NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 2 – बहुपद

Class 10th Maths बहुपद (प्रश्नावली 2.3)

(i) p (x) = x³ – 3x² + 5x – 3, g(x) = x² – 2
(ii) p (x) = x⁴ – 3x² + 4x + 5, g (x) = x² + 1 – x
(iii) p (x) = x⁴ – 5x + 6, g (x) = 2 – x²
हल : (i) दिया है कि p(x) = x³ – 3x² + 5x – 3
और g(x) = x² – 2

विभाजन एल्गोरिथ्म से,
????³ – 3????² + 5???? – 3 = (???? – 3) (????² – 2) + (7???? – 9)
अतः, भागफल = ???? – 3 और शेषफल = 7???? – 9
(ii) दिया है कि p(????) = ????⁴ – 3????² + 4???? + 5
या p (????) = ????⁴ + 0????³ – 3????² + 4???? + 5
और g (????) = ????² + 1 – ????
या g (????) = ????² – ???? + 1

विभाजन एल्गोरिथ्म से, ????⁴ – 3????² + 4???? + 5 = (????² + ???? – 3) (????² – x + 1) + 8
अतः, भागफल = ????² + ???? – 3
और शेषफल = 8
दिया है कि p(????) = ????⁴ – 5???? + 6
या p(????) = ????⁴ + 0????³ + 0????² – 5???? + 6
और g(????) = 2 – ????²
या g(????) = – ????² + 2

विभाजन एल्गोरिथ्म से,
????² – 5???? + 6 = (- ????² – 2) (-????² + 2) + (-5???? + 10)
अतः भागफल = – ????² – 2,
शेषफल = – 5???? + 10

(i) t² – 3, 2t⁴ + 3t³ – 2t² – 9t – 12
(ii) ????² + 3???? + 1,3????² + 5????³ – 7????² + 2???? + 2
(iii) ????³ – 3???? + 1, ????⁵ – 4????³ + ????² + 3???? + 1
हल : (i)

∵ शेषफल शून्य है।
∴ विभाजन एल्गोरिथ्म से
t² – 3, 2t⁴ + 3t³ – 2t² – 9t – 12 का गुणनखंड है।
(ii) ????² + 3???? + 1, 3????² + 5????³ – 7????² + 2????

∵ शेषफल शून्य है।
∴ विभाजन एल्गोरिथ्म से
????² + 3???? + 1, 3????⁴ + 5????³ – 7????² + 2???? + 2 का गुणनखंड है।

(iii) ????³ – 3???? + 1, ????⁵ – 4????³ + ????² + 3???? + 1

∵ शेषफल शून्य नहीं है
∴ विभाजन एल्गोरिथ्म से. ????³ – 3???? + 1,
????⁵ – 4????³ + ????² + 3???? + 1 का गुणनखंड नहीं है।

यदि इसके दो शून्यक और हैं।
हल : दिया है कि दो शून्य और है।
दिये गए बहुपद के गुणनखंड हैं।

या दिये गए बहुपद के गुणनखंड हैं।
और दिये गए बहुपद और पर विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करने पर,

∴ 3????⁴ + 6????³ – 2????² – 10???? – 5
S = 2, P = 1

अब, बहुपद के अन्य शून्यक दिए गए हैं
???? + 1 = 0 या ???? + 1 = 0
???? = – 1 या ???? = – 1
∴ दी गई चार घात वाली बहुपद के शून्यक हैं :

हल : मान लीजिए
p(????) = ????³ – 3????³ + ???? + 2
और q(????) = (???? – 2)
और r(????) = – 2???? + 4
दिए गए आँकड़ों की विभाजन एल्गोरिथ्म से तुलना करने पर हम प्राप्त करते हैं :
p(????) = g(????). q(????) + r(????)
या p(????) – r(????) = g(????). q (x)
या g (x). q(x) = p(x) – r (x)
या
भिन्न-भिन्न मान प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं :


….(1)
हम,

….(2)
(1) और (2), से हम प्राप्त करते हैं
g(????) = ????² – ???? + 1

(i) घात p(????) = घात q(????) (ii) घात q(????) = 0
(iii) घात q(????) = घात r(????)
हल : (i) हल p(????) = 5????² – 5???? + 10; g(????) = 5
q(????) = ????²-???? + 2;r (????) = 0

∴ विभाजन एल्गोरिथ्म से
5????² – 5???? + 10 = 5(????² – ???? + 2) + 0
या p(????) = g(????) q(????) + r (????)
साथ ही, p(????) की घात = q(????) की घात = 2
(ii) मान लीजिए p(????) = 7????³ – 42???? + 53;
g(????) = ????³ – 6x + 7;
q(????) = 7; r (????) = 4

∴ विभाजन एल्गोरिथ्म से,
7????³ – 42???? + 53 = 7 (????³ – 6x + 7) + 4

या p(????) = q(????) g(????) + r(????)
साथ ही घात q(x) = 0
(iii) मान लीजिए p(????) = 4????³ + ????³ + 3???? + 6;
g(????) = ????² + 3???? + 1;
q(????) = 4???? – 11; r(x) = 32???? + 17

∴ विभाजन एल्गोरिथ्म से,
4????³ + ????² + 3???? + 6
= (4???? – 11) (????² + 3???? + 1) + (32???? + 17)
या p(????) = q(????) g(????) + r(x)
साथ ही घात q(x) = घात r(x)