Class 9 Mathematics दो चरों वाले रैखिक समीकरण (प्रश्नावली 4.2)
y = 3???? + 5 का
(i) एक अद्वितीय हल है।
(ii) केवल दो हल हैं।
(iii) अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।
हल : कथन (iii) सत्य है। क्योंकि ????, के प्रत्येक मान के लिए, y का एक संगत मान होता है और विलोमतः भी।
जाँच-पड़ताल :
मान लीजिए कि
(i) ???? = 0 तो y = 3 x 0 + 5
⇒ y = 0 + 5
⇒ y = 5
इसलिए ???? = 0, y = 5 एक हल है।
(ii) ???? = 1; तो y = 3 x 1 + 5
⇒ y = 3 + 5
⇒ y = 8
इसलिए ???? = 1, y = 8 भी एक हल है।
(iii) ???? = – 2 तो y = 3 (-2) + 5
⇒ y = – 6 + 5
⇒ y = – 1
इसलिए ???? = – 2, y = – 1 भी एक हल है।
इसी प्रकार (???? या y) के मान प्रतिस्थापित करके उसके संगत y (या ????) का मान ज्ञात करके हम दी गई समीकरण के अपरिमित रूप से अनेक हल प्राप्त कर सकते हैं।
(i) 2???? + y = 7
(ii) ???????? + y = 9
(iii) ???? = 4y
हल : (i) 2???? + y = 7
हम समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं :
y = 7 – 2????
जब ???? = 0 ;
y = 7 – 2 x 0 ⇒ y = 7 – 0 ⇒ y = 7
जब ???? = 1;
y = 7 – 2 x 1 ⇒ y = 7 – 2 ⇒ y = 5
जब ???? = 2;
y = 7 – 2 x 2 ⇒ y = 7 – 4 ⇒ y = 3
जब ???? = – 1;
y = 7 – 2 ( – 1) ⇒ y = 7 + 2 ⇒ y = 9
अत:, समीकरण 2???? + y = 7 के अपरिमित रूप से अनेक हलों में चार हल ये हैं :
(0, 7), (1, 5), (2, 3) और (-1, 9)
(ii) ???????? + y = 9
हम इस समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं :
y = 9 – ????????
जब 1 = 0;
y = 9 – ???? 0 ⇒ y = 9
जब ???? = 2,
y = 9 – 2????
जब 
y = 9 – 9 ⇒ y = 0
जब ???? = – 1;
y = 9 – (- 1) ???? ⇒ y = 9 + ????
अतः समीकरण ???????? + y = 9 के अपरिमित रूप से अनेक हलों में से चार हल ये हैं :
(0, 9), (2,9-2????), 
और (-1, 9 + ????).
(iii) ???? = 4y हम इस समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं
जब 
जब ???? = 0, 
जब ???? = 1
जब 
जब 
अतः, समीकरण ???? = 4y के अपरिमित रूप से अनेक हलों में से चार हल ये हैं : 
(4, 1) (-4, – 1).
(i) (0, 2) (ii) (2, 0)
(iii) (4, 0) (iv) (2,42)
(v) (1, 1).
हल : (i) समीकरण ???? – 2y = 4 में ???? = 0 और y = 2 प्रतिस्थापित कीजिए।
L.H.S. = ???? – 2y
= 0 – 2 x 2
= 0 – 4
= – 4
R.H.S. = 4
स्पष्टतया L.H.S. ≠ R.H.S.
∴ ???? = 0 और y = 2 समीकरण ???? – 2y = 4 का हल नहीं है।
(ii) समीकरण ???? – 2y = 4 में ???? = 2 और y = 0 प्रतिस्थापित कीजिए।
L.H.S. = ???? – 2
= 2 – 2 (0)
= 2 – 0
= 2
R.H.S. = 4
स्पष्टतया L.H.S. ≠ R.H.S.
∴ ???? = 2 और y = 0 समीकरण ???? – 2 = 4 का हल नहीं है।
(iii) ???? – 2y = 4 में ???? = 4 और y = 0 प्रतिस्थापित कीजिए।
L.H.S. = ???? – 2y
= 4 – 2 x 0
= 4 – 0
= 4
R.H.S. = 4
स्पष्टतया L.H.S. ≠ R.H.S.
∴ ???? = 4 और y = 0 समीकरण ???? – 2y = 4 का हल है।
(iv) समीकरण – 2y = 4 में ???? = √2
और y = 4√5 को प्रतिस्थापित कीजिए।
L.H.S. = ???? – 2y = √2 – 2×4√2
= √2 – 8√2
= – 7√2
R.H.S. = 4
∴ L.H.S. ≠ R.H.S.
∴ ???? = √2, y = 4√2 समीकरण ???? – 2y = 4 का हल नहीं है।
(v) समीकरण ???? – 2y = 4 में ???? = 1, y = 1 प्रतिस्थापित कीजिए
L.H.S. = ???? – 2y = 1 – 2 x 1
= 1 – 2
= – 1
R.H.S. = 4
स्पष्टतया L.H.S. ≠ R.H.S.
∴ ???? = 1, y = 1 समीकरण ???? – 2y = 4 का हल नहीं है।
हल : यदि ???? = 2, y = 1 समीकरण
2???? + 3y = k, का हल हो, तो यह निश्चय ही समीकरण को संतुष्ट करता है।
∴ 2 x 2 + 3 x 1 = k
(???? = 2, y = 1 को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर)
⇒ 4 + 3 = k
⇒ 7 = k
या k = 7
अतः k का अभीष्ट मान 7 है।
Class 9 Mathematics दो चरों वाले रैखिक समीकरण Ex 4.1
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Class 9 Mathematics दो चरों वाले रैखिक समीकरण Ex 4.4