Class 10 Maths Chapter 5 Exercise 5.3 – समांतर श्रेढी

Class 10 Maths Chapter 5 Exercise 5.3 – समांतर श्रेढी

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 5 Arithmetic Progression Ex 5.3 – हर विद्यार्थी का सपना होता है कि वे अपनी कक्षा में अच्छे अंक से पास हो ,ताकि उन्हें आगे एडमिशन या किसी नौकरी के लिए फॉर्म अप्लाई करने में कोई दिक्कत न आए . कक्षा 10वीं के विद्यार्थी के लिए यहां पर एनसीईआरटी कक्षा 10 गणित अध्याय 5. (समांतर श्रेढी) प्रश्नावली 5.3 के लिए सलूशन दिया गया है. जोकि एक सरल भाषा में दिया है .ताकि विद्यार्थी को पढने में कोई दिक्कत न आए .इसकी मदद से आप अपनी परीक्षा में अछे अंक प्राप्त कर सकते है.

NCERT Solutions For Class 10th Maths समांतर श्रेढी (प्रश्नावली 5.3)

[su_note]प्रश्न 1. निम्नलिखित समांतर श्रेढ़ियों का योग ज्ञात कीजिए।[/su_note]

(i) 2, 7, 12, … 10 पदों तक।
(ii) – 37, – 33, – 29,… 12 पदों तक।
(iii) 0.6, 1.7, 2.8, … 100 पदों तक।
(iv) पदों तक।

[su_label]हल : (i) दी गई A.P. है : 2, 7, 12, …[/su_label]

यहां α = 2, d = 7 – 2 = 5
और n = 10

सूत्र के प्रयोग से,

= 5 [4 + 45] = 245

[su_label](ii) दी गई A.P. है : – 37, – 33, – 29…[/su_label]

यहां α = – 37, d = – 33 + 37 = 4
और n = 12

सूत्र के प्रयोग से,

= 6 [- 74 + 44]
= – 180 उत्तर

[su_label](iii) दी गई A.P. है : 0.6, 1.7, 2.8,….[/su_label]

यहां α = 0.6, d = 1.7 – 0.6 = 1.1
और n = 100

सूत्र के प्रयोग से,

= 50 [1.2 + 108.9]
= 5505 उत्तर

(iv) दी गई A.P. है :

यहां

और n = 11

सूत्र के प्रयोग से,

उत्तर

[su_note]प्रश्न 2. नीचे दिए हुए योगफलों को ज्ञात कीजिए :[/su_note]

(i)
(ii) 34 + 32 + 30 + … + 10
(iii) – 5 + (- 8) + (- 11) + … + (- 230)

[su_label]हल : (i) दी गई A.P. है[/su_label]

यहाँ

और l = T_n = 84
या α + (n – 1) d = 84

या

या

या

या n = 22 + 1 = 23

अब,

उत्तर

(ii) दी गई A.P. है :

34 + 32 + 30 + … + 10
यहां α = 34, d = 32 – 34 = – 2
और l = T_n = 10
α + (n – 1) d = 10
या 34 + (n -1) ( -2) = 10
या – 2 (n -1) = 10 – 34 = – 24

या

या n = 12 + 1 = 13

अब,

उत्तर

[su_label](iii) दी गई A.P. है :[/su_label]

– 5 + (- 8) + (- 11) + … + (- 230)
यहाँ α = – 5, d = – 8 + 5 = – 3
और l = T_n, = – 230
α + (n -1) d = – 230
या – 5 + (n – 1) (-3) = – 230
या – 3 (n -1) = – 230 + 5 = – 225

या

या n = 75 + 1 = 76

अब,

= 38 (- 235)

= – 8930 उत्तर

[su_note]प्रश्न 3. एक AP में[/su_note]

(i) a = 5, d = 3, a_n = 50 दिया है। n और S_n ज्ञात कीजिए।
(ii) a = 7, a₁₃ = 35 दिया है। d और S₁₃ ज्ञात कीजिए।
(iii) a₁₂ = 37, d = 3 दिया है। a और S₁₂ ज्ञात कीजिए।
(iv) a₃ = 15, S₁₀ = 125 दिया है। d और a₁₀ ज्ञात कीजिए।
(v) d = 5, S₉ = 75, दिया है। a और a₉ ज्ञात कीजिए।
(vi) a = 2, d = 8, S_n = 90 दिया है। n और a_n ज्ञात कीजिए।
(vii) a = 8, a_n = 62. S_n = 210 दिया है। n और d ज्ञात कीजिए।
(viii) a_n = 4, d = 2, S_n = – 14 दिया है। n और a ज्ञात कीजिए।
(ix) a = 3, n = 8, S = 192 दिया है। d ज्ञात कीजिए।
(x) I = 28, S = 144 दिया है। और कुल पद 9 हैं। a, ज्ञात कीजिए।

