Class 9 Mathematics दो चरों वाले रैखिक समीकरण (प्रश्नावली 4.3)1. दो चरों वाले निम्नलिखित रैखिक समीकरणों में से प्रत्येक का आलेख खींचिए :
(i) ???? + y = 4
(ii) ???? – y = 2
(iii) y = 3????
(iv) 3 = 2???? + y
(i) ???? + y = 4
(ii) ???? – y = 2
(iii) y = 3????
(iv) 3 = 2???? + y
हल : (i) ???? + y = 4
⇒ y = 4 – ????
???? के मानों के संगत y के मानों को दर्शाती सारणी इस प्रकार है :
| x | 0 | 2 | 4 |
| y | 4 | 2 | 0 |
| (x, y) | A (0,4) | B (2, 2) | C (4, 0) |
बिंदुओं A (0, 4), B (2, 2) और C (4,0) को आलेख कागज़ पर आलेखित कीजिए। इन बिंदुओं को मिलाइए और रेखा प्राप्त कीजिए।
पैमाना :
X-अक्ष पर :
5 भाग = 1 एकक
Y-अक्ष पर :
5 भाग = 1 एकक
(ii) ???? – y = 2
⇒ – y = 2 – ????
या y = ???? – 2
???? के मानों के संगत y के मानों को दर्शाती सारणी इस प्रकार है :
| x | 0 | 1 | 2 |
| y | – 2 | – 1 | 0 |
| (x, y) | P (0,-2) | Q (1, – 1) | R (2, 0) |
बिंदुओं P (0, -2), Q (1, -1) और R (2, 0) आलेख कागज़ पर आलेखित कीजिए। इन बिंदुओं को मिलाइए और रेखा प्राप्त कीजिए।
पैमाना :
X – अक्ष पर :
5 भाग = 1 एकक
Y – अक्ष पर :
5 भाग = 1 एकक
(iii) y = 3????
???? के मानों के संगत y के मानों को दर्शाती सारणी इस प्रकार है –
| x | -1 | 0 | 1 |
| y | – 3 | 0 | 3 |
| (x, y) | P (-1,-3) | Q (0, 0) | R (1, 3) |
बिंदुओं P (-1, -3), Q (0, 0) और R (1, 3) को आलेख कागज़ पर आलेखित कीजिए। इन बिंदुओं को मिलाइए और रेखा प्राप्त कीजिए।
पैमाना :
X-अक्ष पर :
5 भाग = 1 एकक
Y-अक्ष पर :
5 भाग = 1 एकक
(iv) 3 = 2???? + y
→ 3 – 2???? = y
या y = 3 – 2
???? के मानों के संगत y के मानों को दर्शाती सारणी इस प्रकार है :
| x | 0 | 1 | 2 |
| y | 3 | 1 | -1 |
| (x, y) | L (0,3) | M (1, 1) | N (2, -1) |
बिंदुओं L (0, 3), M (1, 1) और N (2, -1) को आलेख कागज पर आलेखित कीजिए। इन बिंदुओं को मिलाइए और रेखा प्राप्त कीजिए।
पैमाना :
X-अक्ष पर :
5 भाग = 1 एकक
Y-अक्ष पर :
5 भाग = 1 एकक
हल : हम जानते हैं कि एक बिंदु में से असीमित रूप से अनेक रेखाएँ खींची जा सकती हैं। इनमें से कोई दो रैखिक समीकरण जो बिंदु (2, 14) द्वारा संतुष्ट होते हैं। निम्न अनुसार हैं :
मान लीजिए ???? और y में रैखिक समीकरण में α???? + by = c बिंदु (2, 14) द्वारा संतुष्ट होता है।
अतः, बिंदु (2, 14) इस पर स्थित हैं।
∴ 2α + 14b = c
समीकरण में c का मान भरने पर, हमें प्राप्त होता है।
α???? + by = 2α + 14b
⇒ α(???? – 2) + b(y – 14) = 0
⇒ b(y – 14) = – α(???? – 2)
⇒ 
α और b के विभिन्न मानों का प्रयोग करके हम अभीष्ट अनेक समीकरण प्राप्त कर सकते हैं।
यदि α = 2, b = 1
तो 
⇒ y – 14 = – 2???? + 4
⇒ 2???? + y = 18
यदि α = 7, b = – 1
तो 
⇒ y – 14 = 7???? – 14
⇒ 7???? – y = 0
हल : यह दिया है कि बिंदु (3, 4) निम्नलिखित आलेख पर स्थित हैं:
3y = α???? + 7
अतः, बिंदु (3, 4) इस समीकरण को संतुष्ट करता है।
∴ 3 x 4 = α x 3 + 7
⇒ 12 = 3α + 7
⇒ 12 – 7 = 3α
