Class 8 Maths Chapter 11 – क्षेत्रमिति

Class 8 Maths क्षेत्रमिति (प्रश्नावली 11.3)

प्रश्न 1. दो घनाभाकार डिब्बे हैं जैसा कि संलग्न आकृति में दर्शाया गया है। किस डिब्बे को बनाने के लिए कम सामग्री की आवश्यकता है?

हल : आकृति (a) में, (α) (b)

घनाभाकार डिब्बे की लंबाई = 60cm

(b) घनाभाकार डिब्बे की चौड़ाई = 40cm

घनाभाकार डिब्बे की ऊँचाई = 50cm
घनाभाकार डिब्बे का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 [लंबाई x चौड़ाई + चौड़ाई x ऊँचाई + ऊँचाई x लंबाई] = 2[60 x 40 + 40 x 50 + 50 x 60]cm²
= 2[2400 + 2000 + 3000] cm²
= 2 x 7400 cm²
= 14800 cm²
आकृति (b) में,

घनाभाकार डिब्बे की भुजा = 50cm
घनाभाकार डिब्बे का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6 x (भुजा)²
= 6 x (50)² cm²
= 6 x 2500 cm
= 15000 cm- उत्तर
क्योंकि आकृति (α) वाले डिब्बे का पृष्ठीय क्षेत्रफल कम है, इसलिए इसे बनाने के लिए कम सामग्री की आवश्यकता पड़ेगी।

प्रश्न 2. 80cm x 48cm x 24cm माप वाले एक सूटकेस को तिरपाल के कपड़े से ढकना है। ऐसे 100 सूटकेसों को ढकने के लिए 96cm चौड़ाई वाले कितने मीटर तिरपाल के कपड़े की आवश्यकता है?

हल :यहाँ पर, सूटकेस की लंबाई = 80cm
सूटकेस की चौड़ाई = 48cm
सूटकेस की ऊँचाई = 24cm
एक सूटकेस का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 [लंबाई x चौड़ाई + चौड़ाई x ऊँचाई + ऊँचाई x लंबाई
= 2 [80 x 48+ 48 x 24 + 24 x 80]cm²
= 2 [3840 + 1152 + 1920]cm²
= 2 x 6912 cm²
= 13824 cm²
100 सूटकेसों का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 13824 x 100cm² = 1382400cm²
100 सूटकेसों को ढकने के लिए, 96cm चौड़ाई वाले जितने लंबे तिरपाल की आवश्यकता होगी

= 14400cm
उत्तर

प्रश्न 3. एक ऐसे घन की भुजा ज्ञात कीजिए जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल 600cm है।

हल : यहाँ पर, घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 600cm²
⇒ 6(भुजा)² = 600cm²
या (भुजा)² =
या (भुजा)² = (10)²
या भुजा = 10
अतः घन की भुजा = 10cm उत्तर

प्रश्न 4. रूखसार ने 1m x 2m x 1.5m माप वाली एक पेटी को बाहर से पेंट किया। यदि उसने पेटी के तल के अतिरिक्त उसे सभी जगह से पेंट किया हो तो ज्ञात कीजिए कि उसने कितने पृष्ठीय क्षेत्रफल को पेंट किया?

हल : यहाँ पर, पेटी की लंबाई = 2m
पेटी की चौड़ाई = 1m
पेटी की ऊँचाई = 1.5m
तल को छोड़कर पेंट किए जाने वाली सतह का क्षेत्रफल = लंबाई x चौड़ाई + 2 [चौड़ाई x ऊँचाई + ऊँचाई x लंबाई)

= 2 x 1+2 [1 x 1.5 + 1.5 x 2] = 2 + 2 [1.5 + 3.0] = 2 + 2 x 4.5
= 2 + 9 = 11m² उत्तर

प्रश्न 5. डैनियल एक ऐसे घनाभाकार कमरे की दीवारों और छत को पेंट कर रहा है जिसकी लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः 15m, 10m एवं 7m हैं। पेंट की प्रत्येक कैन की सहायता से 100m-क्षेत्रफल को पेंट किया जा सकता है। तो उस कमरे के लिए उसे पेंट की कितनी कैनों की आवश्यकता होगी?

