Class 9 Maths Chapter 2 – बहुपद

Class 9 Mathematics बहुपद (प्रश्नावली 2.4)

हल : (i) मान लीजिए : p(????) = ????³ + ????² + ???? + 1
???? = – 1 को p(????) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
p(- 1) = (- 1)³ + (- 1)² + (- 1) + 1
= – 1 + 1 – 1 + 1 = 0
अतः, गुणनखंड प्रमेय द्वारा ???? + 1 बहुपद ????³ + ????² + ???? + 1 का एक गुणनखंड है।

(ii) मान लीजिए p(????) = ????⁴ + ????³ + ????² + ???? + 1
???? = – 1 को p(????) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
p(- 1) = (- 1)⁴ + (- 1)³ + (- 1)² + (- 1) + 1
= 1 – 1 + 1 – 1 + 1
= 1 ≠ 0
अतः, गुणनखंड प्रमेय द्वारा ???? + 1 बहुपद ????⁴ + ????³ + ????² + ???? + 1 का एक गुणनखंड नहीं है।

(iii) मान लीजिए।
p(????) = ????⁴ + 3????³ + 3????² + ???? + 1
???? = – 1 को p(????) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
p(- 1) = (- 1)⁴ + 3(- 1)³ + 3(- 1)² + (- 1) + 1
= 1 – 3 + 3 – 1 + 1
= 1 ≠ 0
अतः, गुणनखंड प्रमेय द्वारा ???? + 1 बहुपद ????⁴ + 3????³ + 3????² + ???? + 1 का गुणनखंड नहीं है।

(iv) ????³ – ????² (2 + √2) ???? + √2
???? = – 1 को p(????) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
p(- 1) = (- 1)³ – (- 1)² – (2 + √2) (- 1) + √2
= – 1 – 1 + 2 + √2 + √2
= 2√2 ≠ 0
अतः, गुणनखंड प्रमेय द्वारा ???? + 1 बहुपद ????³ – ????² – (2 + √2) √ का गुणनखंड नहीं है।

हल : (i) हमें प्राप्त है ।
p(????) = 2????³ + ????² – 2 – 1
और भाजक
g(????) = ???? + 1
(???? + 1) = 0 लीजिए ⇒ ???? = – 1
???? = – 1 को p(????), में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
p(- 1) = 2 (- 1)³ + (- 1)² – 2(- 1) – 1
= – 2 + 1 + 2 – 1 = 0
अतः, गुणनखंड प्रमेय द्वारा ???? + 1 अर्थात् g(????) बहुपद 2????³ + ????² – 2x – 1 का गुणनखंड है।

(ii) हमें प्राप्त है :
p(????) = ????³ + 3????² + 3???? + 1
और भाजक
g(????) = ???? + 2
???? + 2 = 0 लीजिए
⇒ ???? = – 2
???? = – 2 को p(????) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
p(-2) = (-2)³ + 3(-2)² + 3(-2) + 1
= – 8 + 12 – 6 + 1
= – 1 ≠ 0
अतः, गुणनखंड प्रमेय द्वारा x + 2 अर्थात् g(????) बहुपद x³ + 3x² + 3???? + 1 का गुणनखंड नहीं है।

(iii) हमें प्राप्त है :
p(????) = ????³ – 4????² + ???? + 6
और भाजक
g(????) = ???? – 3
???? – 3 = 0 लीजिए।
⇒ ???? = 3
???? = 3 को p(????), में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
p(3) = (3)³ – 4(3)² + 3 + 6
= 27 – 36 + 3 + 6
= 36 – 36
= 0
अतः, गुणनखंड प्रमेय द्वारा ???? – 3, अर्थात् g(????) बहुपद ????³ – 4????² + ???? + 6 का गुणनखंड है।

हल : (i) क्योंकि ???? – 1 बहुपद
p(????) = ????² + ???? + k का गुणनखंड है।
∴ गुणनखंड प्रमेय द्वारा p(1) = 0
⇒ (1)² + 1 + k = 0
⇒ 1 + 1 + k = 0
⇒ 2 + k = 0
⇒ k = – 2

(ii) क्योंकि ???? – 1 बहुपद
p(????) = 2????² + k???? + √2 का गुणनखंड है।
∴ गुणनखंड प्रमेय द्वारा p(1) = 0
⇒ 2(1)² + k(1) + √2
⇒ 2 + k + √2 = 0
⇒ k = – 2 – √2
⇒ k = – (2 + √2)

(iii) क्योंकि ???? – 1 बहुपद
p(????) = k????² – √2x + 1 का गुणनखंड है।
∴ गुणनखंड प्रमेय द्वारा, p(1) = 0
⇒ k(1)² – √2(1) + 1 = 0
⇒ k – √2 + 1 = 0
⇒ k = √2 – 1

(iv) क्योंकि x – 1 बहुपद
p(????) = k????² – 3???? + k का गुणनखंड है।
∴ गुणनखंड प्रमेय द्वारा,
p(1) = 0
⇒ k (1)² – 3(1) + k = 0
⇒ k – 3 + k = 0
⇒ 2k = 3
⇒

हल : (i) 12????²-7???? + 1
= 12????² – 3???? – 4???? + 1
योग = – 3 – 4 = – 7] और गुणनफल
(-3)(-4) = 12
सिरों के पदों का गुणनफल
12 x 1 = 12
3???? (4???? – 1) – 1(4???? – 1) = (4???? – 1) (3???? – 1)
⇒ 12????²-7???? + 1 = (4???? – 1) (3???? – 1)

