Class 7 Maths Chapter 13 Exercise 13.2 – घातांक और घात

Class 7 Maths Chapter 13 Exercise 13.2 – घातांक और घात

NCERT Solutions for Class 7 Maths Chapter 13 Exponents and Powers Ex 13.2 – जो विद्यार्थी 7वीं कक्षा में पढ़ रहे है उनके लिए यहां पर एनसीईआरटी कक्षा 7 गणित अध्याय 13. (घातांक और घात) प्रश्नावली 13.2 के लिए सलूशन दिया गया है. जोकि एक सरल भाषा में दिया है .ताकि विद्यार्थी को पढने में कोई दिक्कत न आए .इसकी मदद से आप अपनी परीक्षा में अछे अंक प्राप्त कर सकते है. इसलिए निचे आपको एनसीईआरटी समाधान कक्षा 7 गणित अध्याय 13 घातांक और घात प्रश्नावली 13.2 दिया गया है .

NCERT Solutions For Class 7th Maths घातांक और घात (प्रश्नावली 13.2)

[su_note note_color=”#ffed23″]1. घातांकों के नियमों का प्रयोग करते हुए सरल कीजिए और उत्तर को घातांकीय रूप में लिखिए :[/su_note]

(i) 3² x 3⁴ x 3⁸ (ii) 6¹⁵ ÷ 6¹⁰
(iii) a³ x a⁸
(iv) 7^x x 7²
(v) (5²)³ ÷ 5³
(vi) 2⁵ x 5⁵
(vii) a⁴ x b⁴
(viii) (3⁴)³
(ix) (2²⁰ ÷ 2¹⁵) x 2³
(x) 8^t ÷ 8².

[su_label type=”black”]हल :[/su_label] (i) 3² x 3² x 3²
= (3^{2 + 4} ) x 3⁸ [α^m x αⁿ = α^{m + n} का प्रयोग करके]
= 3⁶ x 3⁸
= 3^{6 + 8}
= 3¹⁴ उत्तर

(ii) 6¹⁵ ÷ 6¹⁰
= 6^{15 – 10} [α^m x αⁿ = α^{m + n} का प्रयोग करके]
= 6⁵ उत्तर

(iii) α³ x α²
= α^{3 + 2} [α^m x αⁿ = α^{m + n} का प्रयोग करके]
= α⁵ उत्तर

(iv) 7^x x 7²
= 7^{x + 2} उत्तर [α^m x αⁿ = α^{m + n} का प्रयोग करके]

(v) (5²)³ ÷ 5³
= 5^{2 x 3} ÷ 5³
= 5⁶ ÷ 5³
= 5^{6 – 3} [α^m ÷ αⁿ = α^{m – n} का प्रयोग करके]
= 5³ उत्तर

(vi) 2⁵ x 5⁵
= (2 x 5)⁵ [α^m x α^m = (αb)^m का प्रयोग करके]
= 10⁵ उत्तर

(vii) α⁴ x b⁴ = (α x b)⁴ [α^m x α^m = (αb)^m का प्रयोग करके]
= (αb)⁴ उत्तर

(viii) (3⁴)³
= 3^{4 x 3} [(α^m)ⁿ = α^mn का प्रयोग करके]
= 3¹² उत्तर

(ix) (2²⁰ ÷ 2¹⁵) x 2³
= (2^{20 – 15}) x 2³ [α^m ÷ αⁿ = α^{m – n} का प्रयोग करके]
= 2⁵ – 2³
= 2^{5 + 3} [α^m x αⁿ = α^{m + n} का प्रयोग करके]
= 2⁸ उत्तर

(x) 8^t ÷ 8²
= 8^{t – 2} [α^m ÷ αⁿ = α^{m – n} का प्रयोग करके
= 8^{t – 2} उत्तर

[su_note note_color=”#ffed23″]2. निम्नलिखित में से प्रत्येक को सरल करके घातांकीय रूप में व्यक्त कीजिए :[/su_note]

(i)

(ii)

(iii) 25⁴ ÷ 5³

(iv)

(v)

(vi) 2⁰ + 3⁰ + 4⁰

(vii) 2⁰ x 3⁰ x 4⁰

(viii) (3⁰ x 2⁰) x 5⁰

(ix)

(x)

(xi)

(xii) (2³ x 2)².

