Class 10 Maths Chapter 4 Exercise 4.3 – द्विघात समीकरण
NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 4 Quadratic Equations Ex 4.3 – कक्षा 10वीं के विद्यार्थी के लिए यहां पर एनसीईआरटी कक्षा 10 गणित अध्याय 4. (द्विघात समीकरण) प्रश्नावली 4.3 के लिए सलूशन दिया गया है. जोकि एक सरल भाषा में दिया है .ताकि विद्यार्थी को पढने में कोई दिक्कत न आए .इसकी मदद से आप अपनी परीक्षा में अछे अंक प्राप्त कर सकते है.
NCERT Solutions For Class 10th Maths द्विघात समीकरण (प्रश्नावली 4.3)
[su_note]प्रश्न 1. यदि निम्नलिखित द्विघात समीकरणों के मूलों का अस्तित्व हो, तो इन्हें पूर्ण वर्ग बनाने की विधि द्वारा ज्ञात कीजिए :[/su_note]
(i) 2x2 – 7x + 3 = 0
(ii) 2x2 + x – 4 = 0
(iii) 4x2 + 4√3x + 3 = 0
(iv) 2x2 + x + 4 = 0
[su_label]हल : (i) दी गई द्विघात समीकरण है :[/su_label]
2????2 – 7???? + 3 = 0
2????2 – 7???? = – 3
या 
या 
या 
या 
या 
या 
स्थिति I
जब
या 
या 
स्थिति II
जब 
या 
या 
अतः, दी गई द्विघात समीकरण के मूल हैं 
[su_label](ii) दी गई द्विघात समीकरण है[/su_label]
2????2 + ???? – 4 = 0
या 2????2 + ???? = 4
या 
या 
या 
या 
या 
या 
या 
स्थिति I. जब 
या 
या 
स्थिति II.
जब 
या 
या 
अतः, दी गई द्विघात समीकरण के मूल हैं : 
और उत्तर
[su_label](iii) दी गई द्विघात समीकरण है :[/su_label]
4????2 + 4√3???? + 3 = 0
या 4????2 + 4√3???? = – 3
या 
या 
या 
या 
या 
या 
अर्थात् 
या 
या 
अतः दी गई समीकरण के मूल 
और हैं। उत्तर
[su_label](iv) दी गई द्विघात समीकरण है :[/su_label]
2????2 + ???? + 4 = 0
2????2 + ???? = – 4
या 
या 
या 
या 
या 
∵ किसी संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता।
इसलिए, 
के किसी भी वास्तविक मान के लिए ऋणात्मक नहीं हो सकता।
∴ यहाँ ???? का कोई भी वास्तविक मान नहीं है जो दी गई द्विघात समीकरण को संतुष्ट करता हो।
अतः, दिए गए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।
[su_note]प्रश्न 2. उपर्युक्त प्रश्न 1 में दिए गए द्विघात समीकरणों के मूल, द्विघाती सूत्र का उपयोग करके ज्ञात कीजिए।[/su_note]
[su_label]हल : (i) दी गई द्विघात समीकरण है :[/su_label]
2????2 – 7???? + 3 = 0
इसकी α????2 + b???? + c = 0 से तुलना करने पर,
α = 2, b = – 7, c = 3
अब, b2 – 4αc = (-7)2 – 4 x 2 x 3
= 49 – 24
= 25 > 0
∴ 
और 
और 
= 3 और 
अतः, 3 और दी गई द्विघात समीकरण के मूल हैं।
[su_label](ii) दी गई द्विघात समीकरण है :[/su_label]
2????2 + ???? – 4 = 0
इसकी तुलना α????2 + b???? + c = 0 से करने पर,
α = 2, b = 1, c = – 4
अब, b2 – 4αc = (1)2 – 4 x 2 – (- 4)
= 1 + 32
= 33 > 0
∴ 
और 
अंत:, और दी गई द्विघात समीकरण के मूल हैं।
[su_label](iii) दी गई द्विघात समीकरण है :[/su_label]
4????2 + 4√3 + 3 = 0
