Class 9 Mathematics बहुपद (प्रश्नावली 2.2)1. निम्नलिखित पर बहुपद 5x – 4x2 + 3 के मान ज्ञात कीजिए :
(i) x = 0
(ii) x = – 1
(iii) x = 2
(i) x = 0
(ii) x = – 1
(iii) x = 2
हल : (i) x = 0 पर बहुपद का मान है :
मान लीजिए p(x) = 5x – 4x2 + 3
p(0) = 5(0) – 4(0)2 + 3
= 0 – 0 + 3
= 3
(ii) x = – 1 पर बहुपद का मान है :
मान लीजिए p(x) = 5x – 4x2 + 3
p(-1) = 5 ( – 1) – 4 (- 1)2 + 3
= – 5 – 4 + 3 = – 6
(iii) x = 2 पर बहुपद का मान है :
मान लीजिए p(x) = 5x – 4x2 + 3
p(2) = 5(2) – 4(2)2 + 3
= 10 – 4 x 4 + 3
= 10 – 16 + 3
= – 3
(i) p(y) = y2 – y + 1
(ii) p(t) = 2 + t + 2t2 – t3
(iii) p(x) = x3
(iv) p(x) = (x – 1) (x + 1)
हल :
| (i) p(y) = y2 – y + 1 p(0) = (0)2 – 0 + 1 ⇒ p(0) = 1 (ii) p(t) = 2 + t + 2t2 – t3 p(0)=2+0+2(0)2-(0)3 ⇒ p(0) = 2 + 0 + 0 – 0 ⇒ p(0) = 2 ⇒ (iii) p(x) = x3 p(0) = (0)3 ⇒ p(0) = 0 (iv) p(x) = (x-1) (x+1) p(0) = (0-1) (0+1) ⇒ p(0) = (-1) (1) ⇒ p(0)= – 1 | p(1)=(1)2 – 1 + 1 ⇒ p(1) = 1 -1 + 1 ⇒ p(1) = 1 p(1)=2+1+2(1)2-(1)3 ⇒ p(1) = 2 + 1 + 2 – 1 p(1) = 4 p(1) = (1)3 ⇒ p(1) = 1 p(1) = (1-1) (1+1) ⇒ p(1) = 0 x 2 ⇒ p(1) = 0 | p(2)=(2)2 – 2 + 1 ⇒ p(2) = 4 – 2 + 1 ⇒ p(2) = 3 p(2)=2+2+2(2)2-(2)3 2 + 2 + 8 – 8 = 4 p(2) = (2)3 p(2) = 8 p(2) = (2-1) (2+1) ⇒ p(2) = 1 x 3 ⇒ p(2) = 3 |
(i)
(ii)
(iii) p(????) = ????2 – 1, ???? = 1, – 1
(iv) p(????) = (???? + 1), (???? – 2), ???? = – 1, 2
(v) p(x) = ????2, ???? = 0
(vi)
(vii)
(viii)
हल : (i) जहाँ को दी गई बहुपद में प्रतिस्थापित करें।
इसलिए, 
अतः, यह सत्यापित होता है कि 
बहुपद 3???? + 1 का एक शून्यक (zero) है
(ii) जहाँ p(x) = 5???? – ????
