Class 10 Maths Chapter 5 Exercise 5.2 – समांतर श्रेढी

Class 10 Maths Chapter 5 Exercise 5.2 – समांतर श्रेढी

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 5 Arithmetic Progression Ex 5.2 – जो विद्यार्थी 10वीं कक्षा में पढ़ रहे है उनके लिए यहां पर एनसीईआरटी कक्षा 10 गणित अध्याय 5. (समांतर श्रेढी) प्रश्नावली 5.2 के लिए सलूशन दिया गया है. जोकि एक सरल भाषा में दिया है .ताकि विद्यार्थी को पढने में कोई दिक्कत न आए .इसकी मदद से आप अपनी परीक्षा में अछे अंक प्राप्त कर सकते है. इसलिए निचे आपको एनसीईआरटी समाधान कक्षा 10 गणित अध्याय 5 समांतर श्रेढी प्रश्नावली 5.2दिया गया है .

NCERT Solutions For Class 10th Maths समांतर श्रेढी (प्रश्नावली 5.2)

∵ α_n = α + (n – 1) d
∴ α₈ = 7 + (8 – 1) 3
= 7 + 21 = 28

∵ α_n = α + (n – 1)d
∴ α₁₀ = – 18 + (10 – 1) d
या 0 = – 18 + 9d
या 9d = 18
या

∵ α_n = α + (n – 1) d
∴ α₁₈ = α + (18 – 1) (- 3)
या – 5 = α – 51
या α = – 5 + 51 = 46

∵ α_n = α + (n – 1)d
∴ 3.6 = – 18. 9 + (n – 1) 2.5
या 3.6 + 18.9 = (n – 1) 2.5
या (n – 1) 2.5 = 22.5
या
या n = 9 + 1 = 10

∵ α_n = α + (n – 1) d
∴ α_n = 3.5 + (105 – 1) 0
α_n = 3.5 + 0 = 3.5

(i) AP : 10, 7, 4,……,का 30वाँ पद है :
(a) 97 (b) 77 (c) – 77 (d) – 87
(ii) का 11वाँ पद है :
(a) 28 (b) 22 (c) – 38 (d)

T₁ = 10, T₂ = 7, T₃ = 4
T₂ – T₁ = 7 – 10 = – 3
T₃ – T₂ = 4 – 7 = – 3
∵ T₂ – T₁ = T₃ – T₂ = -3 = d
∵ T_n = α + (n – 1) d
∴ T₃₀ = 10 + (30 – 1) (- 3)
= 10 – 87 = – 77
∴ सही उत्तर (c) है

∵ (माना)

∵ T_n = α + (n – 1) d

∴

= 22
∴ सही उत्तर (b) है।

(i) 2, ⬜, 26
(ii) ⬜, 13, ⬜,3
(iii) 5, ⬜, ⬜,
(iv) – 4, ⬜, ⬜, ⬜, 6
(v) 38, ⬜, ⬜, ⬜, – 22

और T₃ = α + 2d = 26
या 2 + 2d = 26
या 2d = 26 – 2 = 24
या = 24 = 12
∴ लुप्त पद = T₂ = α + d
= 2 + 12 = 14 उत्तर

और T₄ = α + 3d = 3 ….(1)
अब, (2) – (1) से प्राप्त होता है :
α + 3d – (α + d)
= 3 – 13
2d = – 10

d का यह मान (1), में प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं :
α – 5 = 13
α = 13 + 5 = 18
∴ T₁ = α = 18
T₃ = α + 2d = 18 + 2 (- 5)
= 18 – 10 = 8

और

या

या

या

या

= 5 + 3 = 8

T₆ = α + 5d = 6
या – 4 + 5d = 6
या 5d = 6 + 4
या 5d = 10

या

अब T₂ = α + d = – 4 + 2 = – 2
T₃ = α + 2d = – 4 + 2(2)
= – 4 + 4 = 0
T₄ = α + 3d = – 4 + 3(2)
= – 4 + 6 = 2
T₅ = α + 4d = – 4 + 4(2)
= – 4 + 8 = 4

