Class 9 Mathematics बहुपद (प्रश्नावली 2.3)
(i) ???? + 1
(ii) ???? – 1/2
(iii) ????
(iv) ???? + ????
(v) 5 + 2????
हल : (i) मान लीजिए p(????) बहुपद ????3 + 3????2 + 3???? + 1 है और ???? + 1 भाजक है। लंबे भाग से शेषफल इस प्रकार है :
शेषफल 0 है।
वैकल्पिक विधि : हम शेषफल प्रमेय का प्रयोग करके शेषफल ज्ञात करते हैं।
मान लीजिए
p(????) = ????3 + 3????2 + 3???? + 1
जहाँ ???? + 1 भाजक है।
अब ???? + 1 = 0 लीजिए।
⇒ ???? = – 1
???? = – 1 को p(????) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
p (- 1) = (- 1)3 + 3 (- 1)2 + 3 (- 1) + 1
= – 1 + 3 – 3 + 1
⇒ p (- 1) = 0
अतः, शेषफल 0 है।
(ii) मान लीजिए p(????) = ????3 + 3????2 + 3???? + 1
जहाँ 
भाजक है।
शेषफल प्रमेय का प्रयोग करके शेषफल ज्ञात करते हैं।
अब 
लीजिए
⇒ 
को p(????) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है।
⇒ 
अतः, शेषफल 
है।
(iii) p(????) = 4????3 + 3????2 + 3???? + 1
जहाँ ???? भाजक है।
हम शेषफल प्रमेय का प्रयोग करके शेषफल ज्ञात करते हैं।
इसलिए ???? = 0 लीजिए
???? = 0 को p(????) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है
p(0) = (0)3 + 3(0)3 + 3(0) + 1
= 0 + 0 + 0 + 1
⇒ p(0) = 1
अतः शेषफल 1 है।
(iv) मान लीजिए p(????) = ????3 + 3????2 + 3???? + 1
जहाँ ???? + ???? भाजक है।
हम शेषफल प्रमेय का प्रयोग करके शेषफल ज्ञात करते हैं।
इसलिए हम ???? + ???? = 0 लेते हैं।
⇒ ???? = – ????
अब ???? = – ???? को p(????) में प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं :
p (- ????)
= (- ????)3 + 3(- ????)2 + 3(- ????) + 1
= – ????3 + 3????2 – 3???? + 1
अतः शेषफल है :
– ????3 + 3????2 – 3???? + 1
(v) मान लीजिए p(????) = ????3 + 3????2 + 3???? + 1
जहाँ भाजक 5 + 2x है :
हम शेषफल प्रमेय का प्रयोग करके शेषफल ज्ञात करते हैं :
इसलिए 5 + 2???? = 0 लेते हैं।
⇒ 
अब को p(????) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
अतः शेषफल 
है।
हल : मान लीजिए p(????) = ????3 – α????3 + 6???? – α
अब हम ???? – α = 0 लेते हैं।
⇒ ???? = α
???? = α को p(????) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
p(α) = α3 – α(α)2 + 6(α) – α
= α3 – α3 + 6α – α
= 5a
अतः शेषफल 54 है।
हल : जैसा कि आप जानते हैं कि 7 + 3???? बहुपद p(????) = 3????3 +7???? का गुणनखंड केवल तब होगा जब कि 7 + 3???? से p (????) को भाग देने पर कोई शेष न बचता हो।।
अब 7 + 3???? = 0 लेने पर हमें प्राप्त होता है :
⇒ 3???? = – 7
⇒ 
और 
∴ p(????) को 7 + 3???? से भाग देने पर प्राप्त शेषफल 0 नहीं है।
अतः 7 + 3???? दिए गए बहुपद का गुणनखंड नहीं है।
Class 9 Mathematics बहुपद Ex 2.1
Class 9 Mathematics बहुपद Ex 2.2
Class 9 Mathematics बहुपद Ex 2.3
Class 9 Mathematics बहुपद Ex 2.4
Class 9 Mathematics बहुपद Ex 2.5