Class 10 Maths Chapter 1 – वास्तविक संख्याएँ

Class 10 Math वास्तविक संख्याएँ (प्रश्नावली 1.3)

[su_note] प्रश्न 1. सिद्ध कीजिए कि √5 एक अपरिमेय संख्या है।[/su_note]
हल : मान लीजिए कि √5 एक परिमेय संख्या है। इसलिए हम ऐसे दो पूर्णांक r और s जहाँ s ≠ 0 प्राप्त कर सकते हैं कि
मान लीजिए r और s के 1 के अतिरिक्त अन्य कुछ गुणनखंड हैं, तो हम उस उभयनिष्ठ गुणनखंड से भाग देकर प्राप्त कर सकते हैं :
जहाँ α और b, b ≠ 0 सहअभाज्य है।
⇒ b√5 = α
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,
⇒ (6√5)² = α²
⇒ b²(√5)² = α²
⇒ 5b² = α² …(1)
∴ 5, α² को विभाजित करता है।
प्रमेय से यदि एक अभाज्य संख्या ‘p’, α² को विभाजित करता है, तो ‘p’, α जहाँ α एक पूर्णांक है, को भी विभाजित करता है।
⇒ 5, α को भी विभाजित करता है ….(2)
अतः, α = 5c जहाँ c कोई पूर्णांक है।
α का मान (1) में प्रतिस्थापित करने पर,
5b² = (5c)²
5b² = 25c²
b² = 5c²
या 5c² = b²
⇒ 5, b² को विभाजित करता है।
∵ प्रमेय से यदि एक अभाज्य संख्या ‘p’, α² को विभाजित करता है। तो ‘p’, α जहाँ α एक पूर्णांक है, को भी विभाजित करता है।
⇒ 5, b को भी विभाजित करता है …(3)
(2) और (3) से, α और b का कम-से-कम एक उभयनिष्ठ गुणनखंड 5 है।
परंतु यह इस तथ्य का विरोधाभास है कि α और b अविभाज्य है अर्थात इनके 1 के अतिरिक्त कोई अन्य उभयनिष्ठ गुणनखंड हैं।
∴ हमारी यह कल्पना कि √5 एक परिमेय संख्या है, गलत है।
अत: √5 एक अपरिमेय संख्या है।

[su_note] प्रश्न 2. सिद्ध कीजिए कि एक अपरिमेय संख्या है।[/su_note]

हल : मान लीजिए कि एक परिमेय संख्या है।
∴ हम अविभाज्य संख्या α और b प्राप्त कर सकते हैं जहाँ α और b (b ≠ 0) पूर्णांक हैं कि

⇒

⇒

⇒ …..(1)

चूँकि α और b दोनों पूर्णांक हैं।

पूर्णांक – 3(पूर्णांक)/2 x पूर्णांक

= परिमेय संख्या

अतः, (1) से √5 एक परिमेय संख्या है।
परंतु यह इस तथ्य का विरोधाभास है कि √5 एक अपरिमेय संख्या है।
∴ हमारी कल्पना गलत है।
अत: 3 + 2√5 एक परिमेय संख्या है

[su_note] प्रश्न 3. सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित संख्याएँ अपरिमेय हैं :

(i) (ii) 7√5 (iii) 6 + √2[/su_note]

हल : (i)

मान लीजिए कि एक परिमेय संख्या है।
∴ हम अविभाज्य पूर्णांक α और b (b ≠ 0) प्राप्त कर सकते हैं।
⇒
⇒ …(1)
क्योंकि दो पूर्णांकों का भागफल एक परिमेय संख्या होती है।
अतः = परिमेय संख्या
∴ (1) से √2 भी एक परिमेय संख्या है
परंतु यह इस तथ्य का विरोधाभास है कि √2 एक अपरिमेय संख्या है।
∴ हमारी कल्पना गलत है।
अतः एक अपरिमेय संख्या है।

(ii) 7√5
मान लीजिए कि 7√5 एक परिमेय संख्या है।
∴ हम ऐसे दो पूर्णांक α और b (b ≠ 0) प्राप्त कर सकते हैं कि

