NIOS Class 12th Maths Solutions Chapter 2. संबंध एवं फलन – I

NIOS Class 12th Maths Solutions Chapter 2. संबंध एवं फलन – I

NIOS Class 12 Mathematics Chapter 1. Relations and Functions-I– NIOS कक्षा 12वीं के विद्यार्थियों के लिए जो अपनी क्लास में सबसे अच्छे अंक पाना चाहता है उसके लिए यहां पर एनआईओएस कक्षा 12th गणित अध्याय 2. ( संबंध एवं फलन – I) के लिए समाधान दिया गया है. इस NIOS Solutions For Class 12 Mathematics Chapter 2. Relations and Functions-I की मदद से विद्यार्थी अपनी परीक्षा की तैयारी कर सकता है और परीक्षा में अच्छे अंक प्राप्त कर सकता है. इसे आप अच्छे से पढ़े यह आपकी परीक्षा के लिए फायदेमंद होगा .हमारी वेबसाइट पर NIOS Class 12 Mathematics के सभी चेप्टर के सलुसन दिए गए है .

NIOS Class 12 Maths Chapter 2. Relations and Functions-I

प्रश्न 1. यदि A = {4, 5, 6, 7}, B = {8, 9}, C = {10}, तो सत्यापित कीजिये कि A x (B-C) = (A x B) – (A x C)

हल – दिया है – A = {4, 5, 6, 7}, B = {8, 9}, C = {10}
तो B-C = {8,9}

(B-C)=(A× B) – (A× C) –A= {4, 5, 6, 7}, B = {8,9}, C= {10} at B-C (8,9}
∴ बायाँ पक्ष = A x ( B – C)

= {(4, 8), (5, 8), (6, 8), (7, 8), (4, 9), (5, 9), (6, 9), (7, 9)} ……(1)

तथा A× B = {(4, 8), (5, 8), (6, 8), (7, 8), (4, 9), (5, 9), (6, 9), (7, 9)}

और A x C={(4, 10), (5, 10), (6, 10), (7, 10)}

∴ दायाँ पक्ष = (AB)-(AC)

= {(4, 8), (5, 8), (6, 8), (7, 8), (4, 9), (5, 9), (6, 9), (7,9)}

∴ (1) और (2) से बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष

प्रश्न 2. R = {(x, y) : 4x + y = 12, X, Y ∈ N} द्वारा परिभाषित N का N से, एक संबंध है। ज्ञात कीजिए-
(i) R को रोस्टर रूप में
(ii) R का प्रांत
(iii) R का परिसर
हल – दिया है R : N ???? N, ताकि
(i) R = {(x, y) : 4x + y = 12, x, y ∈ N}
= {(x,y) : y = 12 – 4x, x, y ∈ N}
= {(1, 8), (2, 4)}
(ii) R का प्रांत = {1, 2}

(iii) R का परिसर = 14, 8}

प्रश्न 3. यदि (x + 1, y – 2) = ( 3, 1 ) है, तो तथा y के मान ज्ञात कीजिए ।
हल – दिया है
(x + 1,y−2) = (3, 1)
.  x +1 = 3
⇒ x = 3-1 2
⇒ x = 2
.  y-2 = 1
. y =1+2=3
⇒ y = 3

प्रश्न 4. यदि R, N पर परिभाषित एक संबंध है, जहाँ R = {x, .x} : x 15 से छोटी अभाज्य संख्या है, तो ज्ञात कीजिए-
(i) R को रोस्टर रूप में
(ii) R का प्रांत
(iii) R का परिसर
हल – (i) R = {(x, x²) : एक अभाज्य संख्या है तथा x≤15}
= {(2, 2²), (3, 3²), (5, 5²), (7, 7²),(11, 11²), (13, 13²)}
= {(2, 4), (3, 9), (5, 25), (7, 49), (11, 121), (13, 169)}
(ii) R का प्रान्त = {2, 3, 5, 7, 11, 13}
(iii) R का परिसर = {4, 9, 25, 49, 121,169}