इसकी तुलना α????2 + b???? + c = 0 से करने पर,
∴ α = 4, b = 4√3, c = 3
अब, b2 – 4αc = (4√3)2 – 4 x 4 x 3
= 48 – 48 = 0
∴ 
अतः 
और दी गई द्विघात समीकरण के मूल हैं। उत्तर
[su_label](iv) दी गई द्विघात समीकरण है :[/su_label]
2????2 + ???? + 4 = 0
इसकी तुलना α????2 + b???? + c = 0 से करने पर,
∴ α = 2, b = 1, c = 4
अब, b2 – 4αc = (1)2 – 4 x 2 x 4
= 1 – 32 = – 31 < 0
परंतु
क्योंकि एक वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता। इसलिए ???? का कोई वास्तविक मान नहीं होगा। अतः दिए गए समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है।
[su_note]प्रश्न 3. निम्न समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए :[/su_note]
(i) 
(ii) 
[su_label]हल : (i) दी गई समीकरण है :[/su_label]
या 
या ????2 – 1 = 3????
या ????2 – 3???? – 1 = 0
इसकी तुलना α????2 + b???? + c = 0 से करने पर,
∴ α = 1, b = – 3, c = – 1
अब, b2 – 4αc = (-3)2 – 4. 1. (- 1)
= 9 + 4 = 13 > 0
∴
और 
अतः, 
और दी गई द्विघात समीकरण के मूल हैं। उत्तर
[su_label]हल : (i) दी गई समीकरण है :[/su_label]
या 
या 
या 
या – 11 x 30 = 11 (????2– 3???? – 28)
या – 30 = ????2– 3???? – 28)
या ????2 – 3???? – 28 + 30 = 0
या ????2 – 3???? + 2 = 0
इसकी तुलना α????2 + b???? + c = 0 से करने पर
∴ α = 1, b = – 3, c = 2
अब, b2 – 4αc = (-3)2 – 4 x 1 x 2
= 9 – 8
= 1 > 0
∴
और 
और 
और 1
अतः, 2 और 1 दी गई द्विघात समीकरण के मूल हैं। उत्तर
[su_note]प्रश्न 4. 3 वर्ष पूर्व रहमान की आयु (वर्षों में )का व्युत्क्रम और अब से 5 वर्ष पश्चात् आयु के व्युत्क्रम का योग 
है। उसकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।[/su_note]
[su_label]हल : मान लीजिए, रहमान की वर्तमान आयु = ???? वर्ष[/su_label]
3 वर्ष पूर्व रहमान की आयु = (???? – 3) वर्ष
अब से 5 वर्ष पश्चात् रहमान की आयु = (???? + 5) वर्ष
प्रश्न अनुसार
या 
या 
या 
या 6???? + 6 = ????2+2????-15
या ????2 + 2???? – 15 – 6???? – 6 = 0
या ????2 – 4???? – 21 = 0,
इसकी तुलना α????2 + b???? + c = 0 से करने पर,
∴ α = 1, b = – 4, c = – 21
अब, b2 – 4αc = (- 4)2 – 4 x 1 x (-21)
= 16 + 84
= 100 > 0
∴
और 
और 
= 7 और – 3
∵ आयु ऋणात्मक नहीं हो सकती।
इसलिए हम ???? = – 3 को छोड़ देते हैं।
∴ ???? = 7
अतः, रहमान की वर्तमान आयु = 7 वर्ष। उत्तर
[su_note]प्रश्न 5. एक क्लास टेस्ट में शेफाली के गणित और अंग्रेज़ी में प्राप्त किए गए अंकों का योग 30 है। यदि उसको गणित में 2 अंक अधिक और अंग्रेज़ी में 3 अंक कम मिले होते, तो उनके अंकों का गुणनफल 210 होता। उसके द्वारा दोनों विषयों में प्राप्त किए अंक ज्ञात कीजिए।[/su_note]
[su_label]हल : मान लीजिए, शेफाली के गणित में प्राप्त अंक = ????[/su_label]
∴ शेफाली के अंग्रेज़ी में प्राप्त अंक = 30 – ????