[su_label]हल : (i) दिया है α = 5, d = 3, αn = 50[/su_label]

∵ α_n = 50
α + (n – 1) d = 50
या 5 + (n – 1) 3 = 50
या 3 (n – 1) = 50 – 5 = 45

या

या n = 15 + 1 = 16

अब,

= 440 उत्तर

[su_label](ii) दिया है α = 7, α13 = 35[/su_label]

∵ α₁₃ = 35
α + (n – 1) d = 35
या 7 + (13 -1) d = 35
या 12 d = 35 – 7 = 28

या

अब,

= 273

[su_label](iii) दिया है α12 = 37, d = 3[/su_label]

∵ α₁₂ = 37
α + (n – 1) d = 37
या α + (12 -1) 3 = 37
α = 37 – 33 = 4
α = 37 – 33 = 4

अब,

= 6 x 41 = 246

[su_label](iv) दिया है α3 = 15, S10 = 125[/su_label]

∵ α₃ = 15
α + (n – 1) d = 15
या α + (3 – 1) d = 15
या α + 2d = 15 ….(1)
∵ S₁₀ = 125

या 5[2α + 9d] = 125

या

या 2α + 9d = 25 ….(2)
(1) से α = 15 – 2d ….(3)

α का मान (2), में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :

2(15 – 2d) + 9d = 25
या 30 – 4 d + 9d = 25
या 5d = 25 – 30

d का मान (3) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :

α = 15 – 2 (-1)
α = 15 + 2 = 17
अब, α₁₀ = 17 + (10 – 1) (- 1)

|∵ α_n = α + (n – 1) d
= 17 – 9 = 8

[su_label](v) दिया है d = 5, S9 = 75[/su_label]

∵ S₉ = 75

या

या

या

या

या

या

अब, α₉ = α + (n – 1)d

उत्तर

[su_label](vi) दिया है α = 2, d = 8, Sn, = 90[/su_label]

S_n = 90

या

या n [2 + 4n – 4] = 90

या n (4n – 2) = 90
या 4n² – 2n – 90 = 0
या 2n² – n – 45 = 0
या 2n² – 10n + 9n – 45 = 0
[∵ S = – 2
P = – 45 x 2 = – 90]
या 2n [n – 5] + 9 (n – 5) = 0
या (2n + 9) (n – 5) = 0
अर्थात् 2n + 9 = 0
या n – 5 = 0
अर्थात् n = 5

∵ n ऋणात्मक नहीं हो सकता इसलिए को छोड़ दीजिए।

∴ n = 5
अब, α_n = α₅ = α + (n – 1) d
= 2 + (5 – 1) 8
= 2 + 32 = 34

[su_label](vii) दिया है α = 8, αn = 62, Sn, = 210[/su_label]

∵ S_n, = 210

या

या

या

अब α_n = 62

8 + (6 – 1) d = 62 |∵ T_n = α + (n – 1) d

या 5d = 62 – 8 = 54

या

[su_label](viii) दिया है αn = 4, d = 2, Sn = – 14[/su_label]

∵ α_n = 4
α + (n – 1) d = 4
या α + (n – 1) 2 = 4
या α + 2n – 2 = 4
या α = 6 – 2n …..(1)
और S_n = – 14

या [(1) के प्रयोग से]

या

या 5n – n² – 14 = 0
या n² – 5n – 14 = 0 S = – 5
या n² – 7n + 2n – 14 = 0 P = 1 x – 14
या n² – 7n + 2n – 14 = 0 = – 14
या n(n – 7) + 2 (n – 7) = 0
या (n – 7) (n + 2) = 0
अर्थात् n – 7 = 0 या n + 2 = 0

n = 7 या n = – 2

∵ n ऋणात्मक नहीं हो सकता।

∵ n = – 2 को छोड़ दीजिए।

∴ n = 7

n का मान (1) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
α = 6 – 2 x 7
α = 6 – 14 = – 8

[su_label](ix) दिया है α = 3, n = 8, S = 192[/su_label]

∵ S = 192
⇒ S₈ = 192 [∵ n = 8]

