Class 10 Maths Chapter 12 Exercise 12.3 – वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल

Class 10 Maths Chapter 12 Exercise 12.3 – वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 12 Areas Related to Circles Ex 12.3 – हर विद्यार्थी का सपना होता है कि वे अपनी कक्षा में अच्छे अंक से पास हो ,ताकि उन्हें आगे एडमिशन या किसी नौकरी के लिए फॉर्म अप्लाई करने में कोई दिक्कत न आए . कक्षा 10वीं के विद्यार्थी के लिए यहां पर एनसीईआरटी कक्षा 10 गणित अध्याय 12. (वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल) प्रश्नावली 12.3 के लिए सलूशन दिया गया है. जोकि एक सरल भाषा में दिया है .ताकि विद्यार्थी को पढने में कोई दिक्कत न आए .इसकी मदद से आप अपनी परीक्षा में अछे अंक प्राप्त कर सकते है.

NCERT Solutions For Class 10th Maths वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल (प्रश्नावली 12.3)

(जब तक अन्यथा न कहा जाए, का प्रयोग कीजिए।)

[su_note ]प्रश्न 1. आकृति में, छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि PQ = 24 cm, PR = 7 cm तथा O वृत्त का केन्द्र है।[/su_note]

[su_label]हल :[/su_label] PQ = 24 cm
PR = 7 cm

RQ वृत्त का व्यास है।
∠RPQ = 90° अर्धवृत्त का कोण
समकोण ∆PQR में,
QR² = RP² + PQ²

= √625 cm
QR = 25cm
∴ वृत्त का व्यास (QR) = 25 cm
वृत्त की त्रिज्या
छायांकित भाग का क्षेत्रफल

= अर्धवृत्त का क्षेत्रफल – समकोण ∆RPQ का क्षेत्रफल

= (245.53 – 84) cm² = 161.53 cm²
∴ छायांकित भाग का क्षेत्रफल = 161.53 cm² उत्तर

[su_note ]प्रश्न 2. आकृति में, छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि केन्द्र O वाले दोनों संकेंद्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमश: 7 cm और 14 cm हैं तथा ∠AOC = 40° है।[/su_note]
[su_label]हल :[/su_label] छोटे वृत्त की त्रिज्या (r) = 7 cm
बड़े वृत्त की त्रिज्या (R) = 14 cm
केन्द्रीय कोण ∠AOC (θ) = 40°

छायांकित भाग का क्षेत्रफल = बड़े वृत्तखंड OAC का क्षेत्रफल
– छोटे वृत्तखंड OBD का क्षेत्रफल

= 51.33 cm²
∴ छायांकित भाग का क्षेत्रफल = 51.33 cm² उत्तर

[su_note ]प्रश्न 3. आकृति में, छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि ABCD भुजा 14 cm का एक वर्ग है तथा APD और BPC दो अर्धवृत्त हैं।[/su_note]

[su_label]हल :[/su_label] वर्ग की भुजा = 14 cm
अर्धवृत्त का व्यास (AB = BC)
= 14 cm
अर्धवृत्त की त्रिज्या (R) = 7 cm

वर्ग का क्षेत्रफल = (भुजा)²

= 14 x 14 cm²
= 196 cm²

अर्धवृत्त का क्षेत्रफल

= 77 cm²

दो अर्धवृत्तों का क्षेत्रफल = 2(77) cm²

= 154 cm²

छायांकित भाग का क्षेत्रफल

= वर्ग ABCD का क्षेत्रफल – दो अर्धवृत्तों का क्षेत्रफल
= (196 – 154) cm²
= 42 cm²
∴ छायांकित भाग का क्षेत्रफल = 42 cm² उत्तर

[su_note ]प्रश्न 4. आकृति में, छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जहाँ भुजा 12 cm वाले एक समबाहु त्रिभुज OAB के शीर्ष 0 को केन्द्र मान कर 6 cm त्रिज्या वाला एक वृत्तीय चाप खींचा गया है।[/su_note]

