Class 10 Maths Chapter 4 Exercise 4.1 – द्विघात समीकरण

Class 10 Maths Chapter 4 Exercise 4.1 – द्विघात समीकरण

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 4 Quadratic Equations Ex 4.1 – जो विद्यार्थी 10वीं कक्षा में पढ़ रहे है उनके लिए यहां पर एनसीईआरटी कक्षा 10 गणित अध्याय 4. (द्विघात समीकरण) प्रश्नावली 4.1 के लिए सलूशन दिया गया है. जोकि एक सरल भाषा में दिया है .ताकि विद्यार्थी को पढने में कोई दिक्कत न आए .इसकी मदद से आप अपनी परीक्षा में अछे अंक प्राप्त कर सकते है. इसलिए निचे आपको एनसीईआरटी समाधान कक्षा 10 गणित अध्याय 4 द्विघात समीकरण प्रश्नावली 4.1 दिया गया है .

NCERT Solutions for Class 10th Maths द्विघात समीकरण (प्रश्नावली 4.1)

(i) (x + 1)² = 2 (x – 3)
(ii) x² – 2x = (-2) (3 – x)
(iii) (x – 2) (x + 1) = (x – 1) (x + 3)
(iv) (x – 3) (2x + 1) = x (x + 5)
(v) (2x – 1) (x – 3) = (x + 5) (x – 1)
(vi) x² + 3x + 1 = (x – 2)²
(vii) (x + 2)³ = 2x (x² – 1)
(viii) x³ – 4x² – x + 1 = (x – 2)³

(???? + 1)² = 2 (???? – 3)
या ????² + 1 + 2???? = 2???? – 6
या ????² + 1 + 2???? – 2???? + 6 = 0
या ????² + 7 = 0
या ????² + 0???? + 7 = 0
जोकि α????² + b???? + c = 0 ; (α ≠ 0) के प्रकार का समीकरण है।
∴ यह एक द्विघात समीकरण है।

????² – 2???? = (-2) (3 – ????)
या ????² – 2???? = – 6 + 2????
या ????² – 2???? + 6 – 2???? = 0
या ????² – 4???? + 6 = 0
जोकि α????² + b???? + c = 0; (α ≠ 0) के प्रकार का है।
∴ यह एक द्विघात समीकरण है।

(???? – 2) (???? + 1) = (???? – 1) (???? + 3)
या ????² + ???? – 2???? – 2 = ????² + 3???? – ???? – 3
या ????² – ???? – 2 = ????² + 2???? – 3
या ????² – ???? – 2 – ????² – 2???? + 3 = 0
या – 3???? + 1 = 0,
जिसमें ????² का कोई पद नहीं है।
∴ यह एक द्विघात समीकरण नहीं है।

(???? – 3) (2???? + 1) = ????(???? + 5)
या 2????² + ???? – 6???? – 3 = ????2 + 5????
या 2????² – 5???? – 3 – ????2 – 5???? = 0
या ????² – 10???? – 3 = 0
जोकि α????² + b???? + c = 0; (α ≠ 0) के प्रकार का है।
∴ यह एक द्विघात समीकरण है।

(2???? – 1) (???? – 3) = (???? + 5) (???? – 1)
या 2????² – 6???? – ???? + 3 = ????2 – ???? + 5???? – 5
या 2????² – 7???? + 3 = ????² + 4???? – 5
या 2????² – 7???? + 3 – ????² – 4???? + 5 = 0
????² – 11???? + 8 = 0
जोकि α????² + b???? + c = 0; (α ≠ 0) के प्रकार का है।
∴ यह एक द्विघात समीकरण है।

????² + 3???? + 1 = (???? – 2)²
या ????² + 3???? + 1 = ????² + 4 – 4????
या ????² + 3???? + 1 – ????² – 4 + 4???? = 0
या 7???? – 3 = 0
जिसमें ????² का पद नहीं है
∴ यह एक द्विघात समीकरण नहीं है।

(???? + 2)³ = 2 ????(????² – 1)
या ????³ + (2)³ + 3(????)² + 3(????) (2)² = 2????³ – 2????
या ????³ + 8 + 6????² + 12???? = 2????³ – 2????
या ????³ + 8 + 6????² + 12???? – 2????³ + 2???? = 0
या – ????³ + 6????² + 14???? + 8 = 0
यहाँ ???? की उच्चतम घात 3 है।
यह एक त्रिघात समीकरण है।
∴ यह एक द्विघात समीकरण नहीं है।

????³ – 4????² – ???? + 1 = (???? – 2)³
या ????³ – 4????² – ???? + 1 = ????³ – (2)³ – 3(????)²(2) + 3(????) (2)²
या ????³ – 4????² – ???? + 1 = ????³ – 8 – 6????² + 12????
या ????³ – 4????² – ???? + 1 – ????³ + 8 + 6????² – 12???? = 0
या 2????² – 13???? + 9 = 0
जोकि α????² + b???? + c = 0; (α ≠ 0) के प्रकार का समीकरण है।
∴ यह एक द्विघात समीकरण है।

