Class 10 Maths Chapter 12 Exercise 12.2 – वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 12 Areas Related to Circles Ex 12.2 – आज हम आप के लिए Class 10 Maths Chapter 12 वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल लेकर आयें है। जो कि Class 10 Maths Exams के लिए अत्यन्त उपयोगी साबित होगी. कक्षा 10वीं के विद्यार्थी के लिए यहां पर एनसीईआरटी कक्षा 10 गणित अध्याय 12. (वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल) प्रश्नावली 12.2 के लिए सलूशन दिया गया है. जोकि एक सरल भाषा में दिया है .ताकि विद्यार्थी को पढने में कोई दिक्कत न आए .इसकी मदद से आप अपनी परीक्षा में अछे अंक प्राप्त कर सकते है.

NCERT Solutions For Class 10th Maths वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल (प्रश्नावली 12.2)

(जब तक अन्यथा न कहा जाए, का प्रयोग कीजिए)

प्रश्न 1. 6 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त के एक त्रिज्याखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसका केंद्रीय कोण 60° है।

हल :वृत्त के त्रिज्याखंड की त्रिज्या (R) = 6 cm

केंद्रीय कोण (0) = 60°

त्रिज्याखंड का क्षेत्रफल

∴ त्रिज्याखंड का क्षेत्रफल = 18.86 cm² उत्तर

प्रश्न 2. एक वृत्त के चतुर्थांश (quadrant) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसकी परिधि 22 cm है।

हल :वृत्त की परिधि = 22 cm

2????R = 22 cm

केंद्रीय कोण [चतुर्थांश] (θ) = 90°

∴ चतुर्थांश का क्षेत्रफल

चतुर्थांश का क्षेत्रफल = 9.625 cm² उत्तर

प्रश्न 3. एक घड़ी की मिनट की सुई की लंबाई 14 cm है। इस सुई द्वारा 5 मिनट में रचित क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल : मिनट की सुई की लंबाई
= वृत्त की त्रिज्या (R) = 14 cm

हमें ज्ञात है,

60′ = 360°

5′ = 6° x 5 = 30°

त्रिज्याखंड कोण (θ) = 30°

∴ सुई द्वारा 5 मिनट में रचित क्षेत्रफल

सुई द्वारा 5 मिनट में रचित क्षेत्रफल

= 51.33 cm². उत्तर

प्रश्न 4. 10 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त की कोई जीवा केंद्र पर एक समकोण अंतरित करती है। निम्नलिखित के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए :

(i) संगत लघु वृत्तखंड
(ii) संगत दीर्घ त्रिज्याखंड (???? = 3.14 का प्रयोग कीजिए)।
हल :वृत्त की त्रिज्या (R) = 10 cm

केंद्रीय कोण (θ) = 90°

लघु त्रिज्याखंड का क्षेत्रफल

लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल

= लघु त्रिज्याखंड का क्षेत्रफल – ∆AOB

का क्षेत्रफल

= (78.5 – 50) cm²

= 28.5 cm²

∴ लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल = 28.5 cm² उत्तर

दीर्घ त्रिज्याखंड का क्षेत्रफल

∴ दीर्घ त्रिज्याखंड का क्षेत्रफल = 235.5 cm² उत्तर

प्रश्न 5. त्रिज्या 21 cm वाले वृत्त की एक चाप केंद्र पर 60° का कोण अंतरित करती है। ज्ञात कीजिए :

(i) चाप की लंबाई
(ii) चाप द्वारा बनाए गए त्रिज्याखंड का क्षेत्रफल
(iii) संगत जीवा द्वारा बनाए गए वृत्तखंड का क्षेत्रफलहल :(i) वृत्त की त्रिज्या (R) = 21 cm

केंद्रीय कोण (θ) = 60°

चाप की लंबाई

चाप की लंबाई = 22 cm उत्तर

(ii) चाप द्वारा बनाए गए त्रिज्याखंड का क्षेत्रफल

= 231 cm²

∴ त्रिज्याखंड का क्षेत्रफल क्योंकि ∆OAB समबाहु त्रिभुज है जिसमें θ = 60°.