पहली शर्त के अनुसार,
शेफाली के गणित में अंक = ???? + 2
और शेफाली के अंग्रेज़ी में अंक = 30 – ???? – 3
= 27 – ????
∴ उनका गुणनफल = (???? + 2) (27 – ????)
= 27???? – ????2 + 54 – 2????
=-????2 + 25???? + 54
प्रश्न की दूसरी शर्त अनुसार,
– ????2 + 25???? + 54 = 210
या – ????2 + 25???? + 54 – 210 = 0
या – ????2 + 25???? – 156 = 0
या ????2 – 25x + 156 = 0
इसकी तुलना α????2– + b???? + c = 0 से करने पर,
∴ α = 1, b = – 25, c = 156
अब, b2 – 4αc = (-25)2 – 4 x 1 x 156
= 625 – 624
= 1 > 0
∴
और 
और 
= 13 और 12
स्थिति I.
जब x = 13
तब शेफाली के गणित में अंक = 13
तथा शेफाली के अंग्रेजी में अंक = 30 – 13 = 17
स्थिति II.
जब x = 12
तब शेफाली के गणित में अंक = 12
शेफाली के अंग्रेज़ी में अंक = 30 – 12 = 18
अतः, शेफाली के दो विषयों में अंक हैं : 13 और 17 या 12 और 18
[su_note]प्रश्न 6. एक आयताकार खेत का विकर्ण उसकी छोटी भुजा से 60 m अधिक लंबा है। यदि बड़ी भुजा छोटी भुजा से 30 m अधिक लंबी हो, तो खेत की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।[/su_note]
[su_label]हल : मान लीजिए आयताकर खेत की छोटी भुजा[/su_label]
= AD = ???? m
आयताकार खेत की लंबी भुजा = AB = (???? + 30) m
और आयताकार खेत का विकर्ण
= DB = (???? + 60) m
अब समकोण त्रिभुज DAB में,
पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करने पर,
(DB)2 = (AD)2 + (AB)2
(????2 + 60)2 = (????)2 + (???? + 30)2
या ????2 + 3600 + 120????
= ????2 + ????2 + 900 + 60????
या ????2 + 3600 + 120???? – 2????2 – 900 – 60???? = 0
या – ????2 + 60???? + 2700 = 0
????2 – 60x – 2700 = 0
इसकी तुलना α????2 + b???? + c = 0 से करने पर,
∴ α = 1, b = – 60, c = – 2700
और b2 – 4αc = (- 60)2 – 4 . 1 . (- 2700)
= 3600 + 10800
= 14400 > 0
∴
और 
और 
= 90 और – 30
∵ किसी भी भुजा की लंबाई ऋणात्मक नहीं होती।
इसलिए हम ???? = – 30 को छोड़ देते हैं।
∴ ???? = 90
अतः आयताकार खेत की छोटी भुजा
= 90 m
आयताकार खेत की लंबी भुजा
= (90 + 30) m
= 120 m Ans.