या

या 4 [6 + 7d] = 192

या

या 7d = 48 – 6 = 42

या

[su_label](x) दिया है। l = 28, S = 144 और कुल पद 9 हैं।[/su_label]

∴ n = 9; 1 = α₉ = 28 ; S₉ = 144
∵ α₉ = 28
या α + (9 – 1)d = 28 |∵ α_n = T_n = 9 + (n – 1)d …(1)
या α + 8d = 28
और S₉ = 144

या

α = 32 – 28 = 4

[su_note]प्रश्न 4. 636 योग प्राप्त करने के लिए, A.P.; 9, 17, 25 … के कितने पद लेने चाहिए?[/su_note]

[su_label]हल : दिया है A.P.[/su_label]

9, 17, 25, …
यहां α = 9, d = 17 – 9 = 8 क्योंकि

S_n= 636

या

या

या n[4n+5]=636
या 4n² + 5n – 636 = 0
α = 4,b = 5, c = – 636
D = (5)² – 4 x 4 x (-636)
= 25 + 10176
= 10201

∴

या या 12.

∵ n ऋणात्मक नहीं हो सकता।

अंत: को छोड़ दीजिए
∴ n = 12
अंतः दी गई A.P. के 12 पदों का योग 636 है। उत्तर

[su_note]प्रश्न 5. किसी A.P. का प्रथम पद 5, अंतिम पद 45 और योग 400 हैं। पदों की संख्या और सार्व अंतर ज्ञात कीजिए?[/su_note]

[su_label]हल : दिया है α = T1 = 5; l = αn = 45[/su_label]

और S_n = 400
∵ T_n = 45
α + (n – 1)d = 45
या 5 + (n – 1) d = 45
या (n – 1) d = 45 – 5 = 40
या (n – 1) d = 40 …(1)
और S_n = 400

या 25n=400

या

n का मान (1), में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है :

(16 – 1) d = 40

या 15d = 40

या

अतः, n = 16 और उत्तर

[su_label]प्रश्न 6. किसी A.P. के प्रथम और अंतिम पद क्रमश: 17 और 350 हैं। यदि सार्व अंतर 9 है, तो इसमें कितने पद हैं और इनका योग क्या है?[/su_label]

[su_label]हल : दिया है कि α = T1 = 17 ;[/su_label]

l = α_n = 350
और d = 9
∵ l = α_n = 350
α + (n – 1) d = 350
17 + (n – 1) 9 = 350
या 9(n – 1) = 350 – 17 = 333

या

या n = 37 + 1 = 38

अब,

= 19 x 367 = 6973
अतः दी गई A.P. के 38 पदों का योग 6973 है। उत्तर

[su_note]प्रश्न 7. उस A.P. के प्रथम 22 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसमें d = 7 है और 22वाँ पद 149 है।[/su_note]

[su_label]हल : दिया है कि d = 7; T22 = 149[/su_label]

और n = 22
∴ T²² = 149
α + (n – 1) d = 149
या α + (22 – 1) 7 = 149
या α + 147 = 149
या α = 149 – 147 = 2

अब,

= 11 x 151 = 1661
अतः, दी गई A.P. के प्रथम 22 पदों का योग 1661 है। उत्तर

[su_note]प्रश्न 8. उस A.P. के प्रथम 51 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसके दूसरे और तीसरे पद क्रमश: 14 और 18 हैं।[/su_note]

[su_label]हल : मान लीजिए ‘α’ और ‘d’ प्रथम पद और सार्व अंतर है।[/su_label]

दिया गया है कि T₂ = 14; T₃ = 18
और n = 51
∵ T₂ = 14
α + (n – 1) d = 14
α + (2 – 1) d = 14
या α + d = 14
या α = 14 – d …..(1)
और T₃ = 18 (दिया है)
α + (n – 1) d = 18
α + (3 – 1) d = 18
या α + 2d = 18
या 14 – d + 2d = 18
या d = 18 – 14 = 4
या d = 4

d का मान (1), में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है :
α = 14 – 4 = 10

अब,

अतः, दी गई A.P. के प्रथम 51 पदों का योग 5610 है। उत्तर

[su_note]प्रश्न 8. उस A.P. के प्रथम 51 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसके दूसरे और तीसरे पद क्रमश: 14 और 18 हैं।[/su_note]
[su_label]हल : मान लीजिए ‘α’ और ‘d’ दी गई A.P. का प्रथम पद और सार्व अंतर है। पहली शर्त के अनुसार,[/su_label]