और T₆ = α + 5d = – 22 …..(2)
अब, (2) – (1) से प्राप्त होता है :

– – –
4d = – 60

या

d का यह मान (1), में प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं :

α + (- 15) = 38
α = 38 + 15 = 53
∴ T₁ = α = 53
T₃ = α + 2d = 53 + 2 (- 15)
= 53 – 30 = 23
T₄ = α + 3d = 53 + 3 (- 15)
= 53 – 45 = 8
T₅ = α + 4d = 53 + 4 (- 15)
= 53 – 60 = – 7

T₁ = 3, T₂ = 8, T₁ = 13, T₄ = 18
d = T₂ – T₁ = 8 – 3 = 5
सूत्र T_n, = α + (n – 1) d का प्रयोग करने पर,
या 78 = 3 + (n – 1) 5
या 5 (n – 1) = 78 – 3
या
या n = 15 + 1 = 16
अतः, दी गई A.P. का 16वाँ पद 78 है। उत्तर

(i) 7, 13, 19,…, 205
(ii)

T₁ = 7, T₂ = 13, T₃ = 19

d = T₂ – T₁ = 13 – 7 = 6

सूत्र T_n, = α + (n – 1) d का प्रयोग करने पर

205 = 7 + (n – 1) 6

या (n – 1) 6 = 205 – 7

या

या n – 1 = 33

या n = 33 + 1 = 34

अतः, A.P. में 34 है। उत्तर

:

सूत्र T_n, = α + (n – 1) d का प्रयोग करने पर

या

या

या

या n – 1 = 26 या
या n = 26 + 1 = 27
अतः, A.P. में 27 है। उत्तर

11, 8, 5, 2…..
T₁ = 11, T₂ = 8, T₃ = 5, T₄ = 2
d = T₂ – T₁ = 8 – 11 = – 3

मान लीजिए – 150 दी गई A.P. का एक पद है।

T_n = – 150
α + (n – 1) d = – 150
या 11 + (n – 1) ( – 3) = – 150
या (n – 1) (- 3) = – 150 – 11 = – 161

या

या

या

जो कि एक प्राकृत संख्या नहीं है।
अतः, – 150 दी गई A.P. का पद नहीं है। उत्तर

दिया है कि , T₁₁ = 38
α + (11 – 1) d = 38 [∵ T_n = α + (n – 1) d] α + 10 d = 38 ….(1)
और T₁₆ = 73
α + (16 – 1) d = 73 [∵ T_n = α + (n – 1) d] α + 15 d = 73
अब, (2) – (1) से प्राप्त होता है :


– – –
5d = 35

d का मान (1), में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है:

α + 10 (7) = 38
या α + 70 = 38
या α + 70 = 38
या α = 38 – 70 = – 32
अब T₃₁ = α + (31 – 1) d = – 32 + 30 (7)
= – 32 + 210 = 178 उत्तर

T₃ = 12
α + (3 – 1) d = 12 |∵ T_n = α + (n – 1) d
या α + 2d = 12 ……(1)
और अंतिम पद = T₅₀ = 106
α + (50 – 1) d = 106 |∵ T_n, = α + (n – 1)d
या α + 49d = 106 …(2)
अब (2) – (1) से प्राप्त होता है :


– – –
47 d = 94

d का यह मान (1), में प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं :

α + 2(2) = 12
या α + 4 = 12
या α = 12 – 4 = 8
अब, T₂₉ = α + (29 – 1) d
= 8 + 28 (2)
= 8 + 56 = 64 उत्तर

हल : मान लीजिए ‘α’ और ‘d’ क्रमश: दी गई A.P. का प्रथम पद और सार्व अंतर हैं।
दिया है कि : T₃ = 4
α + (3 – 1) d = 4 |∵ T_n = α + (n – 1) d
α + 2d = 4 ……(1)
और T₉ = – 8
α + (9 – 1) d = 8 |∵ T_n = α + (n – 1)d
α + 8d = – 8 । ……(2)
अब, (2) – (1) से प्राप्त होता है :