(ii) 2????² + 7???? + 3
= 2????² + 6???? + ???? + 3
= 2???? (???? + 3) + 1 (???? + 3)
= (???? + 3)(2???? + 1)

(iii) 6????² + 5???? – 6
= 6????2 + 9???? – 4???? – 6
= 3???? (2???? + 3) – 2 (2???? + 3)
= (2???? + 3)(3???? – 2)

(iv) 3????² – ???? – 4
= 3????² – 4x + 3???? – 4
= ???? (3???? – 4) + 1(3???? – 4)
= (3???? – 4) (???? + 1)

हल : (i) हमें प्राप्त है : ????² – 2????² – ???? + 2
आइए दी हुई बहुपद को p(????) से निरूपित करें :
इसलिए, p(????) = ????³ – 2????² – ???? – 2
– 2 के सभी गुणनखंड हैं ± 1, ± 2
निरीक्षण द्वारा
p(-1) = (-1)³ – 2(-1)² – (-1) + 2
= – 1 – 2 + 1 + 2
⇒ p(-1) = 0
इसलिए गुणनखंड प्रमेय से (x + 1) बहुपद p(x) का एक गुणनखंड है। अब p(????) को (???? + 1) से भाग कीजिए :

अतः ????³ – 2????² – x + 2 = (x – 1) (????² – 3x + 2)
अब ????² – 3???? + 2 के गुणनखंड मध्य वाले पद को दो भागों में बाँटकर या गुणनखंड प्रमेय का प्रयोग करके प्राप्त कर सकते हैं :
मध्य के पद को दो भागों में बाँटने पर
हमें प्राप्त है :
???? – 3???? + 2 = ????2 – ???? – 2???? + 2
= ????(???? – 1) – 2(???? – 1)
= (???? – 1) (???? – 2)
इसलिए, ????³ – 2????² – ???? + 2 = (???? + 1) (???? – 1) (???? -2)

(ii) आइए दी हुई बहुपद को p(????) से निरूपित करें :
p(????) = ????³ – 3????² – 9???? – 5
– 5 के सभी गुणनखंड हैं ± 1, ± 5
निरीक्षण द्वारा p(-1) = (-1)³ -3 (-1)² -9 (-1) – 5
= -1 – 3 + 9 – 5
= 9 – 9
= 0
इसलिए, गुणनखंड प्रमेय द्वारा ???? + 1 बहुपद p(x) का गुणनखंड है।
अब p(????) को ???? + 1 से भाग दीजिए।

अतः ????³ – 3????² – 9???? – 5 = (???? + 1) (????² – 4???? – 5)
मध्य पद को दो भागों में बाँटकर ????² – 4???? – 5 के गुणनखंड हैं :
????² – 4???? – 5 = ????² – 5???? + ² – 5
= ????(???? – 5) + 1(???? – 5)
= (???? – 5) (???? + 1)
इसलिए, ????³ – 3????² – 9???? – 5 = (???? + 1) (???? – 5) (???? + 1)
= (???? + 1) (???? + 1) (???? – 5)

(iii) आइए हम दी गई बहुपद को p(????) से निरूपित करें :
p(????) = ????³ + 13????² + 32???? + 20
20 के सभी गुणनखंड हैं।
± 1, ± 2, ± 4, ± 5, ± 10, ± 20
निरीक्षण द्वारा
p(-1) = (-1)³ + 13(-1)² + 32(-1) + 20
= – 1 + 13 – 32 + 20
= 33 – 33
⇒ p(-1) = 0
इसलिए, गुणनखंड प्रमेय द्वारा ???? + 1 बहुपद p(????) का गुणनखंड है। अब p(????) को (???? + 1) से भाग दीजिए :

अत: ????³ + 13????² + 32???? + 20 = (???? + 1) (????² + 12???? + 20)
????² + 12 + 20 के गुणनखंड मध्य के पद को दो भागों में बाँटने पर :
????² + 12???? + 20 = ???? + 2????² + 10???? + 20
???? = ????(???? + 2) + 10(???? + 2)
= (???? + 2) (???? + 10)
इसलिए, ????² + 13????² + 32 ???? + 20
= (x + 1) (x + 2) (x + 10)

(iv) आइए हम दी गई बहुपद को p(y) से निरूपित करें
p(y) = 2y³ + y² – 2y – 1
– 1 के गुणनखंड ± 1 हैं।
निरीक्षण द्वारा
p(1) = 2(1)³ + (1)² – 2(1) – 1
= 2 + 1 – 2 – 1
= 3 – 3
⇒ p(1) = 0
इसलिए गुणनखंड प्रमेय से ; y – 1 बहुपद p(y) का गुणनखंड है। अब p(y) को y – 1 से भाग दीजिए :

अतः 2y³ + y² – 2y²-1 = (y – 1) (2y²+3y+1)
2y² + 3y + 1 के गुणनखंड मध्य के पद को दो भागों में नीचे दिए अनुसार बाँटने पर;
2y² + 3y + 1 = 2y² + 2y + y + 1
= 2y(y + 1) + 1(y + 1)
= (y + 1) (2y + 1)
इसलिए, 2y² + y² – 2y – 1 = (y – 1) (y + 1) (2y + 1)

Class 9 Mathematics बहुपद Ex 2.1
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