S₇ = 49

या

या

या α + 3d = 7
या α = 7 – 3d …..(1)

दूसरी शर्त के अनुसार,

S₁₇ = 289

α का मान (1), में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :

7 – 3d + 8d = 17
5d = 17 – 7 = 10

d का मान (1), में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :

α = 7 – 3 x 2
α = 7 – 6 = 1

अब,

= n[1 x n + 1 = n x n
= n ²
अतः, दी गई A.P. के प्रथम n पदों का योग n ² है। उत्तर

[su_note]प्रश्न 10. दर्शाइए कि a1, a2, …an… से एक A.P. बनती है, यदि an नीचे दिए अनुसार परिभाषित है :[/su_note]

(i) a_n = 3 + 4n
(ii) a_n = 9 – 5n
साथ ही, प्रत्येक स्थिति में, प्रथम 15 पदों का योग ज्ञात कीजिए।

[su_label]हल : (i) दिया है कि αn = 3 + 4n …(1)[/su_label]

n के विभिन्न मान (1), में प्रतिस्थापित करने पर,
α₁ = 3 + 4 (1) = 7;
α₂ = 3 + 4 (2) = 11
α₁ = 3 + 4 (3) = 15, …
अब α₂ – α₁, α₃ – α₂ = 15 – 11 = 4
∵ α₂ – α₁ = 11 – 7 = 4
और α₃ – α₂ = 4 = d (मान लीजिए)

∴ दिया गया अनुक्रम A.P. का ही रूप है।

यहाँ α = 7, d = 4 और n = 15
∴

= 15 x 35 = 525

[su_label](ii) दिया है कि αn = 9 – 5n …(1)[/su_label]

n के विभिन्न मान (1) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :

α₁ = 9 – 5(1) = 4 ;
α₂ = 9 – 5(2) = – 1;
α₃ = 9 – 5(3) = – 6
अब, α₂ – α₁, = – 1 – 4 = – 5
और α₃ – α₂ = – 6 + 1 = – 5
∵ α₂ – α₁ = α₃ – α₂ = – 5 = d
(मान लीजिए)

∴ दिया गया अनुक्रम A.P. का ही रूप है।

यहाँ α = 4, d = – 5 और n = 15
∴


= – 465

[su_note]प्रश्न 11. यदि किसी A.P. के प्रथम n पदों का योग 4n – n2 है, तो इसका प्रथम पद (अर्थात् S1) क्या है? प्रथम दो पदों का योग क्या है? दूसरा पद क्या है? इसी प्रकार, तीसरे, 10वें और nd पद ज्ञात कीजिए।[/su_note]

[su_label]हल : दिया है कि A.P. के n पदों का योग है[/su_label]

Sⁿ = 4n – n² …..(1)

n = 1 (1), में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है

S¹ = 4(1) – (1)² = 4 – 1
S₁ = 3
∴ α = T₁ = S₁ = 3

n = 2, (1), में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :

S₂ = 4(2) – (2)² = 8 – 4
S₂ = 4
या T₁ + T₂ = 4
या 3 + T₂ = 4
या T₂ = 4 – 3 = 1

n = 3, (1), में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :

S₃ = 4 (3) – (3)₂ = 12 – 9
S₃ = 3
या S₂ + T₃ = 3 [∵ S₃ = S₂ + T₃]
या 4 + T₃ = 3
या T₃ = 3 – 4 = – 1
अब, d = T₂ – T₁
= 1 – 3 = – 2
T₁₀ = α + (n – 1) d
= 3 (10 – 1) (- 2)
T₁₀ = 3 – 18 = – 15
और T_n, = α + (n – 1) d
= 3 + (n – 1) (- 2)
= 3 – 2n + 2
T_n = 5 – 2n

[su_note]प्रश्न 12. ऐसे प्रथम 40 धन पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए जोकि 6 से विभाज्य हैं।[/su_note]

[su_label]हल : 6 से विभाज्य धन पूर्णांक हैं :[/su_label]

6, 12, 18, 24, 30, 36 42, …
यहाँ α = T₁ = 6, T₂ = 12,
T₃ = 18, T₄ = 24
d = T₂ – T₁ = 12 – 6 = 6

सूत्र का प्रयोग करने पर,

= 20 [12 + 234]
= 20 (246) = 4920

अतः, 6 से विभाज्य प्रथम 40 घन पूर्णांकों का योग 4920 है। उत्तर

[su_note]प्रश्न 13. 8 के प्रथम 15 गुणजों का योग ज्ञात कीजिए।[/su_note]