⇒ 5 = 3α
या 3α = 5
⇒ 
अतः, α का अभीष्ट मान 
है।
स्पष्टीकरण : दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
⇒ 9y = 5???? + 21
⇒ 
???? के मानों के संगत y के मानों को दर्शाती सारणी निम्न अनुसार है :
| ???? | -6 | 12 | 3 |
| y | -1 | 9 | 4 |
| (????,y) | P(-6, -1) | Q(12,9) | R(3,4) |
बिंदुओं P(-6, -1) और Q (12, 9) को आलेख पेपर पर आलेखित कीजिए। इन बिंदुओं को मिलाइए और एक रेखा प्राप्त कीजिए। आलेख से हम देखते हैं कि बिंदु (3,4) रेखा पर स्थित हैं। अतः, यह समीकरण
को संतुष्ट करता है।
अतः, α का प्राप्त किया गया मान सही है।
पैमाना :
X-अक्ष पर :
5 भाग = 2 एकक
Y-अक्ष पर :
5 भाग = 1 एकक
पहले किलोमीटर का किराया ₹ 8 है और उसके बाद की दूरी के लिए प्रति किलोमीटर का किराया ₹ 5 है। यदि तय की गई दूरी ₹ किलोमीटर हो, और कुल किराया ₹ y हो, तो इसका एक रैखिक समीकरण लिखिए और उसका आलेख खींचिए।
हल :तय की गई कुल दूरी ???? लेने पर
पहले किमी का किराया = ₹ 8
पहले किलोमीटर के बाद के प्रत्येक किमी
का किराया = ₹ 5
कुल किराया = ₹ y
∴ ₹ 8 + ₹ 5 (???? – 1) = ₹ y
⇒ 8 + 5 (???? – 1) = y
⇒ 8 + 5???? – 5 = y
⇒ 5???? + 3 = y
⇒ 5???? – y + 3 = 0 …(1)
यह दी गई सूचना का एक रैखिक समीकरण है।
समीकरण (1) का आलेख खींचने के लिए ???? के मानों के संगत y के मानों की दर्शाती समीकरण निम्न अनुसार है :
| ???? | 1 | 2 | 0 |
| y | 8 | 13 | 3 |
| (????,y) | P(1,8) | Q(2,13) | R(0,3) |
बिंदुओं P(1, 8) और Q (2, 13) को ग्राफ पेपर पर आलेखित कीजिए। इन बिंदुओं को मिलाइए और रेखा प्राप्त कीजिए।
पैमाना :
X – अक्ष पर :
5 भाग = 1 किमी
Y – अक्ष पर :
5 भाग = ₹ 1
आकृति (क) के लिए आकृति (ख) के लिए
(i) y = ???? (i) y = ???? + 2
(ii) ???? + y = 0 (ii) y = ???? – 2
(iii) y = 2???? (iii) y = – ???? + 2
(iv) 2 + 3y = 7???? (iv) ???? + 2y = 6
आकृति (क)
आकृति (ख)
हल : आलेख (क) पर स्थित प्रत्येक बिंदु समीकरण (ii) ???? + y = 0 को संतुष्ट करता है।
अतः, आलेख (क) के लिए चारों समीकरणों में से सही समीकरण है:
???? + y = 0
∴ ???? + y = 0
⇒ y = – ????
???? = 0 के लिए y = 0
???? = 1 के लिए y = – 1
???? = – 1 के लिए y = 1
अब आलेख (ख) का प्रत्येक बिंदु समीकरण (iii) y = – ???? + 2 में संतुष्ट है।
अतः, आलेख (ख) के लिए चारों समीकरणों में से सही समीकरण है :
y = – ???? + 2
∵ y = – ???? + 2 में
???? = 2 के लिए y = – 2 + 2
⇒ y = 0
???? = 0 के लिए y = – 0 = 2
⇒ y = 2
???? = – 1 के लिए y = – (-1) + 2
⇒ y = 1 + 2
⇒ y = 3
(i) 2 मात्रक (ii) 0 मात्रक
हो, तो आलेख से किया हुआ कार्य ज्ञात कीजिए।
हल : मान लीजिए स्थिर बल (माना k मात्रक) द्वारा किया गया कार्य y मात्रक है। और पिंड द्वारा तय की गई दूरी ???? मात्रक है।
हम जानते हैं कि बल द्वारा किया गया कार्य पिंड द्वारा तय की गई दूरी के अनुक्रमानुपाती होता है।
अनुपात और समानुपात से, हम इस तथ्य को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं :
y = k????