[su_note]प्रश्न 7. दो संख्याओं के वर्गों का अंतर 180 है। छोटी संख्या का वर्ग बड़ी संख्या का आठ गुना है। दोनों संख्याएँ ज्ञात कीजिए।[/su_note]
[su_label]हल : मान लीजिए, बड़ी संख्या = ????[/su_label]
छोटी संख्या = y
प्रश्न की पहली शर्त अनुसार,
????2 – y2 = 180 …. (1)
प्रश्न की दूसरी शर्त अनुसार
y2 = 8???? …. (2)
(1) और (2) से हम प्राप्त करते हैं,
????2 – 8???? = 180
या ????2 – 8???? – 180 = 0
इसकी तुलना α????2 + b???? + c = 0 से करने पर,
∴ α = 1, b = – 8, c = – 180
और b2 – 4αc = (- 8)2 – 4 x 1 x (- 180)
= 64 + 720
= 784 > 0
∴
और 
और 
= 18 और – 10
जब ???? = – 10 तो, (2) से
y2 = 8 (- 10) = – 80, जोकि संभव नहीं है।
इसलिए हम ???? = – 10 को छोड़ देते हैं।
जब ???? = 18, तो (2) से,
y2 = 8 (18) = 144
या y = ±√144
या y = ± 12
अतः अभीष्ट संख्याएं 18 और 12
या 18 और – 12 हैं। उत्तर
[su_note]प्रश्न 8. एक रेलगाड़ी एक समान चाल से 360 km की दूरी तय करती है। यदि यह चाल 5 km/h अधिक होती, तो वह उसी यात्रा के लिए 1 घंटा कम समय लेती। रेलगाड़ी की चाल ज्ञात कीजिए।[/su_note]
[su_label]हल : मान लीजिए रेलगाड़ी की एक समान चाल = ???? km/h[/su_label]
रेलगाड़ी द्वारा तय की गई दूरी = 360 km
रेलगाड़ी द्वारा लिया गया समय = दूरी/चाल
(∵ चाल = दूरी/चाल)
घंटे
रेलगाड़ी की बढ़ी हुई चाल = (???? + 5) km/h
∴ बढ़ी हुई चाल से रेलगाड़ी द्वारा लिया गया समय
घंटे
प्रश्न अनुसार,
या 
या 
या 1800 = ????2 + 5????
या ????2 + 5???? – 1800 = 0
इसकी तुलना α????2 + b???? + c = 0 से करने पर,
∴ α = 1, b = 5, c = – 1800
और b2 – 4αc = (5)2 – 4 x 1 x (- 1800)
= 25 + 7200
= 7225 > 0
∴
और 
और 
= 40 और – 45
∵ किसी रेलगाड़ी की चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती।
इसलिए, हम ???? = – 45 को छोड़ देते हैं।
∴ ???? = 40
अतः रेलगाड़ी की चाल = 40 km/h
[su_note]प्रश्न 9. दो पानी के नल एक-साथ एक हौज को 
घंटों में भर सकते हैं। बड़े व्यास का नल हौज को भरने में, कम व्यास वाले नल से 10 घंटे कम समय लेता है। प्रत्येक द्वारा अलग से हौज को भरने के लिए लिया समय ज्ञात कीजिए।[/su_note]
[su_label]हल : मान लीजिए, बड़े व्यास वाले नल द्वारा हौज को भरने में लिया समय = ???? घंटे[/su_label]
छोटे नल द्वारा हौज भरने में लिया समय = (???? + 10) घंटे
एक घंटे की स्थिति में,
बड़ा नल हौज भर सकता है 
छोटा नल हौज भर सकता है 
∴ बड़ा और छोटा दोनों नल हौज को भरते हैं 
…..(1)
परंतु दोनों नल एक साथ हौज भरने में समय लेते हैं
घंटे 
अब, दोनों नल एक साथ एक घंटे में हौज भर सकते हैं 
…..(2)
(1) और (2) से हम प्राप्त करते हैं,
या 
या 
या 75(2???? + 10) = 8 (????2 + 10????)
या 150???? + 750 = 8????2 + 80????