(iii) वृत्तखंड का क्षेत्रफल = त्रिज्याखण्ड का क्षेत्रफल – ∆AOB का क्षेत्रफल

(भुजा)²

= (231 – 0.4325 x 441) cm²

= (231 – 190.7325) cm²

वृत्तखंड का क्षेत्रफल

= 40.26cm² उत्तर

प्रश्न 6. 15 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त की कोई जीवा केंद्र पर 60° का कोण अंतरित करती है। संगत लघु और दीर्घ वृत्तखंडों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

(???? = 3.14 और √3 = 1.73 का प्रयोग कीजिए।)हल :वृत्त की त्रिज्या = (R) = 15 cm
केंद्रीय कोण (θ) = 60°

∆OAB में, केंद्रीय कोण θ = 60°
OA = OB = 15 cm
∴ ∠A = ∠B = 60°
∴ ∆OAB समबाहु त्रिभुज है।

[लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल] [लघु त्रिज्याखंड का क्षेत्रफल] [समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल]

(भुजा)²

लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल = 20.43 cm²

दीर्घ वृत्तखंड का क्षेत्रफल = वृत्त का क्षेत्रफल – लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल

= ????R² – 20.43 cm²
= (3.14 x 15 x 15 – 20.43) cm²
= (706.5 – 20.43) cm²
= 686.07 cm²
दीर्घ वृत्तखंड का क्षेत्रफल = 686.07 cm² उत्तर

प्रश्न 7. त्रिज्या 12 cm वाले एक वृत्त की कोई जीवा केंद्र पर 120° का कोण अंतरित करती है। संगत वृत्तखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

(???? = 3.14 और √3 = 1.73 का प्रयोग कीजिए।)हल :वृत्त की त्रिज्या (R) = 12 cm

केंद्रीय कोण (θ) = 120°
∆OAM में, OM ⊥ AB
∴

∴ ∠AOM = 60° = ∠OBM

AB = 2AM

= (sin 60°) 12 cm

वृत्तखंड का क्षेत्रफल = त्रिज्याखंड का क्षेत्रफल – ∆OAB का क्षेत्रफल वृत्तखंड का क्षेत्रफल

= 150.72 cm²-36 x 1.73 cm²

= (150.72 – 62.28)cm²

= 88.44 cm²

∴ वृत्तखंड का क्षेत्रफल = 88.44 cm² उत्तर

प्रश्न 8. 15 m भुजा वाले एक वर्गाकार घास के मैदान के एक कोने पर लगे खंटे से एक घोड़े को 5 m लंबी रस्सी से बांध दिया गया है

(देखिए आकृति। ज्ञात कीजिए :
(i) मैदान के उस भाग का क्षेत्रफल, जहाँ घोड़ा घास चर सकता है।
(ii) चरे जा सकने वाले क्षेत्रफल में वृद्धि, यदि घोड़े को 5 m लंबी रस्सी के स्थान पर 10 m लंबी रस्सी से बांध दिया जाए। (???? = 3.14 का प्रयोग कीजिए।)

हल :वर्ग की भुजा = 15 m
(i) खूटे की रस्सी की लंबाई = वृत्त की त्रिज्या (R) = 5 m
केंद्रीय कोण (θ) = 90° [वर्ग का प्रत्येक कोण]

त्रिज्याखंड का क्षेत्रफल

= 19.625 m² उत्तर

(ii) जब त्रिज्याखंड की त्रिज्या 10 m हो जाती है।

त्रिज्याखंड OCD की त्रिज्या (R₂) = 10 m

केंद्रीय कोण (θ) = 90°

∴ त्रिज्याखंड OCD का क्षेत्रफल

∴ चरे जा सकने वाले क्षेत्रफल में वृद्धि

= त्रिज्याखंड OCD का क्षेत्रफल
– त्रिज्याखंड OAB का क्षेत्रफल
= 78.5 m² – 19.625 m²
= 58.875 m²
चरे जा सकने वाले क्षेत्रफल में वृद्धि
= 58.875 m² उत्तर

प्रश्न 9. एक वृत्ताकार ब्रूच (brooch) जिसका व्यास 35 mm है को चाँदी के तार से बनाया जाना है। तार को वृत्त के 5 व्यासों को बनाने में भी प्रयक्त किया गया है जो उसे 10 बराबर त्रिज्याखंडों में विभाजित करते हैं, ज्ञात कीजिए :

(i) कुल वांछित चाँदी के तार की लंबाई
(ii) ब्रूच के प्रत्येक त्रिज्याखंड का क्षेत्रफल

हल : वृत्त का व्यास (D) = 35 mm

वृत्त की त्रिज्या

व्यासों की संख्या = 5
बराबर त्रिज्याखंडों की संख्या = 10

(i) प्रयोग की गई तार की लंबाई = 5 व्यासों की लंबाई

+ वृत्त (ब्रूच) का परिमाप
= 5(35) mm + 2????R

= 175 mm + 110 mm
= 185 mm

(ii) ब्रूच के एक त्रिज्याखंड का कोण

= 360°/त्रिज्याखण्डों की संख्या

ब्रूच के प्रत्येक त्रिज्याखंड का क्षेत्रफल

= 96.25 mm
ब्रूच के प्रत्येक त्रिज्याखंड का क्षेत्रफल = 96.25 m² उत्तर

प्रश्न 10. एक छतरी में आठ ताने हैं, जो बराबर दूरी पर लगे हुए हैं (देखिए आकृति) छतरी को 45 cm त्रिज्या वाला एक सपाट वृत्त मानते हुए, इसके दो क्रमागत तानों के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल :वृत्त की त्रिज्या = 45 cm
तानों की संख्या = 8