प्रश्न 5. यदि एक समष्टीय समुच्चय और A तथा B इसके उपसमुच्चय हों, जहाँ U = {1, 2, 3, 4, 5}
A = {1, 3, 5}, B = { x: x एक अभाज्य संख्या है, तो A’ × B’ ज्ञात कीजिए ।
हल – दिया है – सर्वनिष्ठ समुच्चय U = {1, 2, 3, 4, 5}
A = {1, 3, 5}, B = {x:x एक अभाज्य संख्या है}

∴ B = {2, 3, 5}
∴ A’ = {2, 4} तथा B’ = {1, 4}
∴ A’ × B’ = {(2, 1), (2, 4), (4, 1), (4, 4)}

प्रश्न 6. यदि A = {4, 6, 8, 10}, B = {2, 3, 4, 5} तथा R समुच्चय A का B से संबंध दर्शाता है, जहाँ R = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B और b, a का गुणज है} ज्ञात कीजिए-
(i) R को रोस्टर रूप में
(ii) R का प्रांत
(iii) R का परिसर
हल– दिया है–A = {4, 6, 8, 10}, B = {2, 3, 4, 5 और R: A ???? B, ताकि

(i) R = {(a, b); a ∈ A, b∈ B तथा a, b का गुणक है, तो
R = {(4, 2), (4, 4), (6, 2), (6, 3), (10, 5),(8, 4), (8, 2)}

(ii) R का प्रांत = {4, 6, 8, 10}

(iii) R का परिसर = {2, 3, 4, 5}

प्रश्न 7. यदि R वास्तविक संख्याओं के समुच्चय संबंध है और R = {(x,P): x² + y² = 0} से परिभाषित किया गया है, तो ज्ञात कीजिए-
(i) R को रोस्टर रूप में
(ii) R का प्रांत
(iii) R का परिसर
हल – R = {(x, y) : x² + y² = 0} x ∈ R, तो
(i) R = {(0, 0)}
(ii) R का प्रान्त = {0}
(iii) R का परिसर = {0}

प्रश्न 8. यदि (Ax B = {(a, x), (a, y), (b, x), (b, y) है, तो A तथा B ज्ञात कीजिए ।
हल – A × B = { (a, x), (a, y), (b, x), (b, y)}
अतः A = {a, b} तथा B = {x, y}

प्रश्न 9. यदि n (A) = 6 तथा n (B) = 3 है, तो n (AB) ज्ञात कीजिए हैं?
हल-
. n (A) = 6
. n (B) = 3
n (A x B) = n (A) × n (B)
. = 6 × 3
n (A × B) = 18

प्रश्न 10. यदि A = {- 1, 1} है, तो A x AxA ज्ञात कीजिए ।
हल-
. A = {−1, 1}
A × A × A = {(−1, −1, −1), (−1, −1, 1), (-1, 1, -1), (-1, 1, 1), (1, −1, −1), (1, −1, 1), (1, 1, −1), (1, 1, 1)}

प्रश्न 11. निम्नलिखित संबंध, जो कि R R पर परिभाषित हैं, में कौन-कौन से फलन हैं?
(a) y = 2x + 1
(b) y>x + 3
(c) y (d) y= x²+1
हल – (a) फलन है।
(b) फलन नहीं है।
(c) फलन नहीं है।
(d) फलन है।

प्रश्न 12. निम्नलिखित फलनों के प्रांत तथा परिसर लिखिए-
(a) {(√2, 2), (√5, -1), (√3, 5)}
(b) {(दीपक, 16 ), ( संदीप, 28 ), ( राजन, 24 )}
(c) {(1, 1), (0, 0), (2, 2), (−1, −1)}

हल-(a) प्रांत = {(√2, √3, √5 }
. परिसर = {- 1, 2, 5}

(b) प्रांत = दीपक, संदीप, राजन
. परिसर = {16,28, 24}

(c) प्रांत = {1,0, 2 – 1}
.परिसर = {1, 0,2 – 1}

प्रश्न 13. निम्नलिखित में कौन-से संबंध A से B पर फलन
(a) {(1,-2), (3, 7), (4, -6), (8, 11)},
A = {1, 3, 4, 8}, B = {–2, 7, –6, 11}