[su_label]हल :[/su_label] चाप की त्रिज्या (R) = 6 cm
समबाहु त्रिभुज OAB की भुजा = 12 cm
OA = OB = AB = 12 cm
त्रिज्याखंड का केन्द्रीय कोण = 60°
[समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण 60°]
वृत्त के दीर्घ त्रिज्याखंड का क्षेत्रफल
= वृत्त का क्षेत्रफल – त्रिज्याखंड का क्षेत्रफल

= 94.28 cm²

∴ वृत्त के दीर्घ त्रिज्याखंड का क्षेत्रफल
= 94.28 cm²
समबाहु त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल

(भुजा)²

= 1.73 x 36 cm²
= 62.28 cm²

छायांकित क्षेत्रफल = समबाहु त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल

+ वृत्त के दीर्घ त्रिज्याखंड का क्षेत्रफल

= (62.28 + 94.28) cm²
= 156.56 cm²
छायांकित क्षेत्रफल
= 156.56 cm² उत्तर

[su_note ]प्रश्न 5. भुजा 4 cm वाले एक वर्ग के प्रत्येक कोने से 1 cm त्रिज्या वाले वृत्त का एक चतुर्थांश काटा गया है तथा बीच में से 2 cm व्यास का एक वृत्त भी काटा गया है, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। वर्ग के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।[/su_note]

[su_label]हल :[/su_label] वर्ग की भुजा = 4 cm
काटे गए प्रत्येक चतुर्थांश की त्रिज्या (r)
= 1 cm
वृत्त का व्यास (R) = 2 cm
∴ वृत्त की त्रिज्या (R) = 1 cm
वर्ग का क्षेत्रफल = (भुजा)²
= (4)² cm² = 16 cm²

4 चतुर्थांशों का क्षेत्रफल

= 3.14 cm²

वृत्त का क्षेत्रफल = ????R²

वृत्त का क्षेत्रफल = 3.14 cm²
अभीष्ट क्षेत्रफल = [वर्ग का क्षेत्रफल] – [4 चतुर्थांशों का क्षेत्रफल] – [वृत्त का क्षेत्रफल]
= (16 – 3.14 – 3.14) cm²
= 9.72 cm²
अभीष्ट क्षेत्रफल = 9.72 cm² उत्तर

[su_note ]प्रश्न 6. एक वृत्ताकार मेज़ पोश, जिसकी त्रिज्या 32 cm है, के बीच में एक समबाहु त्रिभुज ABC छोड़ते हुए एक डिज़ाइन बना हुआ है, जैसा कि आकृति में दिखाया गया है। इस छायांकित डिज़ाइन का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।[/su_note]

[su_label]हल :[/su_label] मेज़पोश की त्रिज्या (R) = 32 cm
OA = OB = OC = 32 cm

∆ABC एक समबाहु त्रिभुज है जिसमें
AB = AC = BC = 32 cm
∠A = ∠B = ∠C = 60°
∠AOB = ∠BOC = ∠AOC = 120°
OM ⊥ BC

[∵ समद्विबाहु ∆BOC में शीर्ष लंब आधार को समद्विभाजित करता है]
OB = OC [एक ही वृत की त्रिज्याएँ]
∴ ∠B = ∠C
∴ ∠O + ∠B + ∠C = 180°
120° + 2∠B = 180°
∠B = 30°
⇒ ∠B = ∠C = 30°
∴ समकोण ∆OMB में,
∠OBM = 30°

∴

BM = 16√3 cm
∴ BC = 2MB = 32√3 cm

वृत्त का क्षेत्रफल

= 3218.28 cm² उत्तर

∆ABC का क्षेत्रफल (भुजा)²

= 1328.64 cm² उत्तर
∴ अभीष्ट क्षेत्रफल = वृत्त का क्षेत्रफल – ∆ABC का क्षेत्रफल
= (3218.28 – 1328.64) cm²
= 1889.64 cm² उत्तर