या 8????2 + 80???? – 150x – 750 = 0
या 8????2 – 70???? – 750 = 0
या 4????2 – 35???? – 375 = 0
इसकी तुलना α????2 + b???? + c = 0 से करने पर,
α = 4, b = – 35, c = – 375
और b2 – 4αc = (- 35)2 – 4 x 4 x (-375)
= 1225 + 6000
= 7225 > 0
∴
और 
और 
= 15 और 
∵ समय ऋणात्मक नहीं हो सकता।
इसलिए, हम 
छोड़ देते हैं
∴ ???? = 15
अतः बड़े नल द्वारा हौज भरने के लिए लिया गया समय
= 15 घंटे
और छोटे नल द्वारा हौज भरने के लिए लिया गया समय
= (15 + 10) घंटे
= 25 घंटे उत्तर
[su_note]प्रश्न 10. मैसूर और बैंगलोर के बीच के 132 km की यात्रा करने में एक एक्सप्रेस रेलगाड़ी, सवारी गाड़ी से 1 घंटा समय कम लेती है (मध्य के स्टेशनों पर ठहरने का समय ध्यान में न लिया जाए)। यदि एक्सप्रेस रेलगाड़ी की औसत चाल, सवारी गाड़ी की औसत चाल से 11 km/h अधिक हो, तो दोनों रेलगाड़ियों की औसत चाल ज्ञात कीजिए।[/su_note]
[su_label]हल : मान लीजिए सवारी गाड़ी का औसत चाल[/su_label]
= x km/h
एक्सप्रेस रेलगाड़ी की औसत चाल
= (x + 11) km/h
मैसूर और बैंगलोर के बीच की दूरी
= 132 km
सवारी गाड़ी द्वारा लिया गया समय 
घंटे
∵ चाल = दूरी/समय
एक्सप्रेस रेलगाड़ी द्वारा लिया गया समय
घंटे
प्रश्न अनुसार,
या 
या 
या 1452 = ????2 + 11
या ????2 + 11???? – 1452 = 0
इसकी तुलना α????2 + b???? + c = 0 से करने पर,
α = 1, b = 11, c = – 1452
और b2 – 4αc = (11)2 – 4 x 1 x (- 1452)
= 121 + 5808
= 5929 > 0
∴
और 
और 
= 33 और – 44
∵ रेलगाड़ी की चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती
∴ ???? = 33
अतः, सवारी गाड़ी की औसत चाल
= 33 km/h
और एक्सप्रेस रेलगाड़ी की औसत चाल
= (33 + 11) km/h
= 44 km/h
[su_note]प्रश्न 11. दो वर्गों के क्षेत्रफलों का योग 468 m2 है। यदि उनके परिमापों का अंतर 24 m हो, तो दोनों वर्गों की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।[/su_note]
[su_label]हल : पहले बड़े वर्ग की स्थिति में[/su_label]
मान लीजिए वर्ग की भुजा की लंबाई
= ???? m
वर्ग का क्षेत्रफल = ????2 m2
वर्ग का परिमाप = 4???? m
छोटे वर्ग की स्थिति में
मान लीजिए वर्ग की भुजा की लंबाई
= y m
वर्ग का क्षेत्रफल = y2 m2
वर्ग का परिमाप = 4y m
प्रश्न की पहली शर्त के अनुसार,
????2 + y????2 = 468 ….(1)
दूसरी शर्त के अनुसार,
4???? – 4y = 24
या 4 (???? – y) = 24
या ???? – y = 6
या ???? = 6 + y ….(2)
(1) और (2) से हम प्राप्त करते हैं,
(6 + y)2 + y2 = 468
या 36 + y2 + 12y + y2 = 468
या 2y2 + 12y + 36 – 468 = 0
या 2y2 + 12y – 432 = 0
या y2 + 6y – 216 = 0
इसकी तुलना αy2 + by + c = 0 से करने पर,
α = 1, b = 6, c = – 216
और b2 – 4αc = (6)2 – 4 x 1 x (- 216)
= 36 + 864
= 900 > 0
∴
और 
और 
= 12 और – 18
∵ वर्ग की भुजा की लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती।
इसलिए हम y = – 18 को छोड़ देते हैं।
∴ y = 12
(2) से, ???? = 6 + 12 = 18
अतः, दो वर्गों की भुजाएँ 12 m और 18 m हैं उत्तर
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