Class 9 Maths Chapter 1 – संख्या पद्धति

Class 9 Mathematics संख्या पद्धति (प्रश्नावली 1.3)

(i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi)

हल : (i)

= 0.36 सांत दशमलव

(ii)

शेष : 1, 1, 1, 1 …..
भाजक : 11
हम लिखते हैं = 0.09090909…
= 0.09 अनवसानी पुनरावर्ती

(iii)

शेष : 1, 2, 4, 0
भाजक : 8
हम लिखते हैं सांत दशमलव

(iv)

शेष : 4, 1, 9, 12, 3, 4, 1, 9, 12, 3….
भाजक : 13 हम लिखते हैं :
= 0.230769230769 ……..
= 0.230769 अनवसानी पुनरावर्ती

(v)

शेष : 9, 2, 9, 2
भाजक : 0.1818 …
हम लिखते हैं :

= 0.18 अनवसानी पुनरावर्ती

= 0.8225 सांत

2. आप जानते हैं कि है। वास्तव में, लंबा भाग किए बिना क्या आप यह बता सकते हैं कि के दशमलव प्रसार क्या हैं ? यदि हाँ, तो कैसे ?

हल : (दिया है)

3. निम्नलिखित को के रूप में व्यक्त कीजिए, जहाँ p और q पूर्णाक हैं तथा q ≠ 0 है :
(i) 0.6 (ii) 0.47 (iii) 0.001.

हल : (i) क्योंकि हम यह नहीं जानते कि 0.6 क्या है, अतः आइए इसे हम ‘????‘ मान लें।
x = 0.6666……… …(1)

दोनों ओर 10 से गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है :
10???? = 10 x 0.6666…
⇒ 10???? = 6.6666………
(1) को (2) में से घटाने पर, हमें प्राप्त होता है :
10???? – x = (6.6666……) – (0.6666……)
⇒ 9x = 6
⇒
⇒

(ii) मान लीजिए ???? = 0.47
???? = 0.4777…. ..(1)
दोनों ओर 10 से गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है :
10???? = 4.7777…….. ..(2)
(1) को (2) में से घटाने पर, हमें प्राप्त होता है :
10???? – ???? = (4.7777……..) – (0.4777………..)
⇒ 9???? = 4.3
⇒
⇒

(iii) मान लीजिए ???? = 0.001
???? = 0.001001001…. ..(1)
दोनों ओर 1000 से गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है :
1000???? = 1.001001………… …(2)
(1) को (2) में से घटाने पर, हमें प्राप्त होता है :
1000x – = (1.001001………)
– (0.001001……..)

⇒ 999???? = 1
⇒

4. 0.99999 …….. को के रूप में व्यक्त कीजिए। क्या आप अपने उत्तर से आश्चर्यचकित हैं? अपने अध्यापक और कक्षा के सहयोगियों के साथ उत्तर की सार्थकता पर चर्चा कीजिए।

हल : मान लीजिए = 0.99999.. …(1)
दोनों ओर 10 से गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है।
10???? = 9.9999
(1) को (2) में से घटाने पर हमें प्राप्त होता है :
10???? – ???? = (9.9999………) – (0.9999…….)
⇒ 9???? = 9
⇒
⇒ ???? = 1
हाँ, अपने उत्तर से हम आश्चर्यचकित हैं।
परंतु उत्तर सार्थक होता है जब हम देखते हैं कि 0.9999………… सदा चलता रहता है। इस प्रकार 1 और 0.9999……… के बीच में कोई रिक्तता नहीं है। अतः वे समान हैं।

हल :

चरण B का शेष चरण A के शेष के समान है।
∴ = 0.0588235294117647 ……….
= 0.0588235294117647
अनवसानी आवर्ती दशमलव

6. (q ≠ 0), के रूप की परिमेय संख्याओं के अनेक उदाहरण लीजिए, जहाँ p और q पूर्णाक हैं, जिनका 1 के अतिरिक्त अन्य कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है और जिसका सांत दशमलव निरूपण (प्रसार) है। क्या आप यह अनुमान लगा सकते हैं कि q को कौन-सा गुण अवश्य संतुष्ट करना चाहिए?

हल :

यह सभी परिमेय संख्याएं हैं तथा p और q का 1 के अतिरिक्त अन्य कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है।

इन सब का दशमलव निरूपण सांत है।

अब इन सब का हर देखें।

परिमेय संख्या को सांत दशमलव रूप में निरूपित करने के लिए यह आवश्यक है कि हर q ऐसा लिया जाए कि q के अभाज्य गुणनखंड में केवल 2 के घात, या 5 के घात या दोनों हों।

हल : जैसा कि हम जानते हैं कि अपरिमेय संख्याओं का दशमलव प्रसार अनवसानी अनावर्ती होता है।
इसलिए,
√3 = 1.73205080756 …
1/√5 = 0.44721359549 …
√10 = 3.16227766016 …

विद्यार्थियों के स्वयं के उत्तर भी हो सकते हैं। उदाहरण के लिए :
0.01001000100001…
0.202002000200002 …
0.003000300003 …

8. परिमेय संख्याओं और के बीच की तीन अलग – अलग अपरिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

हल : का दशमलव निरूपण इस प्रकार है :

चरण B का शेष, चरण A के शेष के समान है।
∴ = 0.714285
अब का दशमलव निरूपण इस प्रकार है :

चरण D का शेष, चरण C के शेष के समान है।

∴ = 0.81

अब हम परिमेय संख्याओं और के बीच अनेक अपरिमेय संख्याएँ ज्ञात कर सकते हैं।
इनमें से कोई तीन हैं :
0.75075007500075000075…….., 0.767076700767000… और 0.80800800080000……

हल : (i) √23 अपरिमेय संख्या है। क्योंकि 23 एक अभाज्य संख्या है और अभाज्य संख्या एक पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है।
(ii) √225 एक परिमेय संख्या है।
क्योंकि √225 = √15 x 15 = 15
(iii) 0.3796 एक परिमेय संख्या है क्योंकि यह सांत दशमलव है।
(iv) 7.478478……….. एक परिमेय संख्या है क्योंकि दशमलव प्रसार अनवसानी आवर्ती है।
(v) 1.101001000100001…….. एक अपरिमेय संख्या है, क्योंकि दशमलव प्रसार अनवसानी अनावर्ती है।

Class 9 Mathematics संख्या पद्धति Ex 1.1
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Class 9 Mathematics संख्या पद्धति Ex 1.6