– – –
6d = – 12

d का यह मान (1), में प्रतिस्थापित करने पर

α + 2 (-2) = 4
α – 4 = 4
या α = 4 + 4 = 8
अब, T_n, = 0 (दिया है)
α + (n – 1) d = 0
या 8 + (n – 1) (- 2) = 0
या – 2 (n – 1) = – 8
या n – 1 = 4
या n = 4 + 1 = 5
अतः, A.P. का 5वाँ पद शून्य है।

अब, T₁₇ = α (17 – 1) d
= α + 16d
और T₁₀ = α + (10 – 1) d
= α + 9d

प्रश्न के अनुसार,

T₁₇ – T₁₀ = 7
(α + 16d) – (α + 9d) = 7
या α + 16d – α – 9d = 7
या 7d = 7

या
अतः, सार्व अंतर 1 है। उत्तर

दी गई A.P. है : 3, 15, 27, 39, …
T₁ = 3, T₂ = 15,
T₃ = 27, T₄ = 39
T₂ – T₁ = 15 – 3 = 12
d = T₂ – T₁ = 12
अब T₅₄ = α + (54 – 1) d
= 3 + 53 (12)
= 3 + 636 = 639

प्रश्न के अनुसार,

T_n = T₅₄ + 132
α + (n – 1) d = 639 + 132
3 + (n – 1) (12) = 771
(n – 1) 12 = 771 – 3 = 768
या
या n = 64 + 1 = 65
अतः, A.P. का 65वाँ पद उसके 54वें पद से 132 अधिक होगा। उत्तर

साथ ही, ‘A’ और ‘d’ दूसरी A.P. का प्रथम पद और सार्व अंतर है।

प्रश्न के अनुसार,

[दूसरी A.P. का T₁₀₀] – [पहली A.P. का T₁₀₀] = 100
या [A + (100 -1)d] – [α + (100 -1)d] = 100
या A + 99 d – α – 99 d = 100
या A – α = 100 …..(1)
अब, [दूसरी A.P. का T₁₀₀₀ ] – [पहली A.P. का T₁₀₀₀ ] = [A + (1000 – 1) d] – (α + (1000 – 1) d] = A + 999d – α – 999 d
= A – α
= 100 [(1) का प्रयोग करने से]

यहाँ α = T₁ = 105,
T₂ = 112, T₃ = 119
और T_n = 994
d = T₂ – T₁ = 112 – 105 = 7
दिया है कि T_n, = 994
α + (n – 1) d = 994
या 105 + (n – 1) 7 = 994
या (n – 1) 7 = 994 – 105
या (n – 1) 7 = 889

या

या n = 123 + 1 = 124
अतः, तीन अंकों वाली 124 संख्याएँ 7 से विभाज्य हैं। उत्तर

12, 16, 20, 24, … 248
α = T₁ = 12,
T₂ = 16, T₃ = 20
और T_n = 248
T₂ – T₁ = 16 – 12 = 4
T₃ – T₂ = 20 – 16 = 4

∴ d = T₂ – T₁ = 4
दिया है कि T_n = 248
α + (n – 1) d = 248
या 12 + (n – 1) 4 = 248
4 (n – 1) = 248 – 12 = 236
या
या n = 59 + 1 = 60
अतः, 10 और 250 के बीच 4 के 60 गुणज हैं। उत्तर

यहाँ α = T₁ = 63,
T₂ = 65, T₃ = 67
d = T₂ – T₁ = 65 – 63 = 2
और दूसरी A.P. है : 3, 10, 17,
… यहाँ, α = T₁ = 3, T₂ = 10, T₃ = 17
T₂ – T₁ = 10 – 3 = 7
T₃ – T₂ = 17 – 10 = 7

प्रश्न के अनुसार,

[पहली A.P का nवाँ पद] = [दूसरी A.P. का nवाँ पद] 63 + (n – 1) 2 = 3 + (n – 1) 7
या 63 + 2n – 2 = 3 + 7n – 7
या 61 + 2n = 7n – 4
या 2n – 7n = – 4 – 61
या – 5n = – 65
या उत्तर

