Class 10 Maths Chapter 4 Exercise 4.2 – द्विघात समीकरण

Class 10 Maths Chapter 4 Exercise 4.2 – द्विघात समीकरण

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 4 Quadratic Equations Ex 4.2 – कक्षा 10वीं के विद्यार्थी के लिए यहां परएनसीईआरटी कक्षा 10 गणित अध्याय 4. (द्विघात समीकरण) प्रश्नावली 4.2 के लिए सलूशन दिया गया है. जोकि एक सरल भाषा में दिया है .ताकि विद्यार्थी को पढने में कोई दिक्कत न आए .इसकी मदद से आप अपनी परीक्षा में अछे अंक प्राप्त कर सकते है.

NCERT Solutions For Class 10th Maths द्विघात समीकरण (प्रश्नावली 4.2)

(i) ????² – 3???? – 10 = 0
(ii) 2????² + ???? – 6 = 0
(iii) √2????² + 7x + 5√2 = 0
(iv)
(v) 100????² – 20???? + 1 = 0

.  ????² – 3???? – 10 = 0 | S = – 3
या ????² – 5???? + 2???? – 10 = 0 | p = – 10
या ???? (????² – 5) + 2 (???? – 5) = 0
या (???? – 5) (???? + 2) = 0
अर्थात् ???? – 5 = 0 या ???? + 2 = 0

???? = 5 या ???? = – 2

अतः, 5 और – 2 दी गई द्विघात समीकरण के मूल हैं।

. 2????² + ???? – 6 = 0 | S = 1
या 2????² + 4???? – 3???? – 6 = 0 | P = – 6 x 2
.  = – 12
या 2???? (???? + 2) – 3 (???? + 2) = 0
या (???? + 2) (2???? – 3) = 0
अर्थात् ???? + 2 = 0 या 2???? – 3 = 0

???? = – 2 या

अर्थात् – 2 और दी गई द्विघात समीकरण के मूल हैं।

. √2????² + 7???? + 5√2 = 0 | S = 7
या √2????² + 2???? + 5???? + 5√2 = 0 | P = √2×5√2
या √2???? (???? + √2) + 5 (???? + – 2) = 0 | = 10
या (???? + √2) (√2???? + 5) = 0
अर्थात् ???? + √2 = 0 या √2???? + 5 = 0

???? = – √2 या

अतः, – √2 और दी गई द्विघात समीकरण के मूल हैं।

या
. | S = – 8
या 16????² – 8???? + 1 = 0, | P = 16 x 1 = 16
या 16????² – 4???? – 4???? + 1 = 0
या 4???? (4???? – 1) – 1 (4???? – 1) = 0
या (4???? – 1) (4???? – 1) = 0
अर्थात्
. 4???? – 1 = 0
या 4???? – 1 = 0

या

अतः और दी गई द्विघात समीकरण के मूल हैं।

. 100????² – 20???? + 1 = 0
. | S = – 20
या 100????² – 10???? – 10???? + 1 = 0 | P = 100 x 1
. | = 100

या 10???? (10???? – 1) – 1 (10???? – 1) = 0
या (10???? – 1) (10???? – 1) = 0
अर्थात् 10???? – 1 = 0 या 10???? – 1 = 0

या

अतः, और दी गई द्विघात समीकरण के मूल हैं।

(i) जॉन और जीवंती दोनों के पास कुल मिलाकर 45 कंचे हैं। दोनों पाँच-पाँच कंचे खो देते हैं और अब उनके पास कंचों की संख्या का गुणनफल 124 है। हम जानना चाहेंगे कि आरंभ में उनके पास कितने कंचे थे ?
(ii) एक कुटीर उद्योग एक दिन में कुछ खिलौने निर्मित करता है, प्रत्येक खिलौने का मूल्य (₹ में ) 55 में से एक दिन में निर्माण किए गए खिलौने की संख्या को घटाने से प्राप्त संख्या के बराबर है। किसी एक दिन, कुल निर्माण लागत ₹ 750 थी। हम उस दिन निर्माण किए गए खिलौनों की संख्या ज्ञात करना चाहेंगे।

तब जीवंती के पास कंचों की संख्या थी = 45 – ????
जॉन के पास, 5 कंचे खो देने के बाद बचे कंचों की संख्या = ???? – 5
जीवंती के पास, 5 कंचों को खो देने के बाद बचे, कंचों की संख्या = 45 – ???? – 5
= 40 – ????

अतः, उनका गुणनफल = (???? – 5) (40 – ????)

= 40???? – ????² – 200 + 5????
= – ????² + 45???? – 200

प्रश्न अनुसार,

– ????² + 45???? – 200 = 124

या – ????² + 45???? – 324 = 0 | S = – 45,
या ????² – 45???? + 324 = 0 | P = 324
या ????² – 36???? – 9???? + 324 = 0
या ????² (???? – 36) – 9 (???? – 36) = 0
या (????² – 36) (???? – 9) = 0
अर्थात् ???? – 36 = 0 या ???? – 9 = 0

???? = 36 या ???? = 9
∴ ???? = 36, 9

अतः, कंचों की संख्या जो उनके पास आरंभ में थी 36 और 9 या 9 और 36 है।

इसलिए, उस दिन प्रत्येक खिलौने की निर्माण लागत (₹ में) = 55 – ????
अतः, उस दिन कुल निर्माण लागत (₹ में)
= ???? (55 – ????)

