Class 7 Maths Chapter 6 – त्रिभुज और उसके गुण

NCERT Solutions For Class 7th Maths त्रिभुज और उसके गुण (प्रश्नावली 6.4)

[su_note note_color=”#d7d7d7″ radius=”12″]1. निम्न दी गई भुजाओं की मापों से क्या कोई त्रिभुज संभव है?[/su_note]
(i) 2 सेमी०, 3 सेमी०, 5 सेमी० (ii) 3 सेमी०, 6 सेमी०, 7 सेमी० (iii) 6 सेमी०, 3 सेमी०, 2 सेमी०
हल : (i) दी गई भुजाएँ हैं : 2 सेमी०, 3 सेमी० और 5 सेमी०
अब, 2 + 3 = 5 .. (1)
3 + 5 > 2
5 + 2 > 3
∴ (1) के कारण यह संभव नहीं है।
(ii) दी गई भुजाएँ हैं : 3 सेमी०, 6 सेमी०, 7 सेमी०
अब 3 + 6 > 7
6 + 7 > 3
7 + 3 > 6
∴ त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं की लंबाइयों का योग तीसरी भुजा की लंबाई से बड़ा है। इसलिए यह संभव है।
(iii) दी गई भुजाएँ हैं : 6 सेमी०, 3 सेमी०, 2 सेमी०
अब 6 + 3 > 2
3 + 2 < 6
∴ इस कारण यह संभव नहीं है।

[su_note note_color=”#d7d7d7″ radius=”12″]2. त्रिभुज PQR के अभ्यंतर में कोई बिंदु O लीजिए। क्या यह सही है कि[/su_note]

(i) OP + OO > PO?
(ii) OQ + OR > QR ?
(iii) OR + OP > RP ?

 

हल : (i) हाँ, OP + OQ PQ क्योंकि ∆POQ में किन्हीं दो भुजाओं की लंबाइयों का योग तीसरी भुजा से बड़ा है।
(ii) हाँ, OQ + OR QR क्योंकि ∆ROQ में किन्हीं दो भुजाओं की लंबाइयों का योग तीसरी भुजा से बड़ा है।
(iii) हाँ, OR + OP RP क्योंकि ∆ROP में किन्हीं दो भुजाओं की लंबाइयों का योग तीसरी भुजा से बड़ा है।

[su_note note_color=”#d7d7d7″ radius=”12″]3. त्रिभुज ABC की एक माध्यिका AM है। बताइए कि क्या AB + BC + CA > 2 AM?[/su_note]
हल : हाँ, AB + BC + CA > 2 AM
उपपत्ति: ∆ABM में, AB + BM AM

[∵ त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा होता है।]
(i) ∆ACM में; AC + MC > AM [उपरोक्त कारण का प्रयोग करें]
(ii) (i) और (ii), का जोड़ करने पर, हमें प्राप्त होता है :
(AB + BM) + (AC + MC) > AM + AM
या AB + (BM + MC) + AC > 2 AM
या AB + BC + AC > 2 AM
[∵ AM त्रिभुज ABC की माध्यिका है
∵ BM = MC. साथ ही M, BC पर कोई बिंदु है। ∴ BC = BM + MC]

[su_note note_color=”#d7d7d7″ radius=”12″]4. ABCD एक चतुर्भुज है। क्या AB + BC + CD + DA > AC + BD?[/su_note]
हल : हाँ, AB + BC + CD + DA > AC + BD
उपपत्ति : ∆ABC में AB + BC > AC

[∵ त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं की लंबाईयों का योग तीसरी भुजा से बड़ा होता है।]
…. (i) ∆ADC में CD + DA > AC [उपरोक्त (i) वाले कारण का प्रयोग करके]
…. (ii) ∆ABD में; AB + DA > BD [उपरोक्त (i) वाले कारण का प्रयोग करके]
…. (iii) ∆BCD में; BC + CD > BD [उपरोक्त (i) वाले कारण का प्रयोग करके]
…. (iv) (i), (ii), (iii) और (iv), को जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है
(AB + BC) + (CD + DA) + (AB + DA) + (BC + CD] > AC + AC + BD + BD (AB + AB) + (BC + BC) + (CD + CD) + (DA + DA) > 2AC + 2BD
2AB + 2BC + 2CD + 2DA > 2AC + 2BD
या 2(AB + BC + CD + DA) > 2 (AC + BD)
या AB + BC + CD + DA > AC + BD सिद्ध हुआ