(b) {(1, 0), (1,-1), (2, 3), (4, 10)},
A = {1, 2, 4}, B = {1, 0, −1, 3, 10}

(c) {(a, 2), (b, 3), (c, 2), (d, 3)},
A = {a, b, c, d}, B = {2, 3}

(d) {(1, 1), (1, 2), (2, 3), (-3, 4)},
A = {1, 2, – 3}, B = {1, 2, 3, 4}

(e) {(1, 1), (-1, 1), (2, 4), (−2, 4)},
A = {0, 1, −1, 2, −2}, B = {1, 4}

हल – (a) f = {(1, – 2), (3, 7), (4, – 6), ( 8, 11 ) }
तो_ A = {1, 3, 4, 8}, B = { – 2, 7, – 6, 11}
पहली संख्याएं (A की) नहीं दुहराती ∴ f : A→ B एक फलन है, जिसका A प्रांत है तथा B परिसर

(b){(1, 0), (1, −1), (2, 3), (7, 10)} के अवयव
(1, 0), (1, 1) के कारण यह फलन नहीं है।

(c) {(a, 2), (b, 3), (c, 2), (d, 3)} एक फलन है। तथा इसका प्रांत A = {a, b, c, d तथा परिसर B = (2, 3}

(d) (1, 1), (1, 2), (2, 3), (– 3, 4 ) के अवयव
(1, 1) तथा (1, 2) के कारण यह फलन नहीं है।

(e) {(1, 1), (– 1, 1), (2, 4), ( – 2, 4)} में प्रांत A
का अवयव 0 शामिल नहीं है। ∴ यह फलन नहीं है।

प्रश्न 14. नीचे दी गयी प्रत्येक स्थिति के लिए दिए हुए प्रांत के लिए परिसर ज्ञात कीजिए-
(a) (i) f=(x)=3x+10, x ∈ {1, 5, 7,-1,-2}
(ii) f= (x)=2x²+1, x ∈ {-3, 2, 4, 0}
(iii) f= (x) = x²-x+2, x ∈ {1, 2, 3, 4, 5}

(b)(i) f(x)=x-2,0 ≤ x ≤ 4
(ii) f(x)=3x+4,-1 ≤ x ≤ 2

(c) (i) f(x) = x², -5 ≤ x ≤ 5
(ii) f(x)=2x, -3 ≤ x ≤ 3
(iii) f(x) = x² + 1, −2 ≤ x ≤ 2
(iv) f(x)=√x, 0 ≤ x ≤ 25

हल – (a) (i) f(x)=3x+10, x = {1,5,7,-1,-2}
∴ f(1) = 3.1+10=13
f(5) 15+10=25,
f(-1)=21+10=31
f(-1)=3+10=7,
f(-2)=6+10=4
∴ परिसर = {13, 25, 31, 7, 4}

(ii) f(x) = 2x²+1, xe {-3, 2, 4, 0}
∴ f(-3)=2(-3)² + 1 = 18 + 1 = 19,
f(2) = 2 × 2²+1=8+1=9
f(4) = 2 × 4²+1=33
f (0)=2×0² +1=1
∴ परिसर = {19, 9, 33, 1}

(iii) f(x) = x²-x+2, x = {1, 2, 3, 4, 5}
∴ f(1) = 1²-1+2=2,
f(2) =2²-2+2=4,
f(3) 3²-3+2=8
f(4) = 4²-4+2 = 14,
f(5)=5²-5+2 = 22
∴ परिसर = {2, 4, 8, 14, 22}

(b) (i) f(x)=x-2,0≤x≤4
f(0) = 0-2 -2,
f(1) = 1-2=-1,
f(2) =2-2=0,
f (3) 3-2-1
f(4) = 4-2=2
परिसर = {F(x): -2

(ii) f(x)=3x+4,1≤f(x)≤2
तो f(-1)=-3+4= 1,
f(0) = 0 + 4,
f(1)=3+4=7
f(2) = 3×2+4=10
परिसर= {f(x): 1≤ f(x)≤ 10}

(c) (i) f(x) = x²,-5≤x≤5
f(-5)=(-5)²=25,
f(-4) = (-4)² = 16,
f(-3)=(-3)² = 9,
f(-2) =(-2)² = 4,
f(-1)=(-1)² = 1,
f(0) = 0²=0
f(1) = 1² = 1,ƒ(2)=2²=4, ƒ(3) = 3²=9
f(4) = 4²=16, f(5) = 5² = 25
∴ परिसर = {f(x): 1≤ f(x) ≤ 25}