⇒ 7b √5 = α
⇒ ….(1)
चूँकि α, 7 और b सभी पूर्णांक हैं और दो पूर्णांकों का भाग भी एक परिमेय संख्या होती है।
अर्थात् परिमेय संख्या
∴ (1) से, √5 = परिमेय संख्या
जोकि इस तथ्य का विरोधाभास है कि √5 एक अपरिमेय संख्या है।
∴ हमारी कल्पना गलत है।
अतः 7√5 एक अपरिमेय संख्या है

(iii) 6 + √2
मान लीजिए कि 6 + √2 एक परिमेय संख्या है।
∴ हम ऐसी सहअभाज्य संख्याएँ α और b (b ≠ 0) ज्ञात कर सकते हैं कि

∴
या
चूँकि α और b पूर्णांक हैं।
∴ = पूर्णांक – 6 x (पूर्णांक)/पूर्णांक ≠ 0
[∵ पूर्णांकों का घटाव भी एक पूर्णांक होता है।]
= पूर्णांक/पूर्णांक ≠ 0 = परिमेय संख्या
[∵ दो पूर्णांकों का भाग भी पूर्णांक होता है।]
⇒ परिमेय संख्या
अतः (1) से,
√2 = परिमेय संख्या
परंतु इससे इस तथ्य का विरोधाभास होता है कि √2 एक अपरिमेय संख्या है।
∴ हमारी कल्पना गलत है।
अत: 6 + √2 एक अपरिमेय संख्या है।

Class 10 Math वास्तविक संख्याएँ (प्रश्नावली 1.4)

[su_note] प्रश्न 1. बिना लंबी विभाजन प्रक्रिया किए, बताइए कि निम्नलिखित परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसार सांत हैं या असांत आवर्ती हैं :
(i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi) (vii) (viii) (ix) (x) [/su_note]

हल : (i) मान लीजिए ….(1)
(1) की से तुलना कीजिए,
यहाँ p = 13 और q = 3125
q = 3125 के अभाज्य गुणनखंड = 5 x 5 x 5 x 5
= 5⁵ x 2⁰
जोकि 2ⁿ x 5^m के रूप का है।
जहाँ n = 0, m = 5
जो ऋणेत्तर पूर्णांक हैं।
का सात दशमलव प्रसार है।

(ii) मान लीजिए
(1) की से तुलना कीजिए
यहाँ p = 17 और q = 8
q = 8 के अभाज्य गुणनखंड = 2 x 2 x 2 = 2³
= 2³ x 5³
जोकि 2ⁿ x 5^m के रूप का है।
जहाँ n = 3 m = 0 है।
और ये ऋणेत्तर पूर्णांक हैं।
∴ जिसका दशमलव प्रसार सांत है।

(iii) मान लीजिए …..(1)
(1) की से तुलना कीजिए।
यहाँ p = 64, q = 455
q = 455 के अभाज्य गुणनखंड = 5 x 7 x 13
जोकि 2ⁿ x 5^m के रूप का नहीं है।
का दशमलव प्रसार असांत आवर्ती है।

(iv) मान लीजिए …(1)
(1) की के साथ तुलना कीजिए।
यहाँ p = 15 और q = 1600
q = 1600 के अभाज्य गुणनखंड = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 5 x 5
= 2⁶ x 5⁶
जोकि 2ⁿ x 5^m, के रूप का है,
जहाँ n = 6, m = 2
और ये ऋणेत्तर पूर्णांक हैं।
∴ जिसका दशमलव प्रसार सांत है।

(v) मान लीजिए ….(1)
(1) की के साथ तुलना कीजिए।
यहाँ p = 29 और q = 343
q = 343 के अभाज्य गुणनखंड हैं
= 7 x 7 x 7 = 7³
जोकि 2ⁿ x 5^m के रूप में नहीं है।
∴ का दशमलव प्रसार असांत आवर्ती है।
29

(vi) मान लीजिए …(1)
(1) की के साथ तुलना कीजिए।
यहाँ p = 23 और q = 2³5³
q के अभाज्य गुणनखंड = 2³5² जोकि 2ⁿ x 5^m के रूप का है, जहाँ n = 3, m = 2 और ये ऋणेत्तर पूर्णांक हैं।
∴ का दशमलव प्रसार सांत है।

