकि समांतर चतुर्भुज में सम्मुख कोण बराबर होते हैं
∠D = ∠B
∠y = 112°

अब △ACD में
40° + ∠???? + ∠y = 180° [त्रिभुज के तीनों कोणों का योग] ⇒ 40° + ∠???? + 112° = 180°
या ∠????+ 152° = 180°
या ∠???? = 180° – 152° = 28°
क्योंकि AB || DC तथा AC एक तिर्यक रेखा है।
∴ ∠z = ∠x [एकांतर कोण युग्म] ⇒ ∠z = 28°
अतः ∠x = 28°, ∠y = 112° तथा ∠z = 28° उत्तर

हल : (i) हो सकता है परंतु आवश्यक नहीं।
(ii) दी गई मापों के अनुसार चतुर्भुज ABCD समांतर चतुर्भुज नहीं हो सकता क्योंकि समांतर चतुर्भुज में सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं परंतु यहाँ पर AD ≠ BC है।
(iii) दिए गए कोणों के अनुसार चतुर्भुज ABCD समांतर चतुर्भुज नहीं हो सकता क्योंकि समांतर चतुर्भुज में सम्मुख कोण • बराबर होते हैं परंतु यहाँ पर ∠A ≠ ∠c है।

हल : सम्मुख पतंग चतुर्भुज ABCD समांतर चतुर्भुज नहीं है परंतु इसके सम्मुख कोण बराबर हैं अर्थात् ∠A = ∠C

हल : माना समांतर चतुर्भुज ABCD के दो आसन्न कोणों A तथा B का माप 3x व 2x है। परंतु समांतर चतुर्भुज के दो आसन्न कोणों का योग 180° होता है।

∠A + ∠B = 180°
⇒ 3???? + 2???? = 180°
या 5???? = 180°
या
अतः ∠A = 3 x 36° = 108° तथा ∠B = 2 ???? 36° = 72°
हम जानते हैं कि समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
∴ ∠C = ∠A = 108°
तथा ∠D = ∠B = 72°
अतः समांतर चतुर्भुज के सभी कोण = 108°, 72°, 108° व 72° उत्तर

हल : माना समांतर चतुर्भुज ABCD के दो आसन्न कोण ∠Aव ∠B प्रत्येक x है। परंतु समांतर चतुर्भुज के दो आसन्न कोणों का योग 180° होता है।

∴ ∠A + ∠B = 180°
⇒ ???? + ???? = 180°
या 2???? = 180°
या
अतः ∠A = 90° व ∠B = 90°
हम जानते हैं कि समांतर चतुर्भुज में सम्मुख कोण बराबर होते हैं। इसलिए
∴ ∠C = ∠A = 90°
तथा ∠D = ∠B = 90°
इस प्रकार ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90° अतः जिस समांतर चतुर्भुज के दो आसन्न कोणों की माप बराबर होगी उसका प्रत्येक कोण समकोण होगा।

हल : क्योंकि आकृति HOPE एक समांतर चतुर्भुज है।
∴ HO || EP तथा EH || PO
अब ∠HOP + ∠POX = 180° (सरल कोण युग्म)
⇒ ∠HOP + 70° = 180°
या ∠HOP = 180° – 70° = 110°
क्योंकि समांतर चतुर्भुज में सम्मख कोण बराबर होते हैं।
∴ ∠HEP = ∠HOP
⇒ ∠???? = 110°
समांतर चतुर्भुज HOPE में EH || PO तथा HO एक तिर्यक रेखा है।
∴ ∠EHO = ∠POX (संगत कोण युग्म)
⇒ 40° + ∠z = 70°
या ∠z = 70° – 40° = 30°
∠HOP में
∠y + ∠z + ∠HOP = 180° [त्रिभुज के तीनों कोणों का योग] ∠y + 30° + 110° = 180°
या ∠y + 140° = 180°
या ∠y = 180° – 140° = 40°
अतः ∠???? = 110°, ∠y = 40° तथा ∠z = 30° उत्तर

हल : (i) हम जानते हैं कि समांतर चतुर्भुज में सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं। इसलिए
3???? = 18 cm
या
तथा 3y – 1 = 26 cm
या 3y = 26 + 1
या 3y = 27
या

अतः x = 6 cm व y = 9 cm उत्तर

(ii) हम जानते हैं कि समांतर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं।
∴ OU = OS
⇒ y + 7 = 20 cm
या y = 20 – 7
या y = 13 cm
तथा ON = OR
⇒ ???? + y = 16 cm
या ???? + 13 = 16
या ???? = 16 – 13
या ???? = 3 cm
अतः ???? = 3 cm व y = 13 cm उत्तर

हल : क्योंकि RISK एक समांतर चतुर्भुज है तथा समांतर चतुर्भुज के किन्हीं दो आसन्न कोणों का योग 180° होता है।
∠S + ∠K = 180°
∠S + 120° = 180°
∠S = 180° – 120° = 60°
इसी प्रकार CLUE एक समांतर चतुर्भुज है तथा समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं। इसलिए
∠E = ∠L
∠E = 70°
अब △OSE में

∠O + ∠E + ∠S = 180° [त्रिभुज के कोणों का योग] ∠???? + 70° + 60° = 180°
या ∠x + 130° = 180°
∠x = 180° – 130° = 50° उत्तर

हल : क्योंकि दी गई आकृति में ∠L = 80° तथा ∠M = 100° है
अतः ∠L + ∠M = 80° + 100° = 180°

क्योंकि तिर्यक रेखा के एक ओर के अंतःकोणों का योग 180° है।
⇒ KL || MN
अतः KLMN एक समलंब है। फोटो

हल : क्योंकि आकृति ABCD में ABDC दिया है
∴ m∠B + m∠C = 180° तिर्यक रेखा के एक ओर बने अंतःकोणों का योग] ⇒ 120° + m∠c = 180°
या m∠c = 180° – 120° = 60° उत्तर

हल : क्योंकि चतुर्भुज PQRS में SP || RQ दिया है

∠P + ∠Q = 180° [तिर्यक रेखा के एक ओर बने अंतःकोणों का योग] ⇒ ∠P + 130° = 180°
या ∠P = 180° – 130° = 50°
तथा ∠R + ∠S = 180°
⇒ 90° + ∠S = 180°
या ∠S = 180° – 90° = 90°
अतः ∠P = 50° तथा ∠S = 90° उत्तर

Class 8 Maths चतुर्भुजों को समझना Ex 3.1
Class 8 Maths चतुर्भुजों को समझना Ex 3.2
Class 8 Maths चतुर्भुजों को समझना Ex 3.3
Class 8 Maths चतुर्भुजों को समझना Ex 3.4

Class 8 Maths चतुर्भुजों को समझना के बहुविकल्पीय प्रश्न