[su_note note_color=”#d7d7d7″ radius=”12″]5. ABCD एक चतुर्भुज है ? क्या[/su_note]
AB + BC + CD + DA < 2 (AC + BD) है?
हल : हाँ, AB + BC + CD + DA < 2 (AC + BD)
उपपत्ति : चतुर्भुज ABCD में; मान लीजिए विकर्ण AC एवं BD परस्पर बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं।
अब ∆AOB में, AO + OB > AB [∵ त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं की लंबाईयों का योग तीसरी भुजा से बड़ा होता है] …. (i)

इसी प्रकार ∆BOC में;
OB + OC > BC (उपरोक्त (i) वाले कारण का प्रयोग करके) …. (ii)
∆COD में;
OC + OD > CD (उपरोक्त (i) वाले कारण का प्रयोग करके) …. (iii)
साथ ही, ∆AOD में;
AO + OD > DA (उपरोक्त (i) वाले कारण का प्रयोग करेक) …. (iv)
(i), (ii), (iii) और (iv), को जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है :
(AO + OB) + (OB + OC) + (OC + OD) + (AO + OD)
> AB + BC + CD + DA
⇒ 2 (AO + OB + OC + OD) > AB + BC + CD + DA
⇒ 2 [(AO + OC) + (OB + OD)] > AB + BC + CD + DA
⇒ 2 [AC + BD] > AB + BC + CD + DA
या AB + BC + CD + DA < 2 (AC + BD) सिद्ध हुआ।
[su_note note_color=”#d7d7d7″ radius=”12″]6. एक त्रिभुज की दो भुजाओं की माप 12 सेमी० तथा 15 सेमी० है। इसकी तीसरी भुजा की माप किन दो मापों के बीच होनी चाहिए ?[/su_note]
हल : यदि तीसरी भुजा की लंबाई x हो सकती हो तो हमें प्राप्त होना चाहिए :
12 + 15 > ???? | ???? + 12 > 15 | ???? + 15 > 12
⇒ 27 > ???? | ⇒ ???? > 3 | ⇒ ???? > – 3
या ???? < 27
लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती। इसलिए हम इसे रद्द कर देते हैं।
इसलिए 3 और 27 के बीच की संख्याएँ इन्हें संतुष्ट करती है।
∴ तीसरी भुजा की लंबाई 3 सेमी० और 27 सेमी० के बीच हो सकती है। उत्तर

NCERT Solutions For Class 7th Maths त्रिभुज और उसके गुण (प्रश्नावली 6.5)

[su_note note_color=”#d7d7d7″ radius=”12″]1. POR एक त्रिभुज है जिसका P एक समकोण है। यदि PQ = 10 सेमी० तथा PR = 24 सेमी० तब QR ज्ञात कीजिए। हल : ∆POR में P एक समकोण है।[/su_note]
∴ पाइथागोरस गुण का प्रयोग करने पर ;
OR² = PQ² + PRT²
= 10² + 24²
= 100 + 576
⇒ OR² = 676

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर, हमें प्राप्त होता है।
QR = √676 ⇒ QR = √26 x 26 ⇒ QR = 26 सेमी०. उत्तर

[su_note note_color=”#d7d7d7″ radius=”12″]2. ABC एक त्रिभुज है जिसमें C एक समकोण है। यदि AB = 25 सेमी० तथा AC = 7 सेमी०, तब BC ज्ञात कीजिए।[/su_note]
हल : ∆ABC में C पर समकोण है।
∴ पाइथागोरस गुण का प्रयोग करने पर
AB² = AC² + BC²

⇒ (25)² = 7² + BC²
या 7² + BC² = (25)²
⇒ 49 + BC² = 625
⇒ BC² = 625 – 49
⇒ BC² = 576
दोनों पक्षों का वर्गमूल करने पर, हमें प्राप्त होता है;
BC = √576 ⇒ BC = √24 x 24 ⇒ BC = 24 सेमी०.उत्तर