(vii) मान लीजिए …(1)
(1) की के साथ तुलना कीजिए।
यहाँ p = 129 और q = 2² 5⁷ 7⁵
q के अभाज्य गुणनखंड = 2² 5⁷ 7⁵
जोकि 2ⁿ x 5^m के रूप में नहीं है।
∴ का दशमलव प्रसार असांत आवर्ती है।

(viii) मान लीजिए ….(1)
(1) की के साथ से तुलना कीजिए।
यहाँ p = 2, q = 5
q = 5 के अभाज्य गुणनखंड हैं = 2⁰ x 5¹
जोकि 2ⁿ x 5^m के रूप का है।
जहां n = 0, m = 1 और ये ऋणेत्तर पूर्णांक हैं।
∴ का दशमलव प्रसार सांत है।

(ix) मान लीजिए  ….(1)
(1) की के साथ तुलना कीजिए।
यहाँ p = 7, q = 10
q = 10 के अभाज्य गुणनखंड हैं = 2 x 5 = 2¹ x 5¹
जहां 2ⁿ x 5^m के रूप का है,
जहाँ n = 1, m = 1 दोनों n और m ऋणेत्तर पूर्णांक हैं।
∴ का दशमलव प्रसार सांत है।

(x) मान लीजिए …(1)
(1) की के साथ तुलना कीजिए।
यहाँ p = 11, q = 30
q = 30 के अभाज्य गुणनखंड हैं = 2 x 3 x 5
जोकि 2ⁿ x 5^m के रूप में नहीं है।
का दशमलव प्रसार असांत आवर्ती है।

[su_note] प्रश्न 2. ऊपर दिए गये प्रश्न में उन परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसारों को लिखिए जो सांत हैं।[/su_note]

हल : (i) मान लीजिए …(1)
(1) की के साथ तुलना कीजिए
यहाँ p = 13, q = 3125
q = 3125 के अभाज्य गुणनखंड = 5 x 5 x 5 x 5 x 5 = 5⁵ x 2⁰
जोकि 2ⁿ x 5^m के रूप का है, जहाँ n = 0, m = 5
∴ का दशमलव प्रसार सांत है।
दशमलव के रूप में व्यक्त करना


[∵ हम हर को 10 की कोई घात बनाने के लिए इसे 2⁵ से गुणा और भाग करते हैं।]

???? = 0.00416

(ii) मान लीजिए …..(1)
(1) की से तुलना कीजिए।
यहाँ p = 17, q = 8
q = 8 के अभाज्य गुणनखंड = 2 x 2 x 2
= 2³ x 5⁰
जोकि 2ⁿ x 5^m के रूप का है, जहाँ n = 3, m = 0 और ये ऋणेत्तर पूर्णांक हैं।
∴ को सांत दशमलव प्रसार के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
दशमलव के रूप में व्यक्त करना

⇒

[हम हर को 10 की घात बनाने के लिए 5³ से गुणा और भाग करते हैं।]
⇒

⇒
⇒ ???? = 2.185
∴

(iii) मान लीजिए …(1)
(1) की से तुलना कीजिए
यहाँ p = 64, q = 455
q = 455 के अभाज्य गुणनखंड = 5 x 7 x 13
जोकि 2ⁿ x 5^m के रूप में नहीं है
∴ का दशमलव प्रसार असांत आवर्ती है।

(iv) मान लीजिए ……(1)
(1) की से तुलना कीजिए।
यहाँ p = 15, q = 1600
q = 1600 के अभाज्य गुणनखंड = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 5 x 5 = 2⁶ x 5²
जोकि 2ⁿ x 5^m के रूप का है, जहाँ n = 6, m = 2 और ये ऋणेत्तर पूर्णांक हैं
∴ का सांत दशमलव प्रसार है।
दशमलव के रूप में व्यक्त करना

⇒
[हर को 10 की घात बनाने के लिए 5⁴ से गुणा और भाग कीजिए।
⇒
⇒
⇒

दशमलव रूप में,

(v) मान लीजिए …(1)
(1) की से तुलना कीजिए
यहाँ p = 29 और 4 = 343 = 7 x 7 x 7 = 7³
जोकि 2ⁿ x 5^m के रूप में नहीं हैं।
∴ का असांत आवर्ती दशमलव प्रसार होगा।