(i) एक आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल 528 m² है। क्षेत्र की लंबाई (मीटरों में) चौड़ाई के दुगुने से एक अधिक है। हमें भूखंड की लंबाई और चौड़ाई ज्ञात करनी है।
(ii) दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 306 है। हमें पूर्णांकों को ज्ञात करना है।
(iii) रोहन की माँ उससे 26 वर्ष बड़ी है। उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल अब से तीन वर्ष पश्चात् 360 हो जाएगा। हमें रोहन की वर्तमान आयु ज्ञात करनी है।
(iv) एक रेलगाड़ी 480 km की दूरी समान चाल से तय करती है। यदि इसकी चाल 8 km/h कम होती, तो वह उसी दूरी को तय करने में 3 घंटे अधिक लेती। हमें रेलगाड़ी की चाल ज्ञात करनी है।

आयताकार भूखंड की चौड़ाई = ???? m
∴ आयताकार भूखंड की लंबाई = (2???? + 1) m
∴ आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल = [???? (2???? + 1)] m²
= (2????2 + ????) m²

प्रश्न अनुसार,

2????² + ???? = 528
S = 1
P = – 528 x 2
= – 1056
या 2????² – 32???? + 33???? – 528 = 0
या 2???? (???? – 16) + 33 (???? – 16) = 0
या (???? – 16) (2???? + 33) = 0
अर्थात् ???? – 16 = 0 या 2???? + 33 = 0

???? = 16 या

∴ किसी आयताकार की चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए हम को छोड़ देते हैं।

∴ ???? = 16
अतः आयताकार भूखंड की चौड़ाई = 16 m
आयताकार भूखंड की लंबाई = (2 x 16 + 1) m = 33 m
और दी गई समस्या द्विघात समीकरण के रूप में है
2????² + ???? – 528 = 0

पूर्णांकों का गुणनफल = ???? (???? + 1)
= ????² + ????

प्रश्न अनुसार,

????² + ???? = 306
या ????² + ???? – 306 = 0
S = 1,
P = – 306
या ????² + 18???? – 17???? – 306 = 0
या ????(???? + 18) – 17 (???? + 18) = 0
या (???? + 18) (???? – 17) = 0
अर्थात् ???? + 18 = 0 या ???? – 17 = 0
???? = – 18 या ???? = 17

∵ हमने धनात्मक पूर्णांक ज्ञात करने हैं, इसलिए हम ???? = – 18 को छोड देते हैं।

∴ ???? = 17
अतः, दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक हैं :
17, 17 + 1 = 18
और दी गई समस्या द्विघात समीकरण के रूप में है:
????² + ???? – 306 = 0

रोहन की माँ की वर्तमान आयु = (???? + 26) वर्ष
3 वर्ष पश्चात्, रोहन की आयु = (???? + 3) वर्ष
रोहन की माँ की आयु = (???? + 26 + 3) वर्ष
= (???? + 29) वर्ष

∴ उनकी आयु का गुणनफल = (???? + 3) (???? + 29)

= ????² + 29???? + 3???? + 87
= ????² + 32???? + 87

प्रश्न अनुसार,

????² + 32???? + 87 = 360
या ????² + 32???? + 87 – 360 = 0 | S = 32,
या ????² + 32???? – 273 = 0 | P = – 273
????² + 39???? – 7???? – 273 = 0
या ???? (???? + 39) – 7 (???? + 39) = 0
या (???? + 39) (???? – 7) = 0
अर्थात् ???? + 39 = 0 या ???? – 7 = 0
???? = – 39 या ???? = 7

∵ किसी व्यक्ति की आयु ऋणात्मक नहीं हो सकती है
इसलिए हम ???? = – 39 को छोड़ देते हैं।

∴ ???? = 7
अत: रोहन की वर्तमान आयु = 7 वर्ष
और दी गई समस्या द्विघात समीकरण के रूप में है :
????² + 32???? – 273 = 0

रेलगाड़ी द्वारा तय की गई दूरी = 480 km
रेलगाड़ी की चाल = तय की गई दूरी/लिया गया समय

प्रश्न अनुसार,

अब रेलगाड़ी की चाल

रेलगाड़ी द्वारा लिया गया नया समय = (???? + 3) घंटे
दूरी = 480 km
सूत्र का उपयोग करने पर, चाल = तय की गई दूरी /लिया गया समय
या (चाल) (समय) = दूरी

या

या

या

या

या – 8????² + 456???? + 1440 – 480???? = 0
या – 8????² – 24???? + 1440 = 0
या – 8 [????² + 3???? – 180] = 0
या ????² + 3???? – 180 = 0
या ????² + 15???? – 12???? – 180 = 0
या ????(???? + 15) – 12 (???? + 15) = 0
या (???? + 15) (???? – 12) = 0
अर्थात् ???? + 15 = 0 या ???? – 12 = 0
???? = – 15 या ???? = 12

∵ समय ऋणात्मक नहीं हो सकता।
इसलिए हम ???? = – 15 को छोड़ देते हैं।
∴ ???? = 12

अब, गाड़ी द्वारा लिया गया समय = 12 घंटे
रेलगाड़ी द्वारा तय की गई दूरी = 480 km
रेलगाड़ी की चाल = (480) km/hr
= 40 km/hr

अतः रेलगाड़ी की चाल 40 km/hr है और दी गई समस्या का द्विघात समीकरण रूप है :
????² + 3???? – 180 = 0

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