[su_note note_color=”#d7d7d7″ radius=”12″]3. दीवार के सहारे उसके पैर कुछ दूरी पर टिका कर 15 सेमी० लंबी एक सीढी भूमि से 12 सेमी० ऊँचाई पर स्थित खिड़की तक पहुँच जाती है। दीवार से सीढ़ी के पैर की दूरी ज्ञात कीजिए।[/su_note]

हल : मान लीजिए सीढ़ी AC जहाँ C सीढ़ी का निचला सिरा है और A सीढ़ी का ऊपरला सिरा है जो भूमि से 12 मी० ऊँचा है। दीवार बिंदु B पर भूमि के साथ समकोण पर है।
अब समकोण त्रिभुज ABC में ;
पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करने पर,
AC² = AB² + BC²
⇒ 15² = 12² + BC²
⇒ 225 = 144 + a²
या 144 + α² = 225
⇒ α² = 225 – 144
⇒ α² = 81
⇒ α = √81 ⇒ BC = 9 मी०.
अतः सीढ़ी के निचले सिरे की दीवार से दूरी 9 मी० है। उत्तर
[su_note note_color=”#d7d7d7″ radius=”12″]3. दीवार के सहारे उसके पैर कुछ दूरी पर टिका कर 15 सेमी० लंबी एक सीढी भूमि से 12 सेमी० ऊँचाई पर स्थित खिड़की तक पहुँच जाती है। दीवार से सीढ़ी के पैर की दूरी ज्ञात कीजिए।[/su_note]
(i) 2.5 सेमी०, 6.5 सेमी०, 6 सेमी०.
(ii) 2 सेमी०, 2 सेमी०, 5 सेमी०.
(iii) 1.5 सेमी०, 2 सेमी०, 2.5 सेमी०.
समकोण त्रिभुज होने की स्थिति मे उसके समकोण को भी पहचानिए।
हल : (i) (2.5)² = 2.5 x 2.5 = 6.25,
(6.5)² = 6.5 x 6.5 = 42.25
6² = 6 x 6 = 36
हम पाते हैं कि 42.25 = 6.25 + 36
अर्थात् (6.5)² = (2.5)² + 6²

पाइथागोरस गुण संतुष्ट होता है।
इसलिए दी गई भुजाओं के साथ त्रिभुज समकोण त्रिभुज है।
इस समकोण त्रिभुज में, सबसे बड़ी भुजा की लंबाई 6.5 सेमी० कर्ण है। और इस भुजा का सम्मुख कोण समकोण है। उत्तर

(ii) 2² = 2 x 2 = 4,
5² = 5 x 5 = 25
दो छोटी भुजाओं के वर्गों को जोड़ने पर हमें तीसरी भुजा का वर्ग प्राप्त नहीं होता। इसलिए पाइथागोरस गुण संतुष्ट नहीं होता।.
4 + 4 ≠ 25
अर्थात् 2² + 2² ≠ 5²
अतः, दी गई भुजाओं के साथ त्रिभुज समकोण त्रिभुज नहीं है। उत्तर
(iii) (1.5)² = 1.5 x 1.5 = 2.25
2² = 2 x 2 = 4
(2.5)² = 2.5 x 2.5 = 6.25
हम पाते हैं कि 6.25 = 2.25 + 4
अर्थात् (2.5)2 = (1.5)2 + 22
पाइथागोरस गुण संतुष्ट होता है। इसलिए, दी गई भुजाओं के साथ त्रिभुज समकोण त्रिभुज है।
इस समकोण त्रिभुज में, सबसे बड़ी भुजा की लंबाई 2.5 सेमी० कर्ण है। और इस भुजा का सम्मुख कोण समकोण है। उत्तर