को दी गई बहुपद में प्रतिस्थापित करें इसलिए 
अतः, यह सत्यापित होता है कि 
बहुपद 5???? – ???? का शून्यक नहीं है।
(iii) जहाँ p(????) = ????2 – 1
???? = 1 को दी गई बहुपद में प्रतिस्थापित करें :
इसलिए, p(1) = (1)2 – 1 = 1 – 1
⇒ p(1) = 0
अतः ???? = 1 बहुपद ????2 – 1 का एक शून्यक है।
अब दी गई बहुपद में x = -1 को प्रतिस्थापित करें :
इसलिए, p (- 1) = (- 1)2 -1 = 1 – 1
⇒ p( – 1) = 0
अतः, x = -1 बहुपद ????2 – 1 का एक शून्यक है।
(iv) जहाँ p(????) = (???? + 1)(???? – 2)
???? = -1 को p(????) में प्रतिस्थापित करें :
इसलिए p (- 1) = (- 1 + 1)(- 1 – 2)
= 0(- 3) = 0
अतः यह सत्यापित होता है कि x = -1 बहुपद
(???? + 1) (???? – 2) का शून्यक है।
अब ???? = 2 को p(r) में प्रतिस्थापित करें :
इसलिए, p(2) = (2 + 1) (2 – 2)
= 3 x 0
⇒ p(2) = 0
अतः यह सत्यापित होता है कि ???? = 2 बहुपद
(x + 1) (???? – 2) का एक शून्यक है।
(v) जहाँ p(????) = ????2
इसलिए ???? = 0 को p(????) में प्रतिस्थापित करें :
इसलिए p(0) = (0)2
⇒ p(0) = 0 अतः, यह सत्यापित होता है कि ???? = 0 बहुपद ????2 का एक शून्यक है।
(vi) जहाँ p(????) = l???? + m
को p(????) में प्रतिस्थापित कीजिए
इसलिए; 
⇒ 
अतः यह सत्यापित होता है कि 
बहुपद l???? + m का एक शून्यक है।
(vii) जहाँ p(????) = 3????2 – 1
बहुपद p(????) में 
प्रतिस्थापित करें :
इसलिए, 
अतः, यह सत्यापित होता है कि 
बहुपद 3????2 – 1 का एक शून्यक है।
अब p(????) में 
प्रतिस्थापित करें :
इसलिए, 
अतः, यह सत्यापित होता है कि है 
बहुपद
3????2 – 1 का शून्यक नहीं है।
(viii) जहाँ p(????) = 2???? + 1
को दी गई बहुपद में प्रतिस्थिापित
करें। इसलिए, 
अतः, यह सत्यापित होता है कि 
बहुपद 2???? + 1 का शून्यक नहीं है।
(i) p(????) = ???? + 5
(ii) p(????) = ???? – 5
(iii) p(????) = 2???? + 5
(iv) p(????) = 3???? – 2
(v) p(????) = 3????
(vi) p(????) = α????, α ≠ 0
(vii) p(????) = c???? ≠ + d, c ≠ 0, c, d वास्तविक संख्याएँ हैं।
हल : (i) क्योंकि बहुपद p(????) का शून्यक ज्ञात करने का अर्थ है बहुपद समीकरण p(????) = 0 को हल करना।
हमें प्राप्त है ???? + 5 = 0
⇒ ???? = – 5
अतः, – 5 बहुपद ???? + 5 का शून्यक है।
(ii) क्योंकि बहुपद p(????) का शून्यक ज्ञात करने का अर्थ है बहुपद समीकरण p(????) = 0 को हल करना।
हमें प्राप्त है ? ???? – 5 = 0
⇒ ???? = 5
अतः, 5 बहुपद ???? – 5 का शून्यक है।
(iii) क्योंकि बहुपद p(????) का शून्यक ज्ञात करने का अर्थ है बहुपद समीकरण p(????) = 0 को हल करना।
हमें प्राप्त है। 2???? + 5 = 0
⇒ 2???? = – 5
⇒ 
अतः, 
बहुपद 2???? + 5 का शून्यक है।
(iv) क्योंकि बहुपद p(????) का शून्यक ज्ञात करने का अर्थ है बहुपद समीकरण p(????) = 0 को हल करना।
हमें प्राप्त है 3???? – 2 = 0
⇒ 3???? = 2
अतः, 
बहुपद 3???? – 2 का शून्यक है।
(v) क्योंकि बहुपद p(????) का शून्यक ज्ञात करने का अर्थ है बहुपद समीकरण p(????) = 0 को हल करना।
हमें प्राप्त है। 3???? = 0
⇒ 
⇒ = 0
अतः, 0 बहुपद 3???? का शून्यक है।
(vi) क्योंकि बहुपद p(????) का शून्यक ज्ञात करने का अर्थ है बहुपद समीकरण p(????) = 0 को हल करना।
हमें प्राप्त है α???? = 0
⇒ 
⇒ ???? = 0
अतः, 0 बहुपद शून्यक as का शून्य है।
(vii) क्योंकि बहुपद p(????) का शून्यक ज्ञात करने का अर्थ है बहुपद समीकरण p(????) = 0 को हल करना।
हमें प्राप्त है cx + d = 0
यहाँ c ≠ 0 तथा c, d वास्तविक संख्याएँ हैं।
⇒ c???? = – d
⇒ 
अतः, 
बहुपद c???? + d का शून्यक है।
Class 9 Mathematics बहुपद Ex 2.1
Class 9 Mathematics बहुपद Ex 2.2
Class 9 Mathematics बहुपद Ex 2.3
Class 9 Mathematics बहुपद Ex 2.4
Class 9 Mathematics बहुपद Ex 2.5