[su_label type=”black”]हल :[/su_label] (i)
हम जानते हैं कि अभाज्य गुणनखंड के रूप में
4 = 2 x 2 = 2²

और 32 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 2⁵

इसलिए

[α^m x αⁿ = α^{m + n} का प्रयोग करके]

= 2^{5 – 5} x 3^{4 – 1}

[α^m ÷ αⁿ = α^{m – n} का प्रयोग करके]

= 2⁰ x 3³

= 1 x 3³

= 3³ (घातांकीय रूप में) उत्तर

(ii)

[(α^m)ⁿ = α^{m x n} का प्रयोग करके]

= (5⁶ x 5⁴) ÷ 5⁷

= (5^{6 + 4}) ÷ 5⁷

[(α^m)ⁿ = α^{m x n} का प्रयोग करके]

= 5¹⁰ ÷ 5⁷

= 5^{10 – 7} [α^m ÷ αⁿ = α^{m – n} का प्रयोग करके]

= 5³ उत्तर [घातांकीय रूप]

(iii) 25⁴ ÷ 5³

हम जानते हैं कि अभाज्य गुणनखंड के रूप में

25 = 5 x 5 = 52

इसलिए 25⁴ ÷ 5³ = (5²)⁴ ÷ 5³

= (5^{2 x 4}) ÷ 5³ [(α^m)ⁿ = α^mn का प्रयोग करके]

= 5⁸ ÷ 5³ [α^m ÷ αⁿ = α^m का प्रयोग करके]

= 5⁵ उत्तर [घातांकीय रूप]

(iv)

हम जानते हैं कि अभाज्य गुणनखंड के रूप में

21 =3 x 7

इसलिए

= 3^1-1 x 7^{2 – 1} x 11^{8 – 3}

[α^m ÷ αⁿ = α^{m – n} का प्रयोग करके]

= 3⁰ x 7¹ x 11⁵

= 1 x 7 x 11⁵ [∵ α⁰ = 1]

=7 x 11⁵ उत्तर [घातांकीय रूप]

(v) [α^m x αⁿ = α^{m + n} का प्रयोग करके]

= 3^7-7 [α^m ÷ αⁿ = α^{m – n} का प्रयोग करके]

= 3⁰

= 1 उत्तर [∵ α⁰ = 1]

(vi) 2⁰ + 3⁰ + 4⁰

= 1 + 1 + 1 [∵ α⁰ = 1]

= 3 उत्तर

(vii) 2⁰ x 3⁰ x 4⁰

= 1 x 1 x 1 [∵ α⁰ = 1]

= 1 उत्तर

(vii) (3⁰ + 2⁰) x 5⁰

= (1 + 1) x 1 [∵ α⁰ = 1]

= 2 x 1

= 2 उत्तर

(ix)

हम जानते हैं अभाज्य कि गुणनखंड के रूप में

4 = 2 x 2 = 2²

इसलिए

[(α^m)ⁿ = α^{m x m} का प्रयोग करके]

= 2^{8 – 6} x α^{5 – 3} [α^m÷ αⁿ x ^{m – n} का प्रयोग करके]

= 2² x α²
= (2 x α²) [α^m x b^m = (αb)^m का प्रयोग करके]

= (2α)² उत्तर [घातांकीय रूप]

(x) = (α^{5 – 3}) x α⁸

[ का प्रयोग करके]

= α² x α⁸

= α^{2 + 8} [α^m x αⁿ = α^{m + n} का प्रयोग करके]

= α¹⁰ उत्तर (घातांकीय रूप)

हम जानते हैं कि अभाज्य गुणनखंड के रूप में

4 = 2 x 2 = 2²

इसलिए

[(α^m)ⁿ = α^mn का प्रयोग करके]

= 2^{10 – 10} + α^{8 – 5} b^{3 – 2}

[ का प्रयोग करके]
= 2⁰ x α⁸b
= α³b उत्तर (घातांकीय रूप)
(xii) (2³ x 2)²
= (2^{3 + 1})² [α^m x αⁿ = α^{m + n} का प्रयोग करके]
= (2⁴)²
= 2^{4 x 2} [(α^m)ⁿ = α^mn का प्रयोग करके]
= 2⁸ उत्तर (घातांकीय रूप)

[su_note note_color=”#ffed23″]3. बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य तथा अपने उत्तर का कारण भी दीजिए :[/su_note]