[su_note note_color=”#d7d7d7″ radius=”12″]5. एक पेड़ भूमि से 5 मी० की ऊँचाई पर टूट जाता है और उसका ऊपरी सिरा भूमि को उसके आधार से 12 मी० की दूरी पर छूता है। पेड़ की पूरी ऊँचाई ज्ञात कीजिए।[/su_note]
हल : मान लीजिए वृक्ष की मूल ऊँचाई BD है और वृक्ष भूमि से 5 मी० ऊँचाई पर बिंदु C पर टूटता है।
मान लीजिए वृक्ष का ऊपरी सिरा D भूमि को बिंदु A, पर स्पर्श करता है जो कि वृक्ष के आधार से 12 मी० की दूरी पर है। क्योंकि यह समकोण बनती है।
∆ABC समकोण त्रिभुज है, जिसमें बिंदु B पर समकोण है।
अब पाइथागोरस का प्रयोग करने पर,

AC² = AB² + BC²
= 12² + 5²
= 144 + 25
⇒ AC² = 169
⇒ AC = √169 ⇒ AC = 13 मी०
वृक्ष की मूल ऊँचाई = BC + CA
= 5 मी० + 13 मी० = 18 मी०
अतः, वृक्ष की पूरी ऊँचाई 18 मी० है। उत्तर

[su_note note_color=”#d7d7d7″ radius=”12″]6. त्रिभुज POR में कोण Q = 25° तथा कोण R = 65° हैं। निम्नलिखित में कौन सा कथन सत्य है?[/su_note]
(i) PO² + QR² = RP²
(ii) PO² + RP² = OR²
(iii) RP² + QR² = PQ²
हल : ∆PQR में,

∠P + ∠Q + ∠R = 180° [त्रिभुज का कोणों के योग गुण से]
⇒ ∠P + 25° + 65° = 180°
⇒ ∠P = 180° – 25° – 65°
⇒ ∠P = 90°
यह सूचित करता है कि ∆POR एक समकोण त्रिभुज है जो बिंदु P पर समकोण है। जैसा कि हम जानते हैं कि समकोण की सम्मुख भुजा कर्ण होती है। इसलिए OR कर्ण है।

समकोण त्रिभुज POR में पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करने पर हमें प्राप्त होता है :
PQ² + RP² = OR²
अतः विकल्प (ii) ; PQ² + RP² = OR² सत्य है।

[su_note note_color=”#d7d7d7″ radius=”12″]7. एक आयत की लंबाई 40 सेमी० है तथा उसका एक विकर्ण 41 सेमी० है। इसका परिमाप ज्ञात कीजिए।[/su_note]
हल : मान लीजिए ABCD एक आयत है जिसकी लंबाई
AB = 40 सेमी० और विकर्ण
AC = 41 सेमी०
अब समकोण, ∆ABC में;

पाइथागोरस गुण का प्रयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है :
AC² = AB² + BC²
⇒ (41)² = (40)² + BC²
⇒ 1681 = 1600 + BC²
⇒ 1681 – 1600 = BC²
⇒ 81 = BC² या BC² = 81
⇒ BC = √81 ⇒ BC = 9 सेमी०
आयत ABCD का परिमाप = 2 (लंबाई + चौडाई)
= 2 (AB + BC)
= 2 (40 + 9)
= 2 x 49
= 98 सेमी० उत्तर

[su_note note_color=”#d7d7d7″ radius=”12″]8. एक समचतुर्भुज के विकर्ण 16 सेमी० तथा 30सेमी० हैं। इसका परिमाप ज्ञात कीजिए।[/su_note]
हल : मान लीजिए ABCD एक समचतुर्भुज है जिसमें विकर्ण AC एवं BD परस्पर बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं।

मान लीजिए विकण AC = 16 सेमी० और विकर्ण BD = 30 सेमी० जैसा कि हम जानते हैं कि समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।

∴

सेमी०

और

सेमी०
अब, समकोण ∆AOB; जिसमें O पर समकोण है।
पाइथागोरस गुण के प्रयोग से
AB² = OA² + OB²
= 8² + 15²
= 64 + 225
⇒ AB² = 289
⇒ AB = √289 ⇒ AB = 17 सेमी०
समचतुर्भुज में, सभी भुजाओं की लंबाई समान होती है।
∴ AB = BC = CD = AD = 17 सेमी०
अब समचतुर्भुज का परिमाप = 4 x भुजा
= 4 x 17 = 68 सेमी० उत्तर

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