k = 5 मात्रक लेने पर
y = 5???? ..(1)
जो कि दो चरों में रैखिक समीकरण है। समीकरण (1) का आलेख खींचने के लिए; ???? के मानों के संगत y के मानों को दर्शाती सारणी निम्न अनुसार है :
| ???? | 1/2 | 1 | 3 |
| y | 5/2 | 5 | 15 |
| (????,y) | P(1/2,5/2) | Q(1,5) | R(3,15) |
बिंदुओं P(1/2, 5/2), Q (1, 5) और R(3, 15) को ग्राफ पेपर पर आलेखित कीजिए। इन बिंदुओं को मिलाइए और रेखा प्राप्त कीजिए।
पैमाना : X-अक्ष पर :
5 भाग = 1 मात्रक तय की गई दूरी
Y – अक्ष पर :
5 भाग = 1 मात्रक किया गया कार्य।
आलेख से हम देखते हैं कि
(i) जब ???? = 2 मात्रक, तो y = 10 मात्रक
अतः जब पिंड द्वारा तय की गई दूरी 2 मात्रक हो, तो किया गया कार्य 10 मात्रक है।
(ii) जब ???? = 0 मात्रक
तब y = 0 मात्रक
अतः, जब कोई दूरी तय न की गई हो तब कोई कार्य नहीं होता।
हल : मान लीजिए यामिनी ने ₹ ???? और फातिमा ने ₹ y प्रधानमंत्री राहत कोष में अंशदान दिया
दोनों का कुल अंशदान = ₹ 100
⇒ ???? + y = 100 …(1)
जो कि दो चरों में एक रैखिक समीकरण है।
समीकरण (1) का आलेख खींचने के लिए हम x के मानों के संगत के मानों को दर्शाती सारणी खींचते हैं।
| ???? | 40 | 50 | 70 |
| y | 60 | 50 | 30 |
| (????,y) | P(40,60) | Q(50,50) | R(70,30) |
बिंदुओं P (40, 60), Q(50, 50) और P(70, 30) को ग्राफ पेपर पर आलेखित कीजिए। इन बिंदुओं को मिलाइए और रेखा प्राप्त कीजिए।
(i) सेल्सियस को ????-अक्ष और फारेनहाइट को y – अक्ष मानकर ऊपर दिए गए रैखिक समीकरण का आलेख खींचिए। (ii) यदि तापमान 30°C है, तो फारेनहाइट में तापमान क्या होगा?
(iii) यदि तापमान 95°F है, तो सेल्सियस में तापमान क्या होगा ?
(iv) यदि तापमान 0°C है, तो फारेनहाइट में तापमान क्या होगा और यदि तापमान 0°F है, तो सेल्सियस में तापमान क्या होगा ?
(v) क्या ऐसा भी कोई तापमान है जो फारेनहाइट और सेल्सियस दोनों के लिए संख्यात्मकतः समान है। यदि हाँ, तो उसे ज्ञात कीजिए।
हल : दो चरों °F और °C में रैखिक समीकरण है : …. (1)
समीकरण (1) का आलेख खींचने के लिए हम C के संगत F के मानों को दर्शाती सारणी खींचते हैं।
| C | 0 | – 20 | – 40 |
| F | 32 | – 4 | – 40 |
| (C,F) | (0,32) | (-20,-4) | (-40,- 40) |
बिंदुओं (0, 32) और (-20, -4) को ग्राफ पेपर पर आलेखित कीजिए।
इन बिंदुओं को मिलाइए और रेखा प्राप्त कीजिए।
(ii) आलेख से, यदि तापमान 30°C है, तो फारेनहाइट में तापमान 86°F है।
(iii) आलेख से, यदि तापमान 95°F है, तो सेल्सियस में यह 35°C है।
(iv) आलेख से, यदि तापमान 0°C हो, तो फारेनहाइट में 32°F है। यदि तापमान 0°F हो, तो सेल्सियस में यह तापमान -17.8°C (लगभग) है।
(v) हाँ, ऐसा भी तापमान है जो फारेनहाइट और सेल्सियस दोनों के लिए संख्यात्मकत: समान है। आलेख से हम देखते हैं कि बिंदु (-40, -40) रेखा पर स्थित है। अतः, -40 (दोनों F और C पर) संख्यात्मकतः समान तापमान है।
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