प्रश्न अनुसार,

???? (55 – ????) = 750
या 55???? – ????² = 750

या – ????² + 55???? – 750 = 0 | S = – 55,
या ????² – 55???? + 750 = 0 | P = 750
या ????² – 30???? – 25???? + 750 = 0
या ???? (???? – 30) – 25 (???? – 30) = 0
या (???? – 30) (???? – 25) = 0
अर्थात् ???? – 30 = 0 या ???? – 25 = 0

???? = 30 या ???? = 25
∴ ???? = 30, 25

अतः, उस दिन निर्मित खिलौनों की संख्या 30 अथवा 25 है।

दूसरी संख्या = 27 – ????
अतः, उनका गुणनफल = ???? (27 – ????)
= 27???? – ????²

प्रश्न अनुसार,

27???? – ????² = 182

या – ????² + 27???? – 182 = 0 |S = – 27
या ????² – 27???? + 182 = 0 |P = 182
या ????² – 13???? – 14???? + 182 = 0
या ???? (???? – 13) – 14 (???? – 13) = 0
या (???? – 13) (???? – 14) = 0
अर्थात् ???? – 13 = 0 या ???? – 14 = 0

???? = 13 या ???? = 14
???? = 13, 14

अतः, दो संख्याएँ 13 और 14 या 14 और 13 हैं।

∴ दूसरा धनात्मक पूर्णांक = ???? + 1

प्रश्न अनुसार,

(????)² + (???? + 1)² = 365

या ????² + ????² + 1 + 2???? = 365
या 2????² + 2???? + 1 – 365 = 0
या 2????² + 2???? – 364 = 0
या ????² + ???? – 182 = 0
या ????² + 14???? – 13???? – 182 = 0
या ????(???? + 14) – 13 (???? + 14) = 0
या (???? + 14) (???? – 13) = 0
अर्थात् ???? + 14 = 0 या ???? – 13 = 0
???? = – 14 या ???? = 13

∵ हमें धनात्मक पूर्णांक चाहिए।
इसलिए ???? = – 14 संभव नहीं है।
∴ ???? = 13
∴ एक धनात्मक पूर्णांक = 13
दूसरा धनात्मक पूर्णांक है = 13 + 1 = 14
अतः, दो अभीष्ट क्रमागत पूर्णांक 13 और 14 हैं।

इसलिए समकोण त्रिभुज की ऊँचाई (लंब) = (???? – 7) cm
और समकोण त्रिभुज का कर्ण = 13 cm …(दिया है)

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,

(आधार)² + (लंब)² = (कर्ण)²
(????)² + (???? – 7)² = (13)²

या ????² + ????² + 49 – 14???? = 169
या 2????² – 14???? + 49 – 169 = 0
या 2????² – 14???? – 120 = 0
या 2 [????² – 7???? – 60] = 0
या ????² – 7???? – 60 = 0 | S = -7
या ????² – 12???? + 5???? – 60 = 0
या ???? (???? – 12) + 5 (???? – 12) = 0
या (???? – 12) (???? + 5) = 0
अर्थात् ???? – 12 = 0 या ???? + 5 = 0

???? = 12 या ???? = – 5

∵ त्रिभुज की लंबाई कभी ऋणात्मक नहीं हो सकती।
इसलिए, हम ???? = – 5 को छोड़ देते हैं।
???? = 12

अतः, समकोण त्रिभुज का आधार = 12 cm
समकोण त्रिभुज की ऊँचाई (लंब) = (12 – 7) cm
= 5 cm

एक दिन में उद्योग द्वारा निर्मित बर्तनों की संख्या = ????
प्रत्येक नग की निर्माण लागत
= ₹ (2???? + 3)
∴ एक विशेष दिन की कुल निर्माण
= ₹ [???? (2???? + 3)] = ₹ (2????² + 3????)

प्रश्न अनुसार,

2????² + 3???? = 90 | S = 3,
या 2????² + 3???? – 90 = 0 | P = 2 x – 90
= – 180
या 2????² – 12???? + 15???? – 90 = 0
या 2???? (???? – 6) + 15 (???? – 6) = 0
या (???? – 6) (2???? + 15) = 0
अर्थात् ???? – 6 = 0 या 2???? + 15 = 0

???? = 6 या

∵ नगों की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती।
इसलिए हम ???? = 6 को छोड़ देते हैं।
∴ ???? = 6
अतः विशेष दिन निर्मित नगों की संख्या = 6
और प्रत्येक नग की निर्माण लागत = ₹ [2 x 6 + 3] = ₹ 15 उत्तर

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