केंद्रीय कोण (त्रिज्याखंड कोण)

त्रिज्याखंड का क्षेत्रफल

त्रिज्याखंड का क्षेत्रफल = 795.53 cm²
∴ छतरी के दो क्रमागत तानों के बीच का क्षेत्रफल
= 795.53 cm² उत्तर

प्रश्न 11. किसी कार के दो वाइपर (Wipers), परस्पर कभी आच्छादित नहीं होते हैं। प्रत्येक वाइपर की पत्ती की लंबाई 25 cm है और 115° के कोण तक घूम कर सफाई कर सकता है। पत्तियों की प्रत्येक बुहार के साथ जितना क्षेत्रफल साफ हो जाता है, वह ज्ञात कीजिए।

हल :पत्ती की लंबाई (R) = 25 cm
त्रिज्याखंड का कोण (0) = 115°
वाइपर त्रिज्याखंड के रूप में घूमता है।

त्रिज्याखंड का क्षेत्रफल

= एक पत्ती द्वारा घूमा गया क्षेत्रफल

= 627.48 cm²

वाइपर की दो पत्तियों द्वारा घूमा गया क्षेत्रफल

= 2 X एक त्रिज्याखण्ड का क्षेत्रफल

= 2 x 627.48 cm²

= 1254.96 cm² उत्तर

प्रश्न 12. जहाज़ों को समुद्र में जल स्तर के नीचे स्थित चट्टानों की चेतावनी देने के लिए, एक लाइट हाऊस (light house) 80° कोण वाले एक त्रिज्याखंड में 16.5 km की दूरी तक लाल रंग का प्रकाश फैलाता है। समुद्र के उस भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसमें जहाज़ों को चेतावनी दी जा सकती है।

(???? = 3.14 का प्रयोग कीजिए।)
हल : त्रिज्याखंड कोण (θ) = 80°

त्रिज्याखंड की त्रिज्या (R) = 16.5 km

समुद्र के उस भाग का क्षेत्रफल जिसमें जहाज़ों को चेतावनी दी जा सकती है = त्रिज्याखंड का क्षेत्रफल

= 189.97 km ²

समुद्र के उस भाग का क्षेत्रफल जिसमें जहाजों को चेतावनी दी जा सकती है = 189.97 km² उत्तर

13. एक गोल मेज़पोश पर छः समान डिज़ाइन बने हुए हैं जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। यदि मेज़पोश की त्रिज्या 28 cm है, तो ₹ 0.35 प्रति वर्ग cm की दर से इन डिज़ाइनों को बनाने की लागत ज्ञात कीजिए। (√3 = 1.7 का प्रयोग कीजिए)

हल :समान डिज़ाइनों की संख्या = 6
डिज़ाइन की त्रिज्या (R) = 28 cm

प्रत्येक डिज़ाइन त्रिज्याखंड के आकार का है, केंद्रीय कोण

क्योंकि केंद्रीयकोण 60° है और OA = OB है।
∴ ∆OAB एक समबाहु त्रिभुज है जिसकी भुजा 28 cm है।

एक छायांकित डिज़ाइन भाग का क्षेत्रफल
= वृत्तखंड का क्षेत्रफल
= त्रिज्याखण्ड OAB का क्षेत्रफल – ∆OAB का क्षेत्रफल

(भुजा)²

= (410.66 – 333.2)cm²

= 77.46 cm²
एक छायांकित डिज़ाइन भाग का क्षेत्रफल = 77.46 cm²

छः डिज़ाइन भागों का क्षेत्रफल

= 6 [एक डिज़ाइन भाग का क्षेत्रफल] = 6 [77.46] cm²
= 464.76 cm²
1 cm² डिज़ाइन बनाने का खर्च = ₹ 0.35

464.76 cm² डिज़ाइन बनाने का खर्च

= ₹ 0.35 x 464.76
= ₹ 162.68

प्रश्न 14. निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए : त्रिज्या R वाले वृत्त के p° केंद्रीय कोण वाले त्रिज्याखंड का क्षेत्रफल है

(a)

(b)

(c)

(d)

हल : त्रिज्याखंड का कोण (θ) = p°
वृत्त की त्रिज्या = R

त्रिज्याखंड का क्षेत्रफल

∴ सही विकल्प (d) है। उत्तर

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NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 12 वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल Exercise 12.1
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NCERT Solutions For Class 10th Maths वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल (प्रश्नावली 12.2)

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