[su_note ]प्रश्न 7. आकृति में, ABCD भुजा 14 cm वाला एक वर्ग है। A, B, C और D को केन्द्र मानकर, चार वृत्त इस प्रकार खींचे गए हैं कि प्रत्येक वृत्त शेष तीन वृत्तों में से दो वृत्तों को बाह्य रूप से स्पर्श करता है। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।[/su_note]

दिया गया है, ABCE एक वर्ग है जिसकी भुजा = 14 cm

चूँकि प्रत्येक वृत्त तीन शेष वृत्तों में से दो वृत्तों को बाह्य रूप से स्पर्श करता है,

अत: वृत्त की त्रिज्या = 14/2 = 7 cm

तब छायांकित भाग का क्षेत्रफल = ?

हम जानते हैं कि वर्ग का क्षेत्रफल = (भुजा)²

अत: दिये गये वर्ग का क्षेत्रफल = (14 cm)²

= 196 cm²

[su_note ]प्रश्न में दिये गये चित्र के अनुसार चारों में से प्रत्येक वृत्त का एक चतुर्थांश वर्ग वाले क्षेत्र में पड़ता है।[/su_note]

तथा कुल मिलाकर वृत्त के चार चतुर्थांश हैं

अत: वर्ग में पड़ने वाले वृत्त की संख्या = 1/4 वृत्त × 4 = 1 वृत्त

हम जानते हैं कि वृत्त का क्षेत्रफल = π r²

अत: वृत के चार चतुर्थांश अर्थात कुल 1 वृत्त का क्षेत्रफल

अत: वर्ग के अंदर पड़ने वाले वृत्त के चतुर्थांशों का कुल क्षेत्रफल = 154 cm²

अब छायांकत भाग का क्षेत्रफल = वर्ग का क्षेत्रफल – चारों वृत्त के चतुर्थांशों का क्षेत्रफल

= 196 cm² – 154 cm²

= 42 cm²

अत: छायांकित भाग का क्षेत्रफल = 42 cm² उत्तर

[su_note ]प्रश्न 8. आकृति में, AB और CD केन्द्र 0 वाले एक वृत्त के दो परस्पर लंब व्यास हैं तथा OD छोटे वृत्त का व्यास है। यदि OA = 7 cm है, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।[/su_note]

[su_label]हल :[/su_label] बड़े वृत्त का व्यास = 14 cm
बड़े वृत्त की त्रिज्या, R = 7 cm
छोटे वृत्त का व्यास = 7 cm
∴ छोटे वृत्त की त्रिज्या
AB और CD एक वृत्त के दो परस्पर लंब व्यास हैं।
∴ AD ⊥ CD

बड़े वृत्त का क्षेत्रफल = ????R²

= 154 cm²

छोटे वृत्त का क्षेत्रफल = ????r²

= 38.50 cm²

∆ABC का क्षेत्रफल = आधार x ऊँचाई

= 49 cm²

∴ छायांकित क्षेत्रफल = बड़े वृत्त का क्षेत्रफल – छोटे वृत्त का क्षेत्रफल
– त्रिभुज का क्षेत्रफल
= (154 – 38.5 – 49) cm²
= 66.5 cm² उत्तर

[su_note ]प्रश्न 10. एक समबाहु त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल 17320.5 cm² है। इस त्रिभुज के प्रत्येक शीर्ष को केन्द्र मानकर त्रिभुज की भुजा के आधे के बराबर की त्रिज्या लेकर एक वृत्त खींचा जाता है (देखिए आकृति)। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।[/su_note]
(???? = 3.14 और √3 = 1.73205 लीजिए।)

[su_label]हल :[/su_label] समबाहु त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल = 17320.5 cm²

 