(ii) f(x)=2x,-3≤x≤3
f(-3)=-6,f(-2)=-4,ƒ(-1)=-2,
f(0) = 0,ƒ(1)=2, f(2) = 4,ƒ(3)=6,
∴ परिसर = {f(x)-6≤f(x)≤6}

(iii) f(x)=x²+1,-2≤x≤2
f(-2)=(-2)2+1=5,
f(-1)=1+1=2, f(0)=0²+1=1
f(1) =1²+1=2, f(2) = 2²+1=5
∴ परिसर = {f(x): 1≤f(x)≤5}

(iv) f(x) = √x, 0≤ x ≤25
ƒ(0) = √o =0, f(1) = √1 = 1,…..,
f(25) = √25 = 5
∴ परिसर = {f(x): 0≤f(x) ≤5}

प्रश्न 15. निम्नलिखित फलनों के प्रांत ज्ञात कीजिए-
जबकि x ∈ R
(a) (i) y=2x
(ii) y=9x+3
(iii) y=x²+5

(b) (i)

(ii)

(iii)

(iv)

(c) (i)

(ii)

(iii)

(d) (i)

(ii)

(iii)

(iv)

हल – ( a ) (i) x ∈ R, तो प्रांत = R
(ii) x ∈ R, तो प्रांत = R
(iii) x ∈ R, तो प्रांत = R

(b) (i) में 3x-1 ≠ 0 तो
∴ प्रांत =

(ii)

यंहा 4x+1 ≠ 0 , 0-5 ≠ 0

⇒ x ≠ , x≠5

∴ प्रांत =

(iii)

यंहा x-3 ≠ 0 , x-5 ≠ 0

⇒ x ≠ 3 , 5

∴ प्रांत = R- {3, 5}

(iv)

यंहा 3-x ≠ 0 , x-5 ≠ 0

⇒ x ≠ 3 , 5

∴ प्रांत = R- {3, 5}

(c) (i) में 6-x ≥ 0
⇒ x ≤ 6

∴ प्रांत = { x : x ∈ R, x ≥ 0

(ii) में 7+x ≥0
⇒ x ≥ -7

∴ प्रांत = { x : x ∈ R, x ≥ -7

(iii) में 3x+5≥0

⇒ x ≥

∴ प्रांत = { x : x ∈ R, x ≥

(d) (i)

∴ (3-x) (x-5) ≥ 0
⇒ या तो 3-x ≥ 0 और x-5 ≥ 0
या 3-x ≤ 0 और x-5 ≤ 0

⇒ या तो x ≥ 3 और x ≥ 5
या x ≤ 3 और x ≤ 5

⇒ या तो x ∈ ϕ और 3 ≤ x ≤ 5
∴ प्रांत = { x : x ∈ R, 3 ≤ x ≤ 5}

(ii)

∴ (x-3) (x+5) ≥ 0
⇒ या तो x-3 ≥ 0 और x-5 ≥ 0
या x-3 ≤ 0 और x-5 ≤ 0

⇒ या तो x ≥ 3 और x ≥ -5
या x ≤ 3 और x ≤ -5

⇒ या तो x ≥ 3 या x ≤ -5
∴ प्रांत = { x : x ∈ R, x ≤ -5 या x ≥ 3}

(iii) में (3+x) (7+x) > 0 क्यूंकि हर में 0 नहीं आ सकता तथा ऋण संख्या का वर्गमूल वास्तविक नहीं होता

⇒ या तो 3+x > 0 और 7+x > 0
या 3+x

⇒ या तो x >- 3 और x > -7
या x

⇒ या तो x >- 3 या x ∴ प्रांत = { x : x ∈ R, x > -3 या x

(iv) में (x-3) (7+x) > 0

⇒ या तो x-3 > 0 और 7+x > 0
या x-3

⇒ या तो x > 3 और x > -7
या x

⇒ या तो x > 3 या x ∴ प्रांत = { x : x ∈ R, x > 3 या x

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