(vi) मान लीजिए …(1)
(1) की से तुलना कीजिए
यहाँ p = 23 और q = 2³5²
q के अभाज्य गुणनखंड = 2³ x 5² जोकि 2ⁿ x 5^m के रूप का है, जहाँ n = 3 और m = 2 और ये ऋणेत्तर पूर्णांक हैं।
∴ का सांत दशमलव प्रसार है।
दशमलव के रूप में व्यक्त करना


⇒
दशमलव के रूप में,

(vii) मान लीजिए …(1)
(1) की से तुलना कीजिए
यहाँ p = 129 और q = 2² x 5⁷ x 7⁵
q के अभाज्य गुणनखंड = 2² x 5⁷ x 7⁵
जोकि 2ⁿ x 5^m2 के रूप में नहीं है।
∴ का एक असांत आवर्ती दशमलव प्रसार है।

(viii) मान लीजिए …(1)
(1) की से तुलना कीजिए
यहाँ p = 2, q = 5
q = 5 के अभाज्य गुणनखंड = 2⁰ x 5¹
जोकि 2ⁿ x 5^m के रूप का है, जहाँ n = 0, m = 1 है।
∴ का एक सांत दशमलव प्रसार है।
दशमलव के रूप में व्यक्त करना

⇒

दशमलव के रूप में,

(ix) मान लीजिए  …(1)
(1) की से तुलना कीजिए।
यहाँ p = 7, q = 10
q = 10 के अभाज्य गुणनखंड = 21 x 51
जोकि 2ⁿ x 5^m के रूप का है, जहाँ n = 1, m = 1 है।
और n और m दोनों ऋणेत्तर पूर्णांक हैं।
∴ का एक सांत दशमलव प्रसार है।
दशमलव के रूप में व्यक्त करना

⇒
⇒
⇒
अतः दशमलव रूप में, x = 0.7

(x) मान लीजिए
(1) की से तुलना कीजिए।
यहाँ p = 11, q = 30
q = 30 के अभाज्य गुणनखंड = 2 x 3 x 5
जोकि 2ⁿ x 5^m के रूप में नहीं है
∴ का असांत आवर्ती दशमलव प्रसार है।

[su_note] प्रश्न 3. कुछ वास्तविक संख्याओं के दशमलव प्रसार नीचे दर्शाए गये हैं। प्रत्येक स्थिति के लिए निर्धारित कीजिए कि यह संख्या परिमेय संख्या है या नहीं। यदि यह परिमेय संख्या है और के रूप की है, तो के अभाज्य गुणनखंडों के बारे में आप क्या कह सकते हैं?
(i) 43.123456789 (ii) 0.120120012000120000……
(iii) 43.123456789[/su_note]

हल : (i) मान लीजिए x = 43.123456789 …(1)
चूँकि x का दशमलव प्रसार सांत है। अत: ???? एक परिमेय संख्या है। अब संख्या में से दशमलव को हटा दीजिए
∴

⇒ …(2)

(2) से के रूप की एक परिमेय संख्या है
जब p = 43123456789 और q = 10⁹
अब q के अभाज्य गुणनखंड = 10⁹ = (2 x 5)⁹
⇒ q के अभाज्य गुणनखंड 2⁹ x 5⁹ हैं।

(ii) मान लीजिए ???? = 0.120120012000120000 …..
चूँकि ???? का दशमलव प्रसार असांत और अनावर्ती है। अतः स्पष्ट है कि यह एक अपरिमेय संख्या है।

(iii) मान लीजिए ???? = 43.123456789 …(1)
यह स्पष्ट है कि दी गई संख्या एक परिमेय संख्या है क्योंकि यह असांत और आवर्ती दशमलव है।
यह दर्शाने के लिए कि (i) के रूप का है
(1) के दोनों पक्षों को 10⁹ से गुणा कीजिए
10⁹ x = 43123456789.123456789… …(2)
(1) को (2) से घटाने पर हम प्राप्त करते हैं :
1000000000 ???? = 43123456789.123456789 ….
???? = 43.12345678 ……
999999999 ???? = 43123456746. 0
999999999 ???? = 43123456746
⇒
जोकि के रूप का है।
⇒
यहाँ p = 4791495194,
q = 111111111
⇒
अतः, q के अभाज्य गुणनखंड 3² (12345679) हैं।

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