(भुजा)² = 17320.5 cm²

(भुजा)²

(भुजा)²

भुजा = √4x100x100cm

भुजा = 2 X 100 cm = 200 cm

∴ AB = BC = AC

वृत्त की त्रिज्या

त्रिज्याखंड का कोण, θ = 60°

त्रिज्याखंड APN का क्षेत्रफल =

= 5233.33 cm²

तीनों त्रिज्याखंडों का क्षेत्रफल = 3 x 5233.33 cm²
= 15699.99 cm²
= 156700 cm²
∴ अभीष्ट छायांकित क्षेत्रफल = त्रिभुज का क्षेत्रफल – तीन त्रिज्याखंडों का क्षेत्रफल
= 17320.5 cm² – 156700 cm²
= 1620.5 cm²
∴ छायांकित क्षेत्रफल = 1620.5 cm² उत्तर

[su_note ]प्रश्न 11. एक वर्गाकार रुमाल पर, 9 वृत्ताकार डिज़ाइन बने हैं, जिनमें से प्रत्येक की त्रिज्या 7 cm है (देखिए आकृति)। रुमाल के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।[/su_note]

हल: वृत्त की त्रिज्या (R) = 7 cm
वृत्त का व्यास = 2 x R
= 2 x 7 cm
= 14 cm
क्योंकि वर्ग की भुजा के अनुदिश तीन वृत्त हैं।
∴ वर्ग की भुजा = 3 [14] cm = 42 cm²
रुमाल का कुल क्षेत्रफल = वर्ग का क्षेत्रफल = (भुजा)²
= (42)² cm² = 1764 cm²

9 वृत्ताकार डिज़ाइनों का क्षेत्रफल

= 9????R²

= 9 x 154 cm²

= 1386 cm²
∴ शेष भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल
= वर्ग का क्षेत्रफल – 9 वृत्ताकार डिज़ाइनों का क्षेत्रफल
= 1764 cm² – 1386 cm²
= 378 cm²
∴ शेष भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 378 cm² उत्तर

[su_note ]प्रश्न 12. आकृति में, OACB केन्द्र 0 और त्रिज्या 3.5 cm वाले एक वृत्त का चतुर्थांश है। यदि OD = 2 cm, है, तो निम्नलिखित के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए : [/su_note]
(i) चतुर्थांश OACB
(ii) छायांकित भाग

[su_label]हल :[/su_label] चतुर्थांश की त्रिज्या (R) = 3.5 cm
त्रिज्याखंड का कोण (θ) = 90°
OD = 2 cm.

(i) चतुर्थांश OACB का क्षेत्रफल =

= 9.625 cm² उत्तर

(ii) ∆ODB का क्षेत्रफल = x आधार x ऊँचाई

= 3.5 cm²

∴ छायांकित क्षेत्रफल = चतुर्थांश OACB का क्षेत्रफल

– ∆ODB का क्षेत्रफल

= (9.625 – 3.5) cm²

= 6.125 cm²
∴ छायांकित क्षेत्रफल = 6.125 cm² उत्तर

[su_note ]प्रश्न 13. आकृति में, एक चतुर्थांश OPBQ के अंतर्गत एक वर्ग OABC बना हुआ है। यदि OA = 20 cm है, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।[/su_note]
(???? = 3.14 लीजिए।)

[su_label]हल :[/su_label] वर्ग ABCO की भुजा = 20 cm
∠AOC = 90°
AB = OA

∴ ∆OAB में,
OB² = OA² + AB²
OB = √(20 cm)² + (20 cm)²
= √400 cm² + 400 cm²
= √800 cm²
OB = 20√2 cm

वर्ग OABC का क्षेत्रफल
= (भुजा)² = (20)² cm²
∴ वर्ग का क्षेत्रफल = 400 cm²
चतुर्थांश की त्रिज्या (R) = 20√2 cm²
त्रिज्याखंड का कोण (θ) = 90°

∴ त्रिज्याखंड का क्षेत्रफल

= 2 x 314 cm²
= 628 cm²
∴ अभीष्ट छायांकित क्षेत्रफल = त्रिज्याखंड का क्षेत्रफल – वर्ग का क्षेत्रफल
= (628 – 400) cm²
= 228 cm² उत्तर