हल : यहाँ पर, कमरे की दीवारों की लंबाई = 15m
कमरे की दीवारों की चौड़ाई = 10m
कमरे की दीवारों की ऊँचाई = 7m
फर्श को छोड़कर पेंट किए जाने वाले भाग का पृष्ठीय क्षेत्रफल = लंबाई x चौड़ाई +2 [चौड़ाई x ऊँचाई + ऊँचाई x लंबाई)

= [15 x 10 + 2 (10 x 7 + 7 x 15)]m²
= [150 + 2 (70 + 105)]m²
= [150 + 2 x 175]m²
= (150 + 350)m² = 500m²
100m² क्षेत्रफल को पेंट करने के लिए आवश्यक पेंट = 1 कैन

1m² क्षेत्रफल को पेंट करने के लिए आवश्यक पेंट कैन
500m² क्षेत्रफल को पेंट करने के लिए आवश्यक पेंट कैन
= 5 कैन उत्तर

प्रश्न 6. वर्णन कीजिए कि दाईं तरफ दी गई आकृतियाँ किस प्रकार एक समान हैं और किस प्रकार एक दूसरे से भिन्न हैं? किस डिब्बे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल अधिक है?

हल : समानता – दी गई दोनों आकृतियों की ऊँचाई समान है। यह एक समानता है।
भिन्नता – एक बेलनाकार तथा दूसरा घनाकार डिब्बा है। यह एक भिन्नता है।

बेलनाकार डिब्बे के लिए,

त्रिज्या (r) = 2 cm
ऊँचाई (h) = 7cm
पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल =
घनाकार डिब्बे के लिए,
आधार का परिमाप = 4 x भुजा = 4 x 7 = 28cm
ऊँचाई = 7cm
पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = आधार का परिमाप x ऊँचाई
= 28 x 7cm² = 196cm²
अतः घनाकार डिब्बे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल अधिक है।

प्रश्न 7. 7m त्रिज्या और 3m ऊँचाई वाला एक बंद बेलनाकार टैंक किसी धातु की एक चादर से बना हुआ है। उसे बनाने के लिए वांछित धातु की चादर की मात्रा ज्ञात कीजिए।

हल : यहाँ पर,
बेलनाकार टैंक की त्रिज्या (r) = 7m
बेलनाकार टैंक की ऊँचाई (h) = 3m
बेलनाकार टैंक को बनाने के लिए वांछित धातु की चादर की मात्रा = बेलनाकार टैंक का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 2???? r (r + h)
उत्तर

प्रश्न 8. एक खोखले बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 4224²cm है। इसे इसकी ऊँचाई के अनुदिश काटकर 33cm चौड़ाई की एक आयताकार चादर बनाई जाती है। आयताकार चादर का परिमाप ज्ञात कीजिए।

हल : हम जानते हैं कि जब किसी खोखले बेलन को उसकी ऊँचाई के अनुदिश काटा जाता है तो वह एक आयताकार चादर का रूप ले लेता है। इसकी लंबाई बेलन के आधार के परिमाप के समान तथा चौड़ाई बेलन की ऊँचाई के समान होती है, इसलिए आयताकार चादर का क्षेत्रफल बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल के समान होगा। अर्थात्

आयताकार चादर का क्षेत्रफल = बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

⇒ लंबाई x चौड़ाई = 4224
या लंबाई x 33 = 4224
या लंबाई =
अतः आयताकार चादर की लंबाई = 128cm
आयताकार चादर की चौड़ाई = 33cm
आयताकार चादर का परिमाप = 2 x (लंबाई + चौड़ाई)
= 2 x (128 + 33)cm
= 2 x 161 cm = 322cm उत्तर

प्रश्न 9. किसी सड़क को समतल करने के लिए एक सड़क रोलर को सड़क के ऊपर एक बार घूमने के लिए 750 चक्कर लगाने पड़ते हैं। यदि सड़क रोलर का व्यास 84cm और लंबाई 1m है तो सड़क का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल : यहाँ पर,

सड़क रोलर (बेलनाकार) की त्रिज्या
सड़क रोलर (बेलनाकार) की ऊँचाई (h) = 1m
सड़क रोलर (बेलनाकार) का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2???? rh

सड़क का क्षेत्रफल = 2.64 m²
रोलर के 750 चक्कर लगाने में तय दूरी = (750 x 2.64)m² = 1980 m² उत्तर

प्रश्न 10. एक कंपनी अपने दूध पाउडर को ऐसे बेलनाकार बर्तनों में पैक करती है जिनका व्यास 14cm और ऊँचाई 20cm है। कंपनी बर्तन के पृष्ठ के चारों ओर एक लेबल लगाती है (जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है)। यदि यह लेबल बर्तन के तल और शीर्ष दोनों से 2cm की दूरी पर चिपकाया जाता है, तो लेबल का क्षेत्रफल क्या है?

हल :यहाँ पर,

चिपकाए जाने वाले लेबल की त्रिज्या
चिपकाए जाने वाले लेबल की ऊँचाई (h) = (20 – 2 – 2)cm = 16cm
चिपकाए जाने वाले लेबल का क्षेत्रफल = 2???? rh

उत्तर

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