T₃ = 16
α + (3 – 1) d = 16
α + 2d = 16

प्रश्न के अनुसार, T₇ – T₅ = 12

[α + (7 – 1) d] – [α + (5 – 1) d] = 12
α + 6 d – α – 4d = 12
2d = 12

d का यह मान (1), में प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं,

α + 2 (6) = 16
α = 16 – 12 = 4
अंतः दी गई A.P. हैं, 4, 10, 16, 22, 28,…उत्तर

यहाँ α = T₁ = 3, T₂ = 8, T₃ = 13
और T_n = 253
∴ d = T₂ – T₁ = 5
अब T_n = 253
3 + (n – 1) 5 = 253
(n – 1) 5 = 250

|∵ T_n = α + (n – 1)d

(n – 1)5 = 250

n = 50 + 1 = 51
AP के अंतिम पद से 20वाँ पद
= (पदों की कुल संख्या) – 20 + 1
= 51 – 20 + 1 = 32 वाँ पद
∴ AP के अंतिम पद से 20वाँ पद
= आरम्भ से 32वाँ पद
= 3 + (32 – 1) 5 |∵ T_n = α + (n – 1)d
= 3 + 31 x 5
= 3 + 155 = 158 उत्तर

प्रश्न की पहली शर्त अनुसार,

T₄ + T₈ = 24
α + (4 – 1) d + α + (8 – 1) d = 24 |∵ T_n = α + (n – 1)d
या 2α + 3d + 7d = 24
या 2α + 10d = 24
या α + 5d = 12 …..(1)

प्रश्न की दूसरी शर्त अनुसार,

T₆ + T₁₀ = 44
α + (6 – 1) d + α + (10 – 1)d = 44 |∵T_n, = α + (n – 1)d
2α + 5d + 9d = 44
2α + 14d = 44
α + 7d = 22 …..(2)

अब (2) – (1) से प्राप्त होता है :

– – –
2d = 10

d = 10 = 5 d का यह मान (1), में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है।

α + 5 (5) = 12
α + 25 = 12
α = 12 – 25 = – 13
∴ T₁ = α = – 13
T₂ = α + d
= – 13 + 5 = – 8
T₂ = α + 2d = – 13 + 2 (5)
= – 13 + 10 = – 3
अतः,दी गई A.P. है – 13, – 8, – 3,…

वार्षिक वृद्धि = ₹ 200

मान लीजिए ‘n’ वर्षों की संख्या को निरूपित करता है।

∴ प्रथम पद = α = ₹ 5000
सार्व अंतर = d = ₹ 200
और T_n = ₹ 7000
5000 + (n – 1) 200 = 7000 |∵ T_n = α + (n – 1) d
या (n – 1) 200 = 7000 – 5000
या (n – 1) 200 = 2000
या
या n = 10 + 1
= 11

अब, वर्ष की स्थिति में अनुक्रम है :

1995, 1996, 1997, 1998,…
यहाँ α = 1995, d = 1
और n = 11

मान लीजिए T_n अभीष्ट वर्षों को व्यक्त करता है

∴ T_n = 1995 + (11 – 1) 1
= 1995 + 10 = 2005
अतः, 2005 में सुब्बा राव का वेतन ₹ 7000 हो जाएगा। उत्तर

प्रति सप्ताह बचत में वृद्धि = ₹ 1.75 यह स्पष्ट है कि यह एक A.P. है जिसके पद हैं :
T₁ = 5, d = 1.75
∴ T₂ = 5 + 1.75 = 6.75
T₃ = 6.75 + 1.75 = 8.50

साथ ही, T_n = 20. 75 (दिया है)

5 + (n – 1) 1.75 = 20.75 |∵ T, = α + (n – 1)d
या (n – 1) 1.75 = 20.75 – 5
या (n – 1) 1.75 = 15.75

या
या n – 1 = 9
या n = 9 + 1 = 10
अतः, 10वें सप्ताह में राम कली की बचत ₹ 20.75 हो जाती है।

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