[su_note ]प्रश्न 14. AB और CD केन्द्र 0 तथा त्रिज्याओं 21 cm और 7 cm वाले दो संकेंद्रीय वृत्तों के क्रमशः दो चाप हैं ( देखिए आकृति)। यदि ∠AOB = 30° है, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।[/su_note]

[su_label]हल :[/su_label] त्रिज्याखंड OBA की त्रिज्या (R) = 21 cm
त्रिज्याखंड ODC की त्रिज्या (r) = 7 cm
त्रिज्याखंड का कोण (θ) = 30°
बड़े त्रिज्याखंड (OAB) का क्षेत्रफल

= 115.5 cm²

छोटे त्रिज्याखंड (ODC) का क्षेत्रफल

छोटे त्रिज्याखंड (ODC) का क्षेत्रफल = 12.83 cm²
अब छायांकित भाग का क्षेत्रफल = बड़े त्रिज्याखंड OAB का क्षेत्रफल
– छोटे त्रिज्याखंड OCD का क्षेत्रफल
= 115.5 cm² – 12.83 cm²
= 102.66 cm²
छायांकित भाग का क्षेत्रफल = 102.66 cm² उत्तर

[su_note ]प्रश्न 15. आकृति में, ABC त्रिज्या 14 cm वाले एक वृत्त का चतुर्थांश है तथा BC को व्यास मान कर एक अर्धवृत्त खींचा गया है। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।[/su_note]

[su_label]हल :[/su_label] त्रिज्याखंड ACPB की त्रिज्या (r) = 14 cm
त्रिज्याखंड कोण (θ) = 90°
AB = AC = 7 cm

त्रिभुज का क्षेत्रफल

= 98 cm²

त्रिज्याखंड ACPB का क्षेत्रफल

= 154 cm²

∴ BOCPB का क्षेत्रफल = त्रिज्याखंड ABPC का क्षेत्रफल
– ∆ABC का क्षेत्रफल
= 154 cm² – 98 cm² = 56 cm²
∆ABAC में, AB² + AC² = BC²
(14 cm)² + (14 cm)² = BC²
BC = √196 + 196 cm = √2(196) cm
= 14√2 cm

∴ अर्धवृत्त BOCR की त्रिज्या

अर्धवृत्त का क्षेत्रफल

= 154 cm²
अभीष्ट क्षेत्रफल = अर्धवृत्त का क्षेत्रफल
– [BOCPB का क्षेत्रफल]
= 154 cm² – 56 cm² = 98 cm²
छायांकित भाग का क्षेत्रफल = 9.8 cm² उत्तर

[su_note ]प्रश्न 16. आकृति में, छायांकित डिज़ाइन का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जो 8 cm त्रिज्याओं वाले दो वृत्तों के चतुर्थांशों के बीच उभयनिष्ठ है।[/su_note]

हल: वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल
वर्ग की भुजा = 8 cm
वर्ग का क्षेत्रफल = (8 cm)² = 64 cm²
विकर्ण BD वर्ग ABCD को दो समान भागों में विभाजित करता है।
∆ABD का क्षेत्रफल = ∆ABDC का क्षेत्रफल
त्रिज्याखंड का कोण, θ = 90°

त्रिज्याखंड का क्षेत्रफल

त्रिज्याखंड का क्षेत्रफल = 50.28 cm²

∆ABD का क्षेत्रफल

= 32 cm²
∴ वृत्तखंड DMBPD का क्षेत्रफल
= त्रिज्याखंड ABPD का क्षेत्रफल
– ∆ABD का क्षेत्रफल
= 50.28 cm² – 32 cm²
= 18.28 cm²

छायांकित क्षेत्रफल = 2 वृत्तखंड DMBPD का क्षेत्रफल
= 2 (18.28) cm² = 36.57 cm² उत्तर

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