(i) 10 x 10¹¹ = 100¹¹
(ii) 2³ > 5²
(iii) 2³ x 3² = 6²
(iv) 3⁰ = (1000)⁰
[su_label type=”black”]हल :[/su_label] (i) असत्य ; 10 x 10¹¹ = 100¹¹
औचित्य
L.H.S. = 10 x 10¹¹
= 10^{1 + 11} [α^m x αⁿ = α^{m + n} का प्रयोग करके]
= 10¹²
R.H.S. = 100¹¹
= (100)¹¹
= (10 x 10)¹¹
= (10²)¹¹
= 10^{2 x 11} [(α^m)ⁿ = α^mn का प्रयोग करके]
= 10²²
क्योंकि 10¹² ≠ 10¹²
इसलिए 10 x 10¹¹ ≠ 100¹¹

(ii) असत्य ; 2³ > 5²
औचित्य
2³ = 2 x 2 x 2
= 8
और 52 = 5×5
= 25
क्योंकि 8 < 25
इसलिए 2³ < 5²

(iii) असत्य; 2³ x 3² = 6⁵
औचित्य
L.H.S. = 2³ x 3²
= (2 x 2 x 2) x (3 x 3)
= 8 x 9
= 72
R.H.S. = 65
= 6 x 6 x 6 x 6 x 6
= 7776
क्योंकि 72 ≠ 7776
इसलिए 2³ x 3² ≠ 6⁵

(iv) सत्य ; 3⁰ = (1000)°
औचित्य
क्योंकि 3⁰ = 1
[∵ किसी भी संख्या (शून्य के अतिरिक्त) पर घात (या घातांक) 0 का मान 1 होता है।]
और (1000)⁰ = 1
क्योंकि 1 = 1
इसलिए 3⁰ = (1000)⁰

[su_note note_color=”#ffed23″]4. निम्नलिखित में से प्रत्येक को केवल अभाज्य गुणनखंडों की घातों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए :[/su_note]

(i) 108 x 192 (ii) 270 (iii) 729 x 64 (iv) 768.

[su_label type=”black”]हल :[/su_label] (i) 108 x 192
अभाज्य गुणनखंड के रूप में
108 = 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 2³ x 3³
और 192 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3 = 2⁶ x 3
इस प्रकार 108 x 192 = (2² x 3³) x (2⁶ x 3)
= (2² x 2⁶) x (3⁶ x 3)
= 2^{2 + 6} x 3^{3 + 1}
= 2⁸ x 3⁴ उत्तर
[वांछित अभाज्य गुणनखंडों की घातों के गुणनफल वाला रूप]

(ii) अभाज्य गुणनखंड के रूप में
270 = 2 x 3 x 3 x 3 x 5
= 2 x 3³ x 5 उत्तर

[वांछित अभाज्य गुणनखंडों की घातों के गुणनफल वाला रूप]

(iii) 729 x 64
अभाज्य गुणनखंड के रूप में
729 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3
= 3⁶
और 64 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
= 2⁶
इस प्रकार 729 x 64 = 3⁶ x 2⁶ उत्तर
[वांछित अभाज्य गुणनखंडों की घातों के गुणनफल वाला रूप]

(iv) अभाज्य गुणनखंड के रूप में
768 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3
= 28 x 3 उत्तर
[वांछित अभाज्य गुणनखंडों की घातों के गुणनफल वाला रूप]

5. सरल कीजिए :
(i)

(ii)

(iii)
[su_label type=”black”]हल :[/su_label] (i)

हम जानते हैं कि अभाज्य गुणनखंड के रूप में

8 = 2 x 2 x 2 = 2³
इसलिए

[(α^m)ⁿ = α^mn का प्रयोग करने पर]

= 2^{10 – 9} x 7 ^{3 – 1}

का प्रयोग करने पर]

= 2¹ x 7²
= 2 x 7 x 7
= 98 उत्तर

(ii)

हम जानते हैं कि अभाज्य गुणनखंड के रूप में
25 = 5 x 5 = 5²
10 = 2 x 5

∴

[α^m x αⁿ = α^{m + n} और (αb)^m = α^m x b^m का प्रयोग करने पर]

का प्रयोग करने पर]

उत्तर

(iii)

हम जानते हैं कि अभाज्य गुणनखंड के रूप में

10 = 2 x 5
25 = 5 x 5 = 5²
और 6 = 2 x 3

इसलिए

[(αb)^m = α^m x b^m का प्रयोग करने पर]

= 2^{5 – 5} x 3^{5 – 5} x 5^{7 – 7}

का प्रयोग करने पर]

= 2⁰ x 3⁰ x 5⁰
= 1 x 1 x 1
= 1 उत्तर
[∵ किसी भी संख्या (शून्य के अतिरिक्त) पर घात 0 का मान 1 होता है।

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