[su_label]हल : 8 के गुणज हैं : 8, 16, 24, 32, 40, 48, …[/su_label]

यहाँ α = T₁ = 8 ; T₂ = 16 ;
d = T₂ – T₁ = 16 – 8 = 8

सूत्र का प्रयोग करने पर,

अतः, 8 के प्रथम 15 गुणजों का योग 960 है। उत्तर

[su_note]प्रश्न 14. 0 और 50 के बीच की विषम संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।[/su_note]

[su_label]हल : 0 और 50 के बीच की विषम संख्याएँ हैं :[/su_label]

1, 3, 5, 7, 9, …, 49
यहाँ α = T₁ = 1 ; T₂ = 3 ;
और l = T_n = 49
d = T₂ – T₁ = 3 – 1 = 2
साथ ही l = T_n, = 49
α + (n – 1) = 49
1 + (n – 1) 2 = 49
या 2(n – 1) = 49 – 1 = 48
या
या n = 24 + 1 = 25

सूत्र का प्रयोग करने पर,

अतः, 0 और 50 के बीच की विषम संख्याओं का योग 625 है। उत्तर

[su_note]प्रश्न 15. निर्माण कार्य से संबंधित किसी ठेके में, एक निश्चित तिथि के बाद कार्य को विलंब से पूरा करने के लिए, जुर्माना लगाने का प्रावधान इस प्रकार हैं :[/su_note]

पहले दिन के लिए ₹ 200 दूसरे दिन के लिए ₹ 250, तीसरे दिने के लिए ₹ 300 इत्यादि, अर्थात् प्रत्येक उत्तरोत्तर दिन का जुर्माना अपने से ठीक पहले दिन के जुर्माने से ₹ 50 अधिक है। एक ठेकेदार को जुर्माने के रूप में कितनी राशि अदा करनी पड़ेगी, यदि वह इस कार्य में 30 दिन का विलंब कर देता है?

[su_label]हल : पहले, दूसरे और तीसरे दिन के विलंब के लिए जुर्माना है : ₹ 200, ₹ 250, ₹ 300[/su_label]
अब, जुर्माना अगले दिन ₹ 50 के अंतर से बढ़ता जाता है
∴ अभीष्ट A.P. है : 200, 250, 300, 350, …
यहाँ α = T₁ = 200 ; d = 50 और n = 30
30 दिन के पश्चात् दी जाने वाली जुर्माने की राशि
= S₃₀

= 15 [400 + 1450]
= 15 (1850) = 27750
अतः, यदि ठेकेदार कार्य में 30 दिन विलंब करता है, तो उसे जुर्माने के रूप में ₹ 27,750 देने होंगे। उत्तर

[su_note]प्रश्न 16. किसी विद्यालय के विद्यार्थियों को उनके समग्र शैक्षिक प्रदर्शन के लिए 7 नकद पुरस्कार देने के लिए ₹ 700 की राशि रखी गई है। यदि प्रत्येक पुरस्कार अपने से ठीक पहले पुरस्कार से ₹ 20 कम है, तो प्रत्येक पुरस्कार का मान ज्ञात कीजिए।[/su_note]

[su_label]हल : मान लीजिए पहले विद्यार्थी को दी गई पुरस्कार की राशि = ₹ ????[/su_label]

दूसरे विद्यार्थी को दी गई पुरस्कार की राशि = ₹ (???? – 20)
तीसरे विद्यार्थी को दी गई पुरस्कार की राशि = ₹ [???? – 20 – 20]

= ₹ (???? – 40)

∴ अभीष्ट अनुक्रम है :
????, (???? – 20), (???? – 40), …
जो कि एक A.P. बनाती है, जिसमें
α = x d = – 20 और n = 7

सूत्र का प्रयोग करने पर,

प्रश्न के अनुसार,
7(???? – 60) = 700

x = 100 + 60
x = 160
अतः, 7 पुरस्कार हैं : ₹ 160, ₹ 140, ₹ 120, ₹ 100, ₹ 80, ₹ 60, ₹ 40 उत्तर

[su_note]प्रश्न 17. एक स्कूल के विद्यार्थियों ने वायु प्रदूषण कम करने के लिए स्कूल के अंदर और बाहर पेड़ लगाने के बारे में सोचा। यह निर्णय लिया गया कि प्रत्येक कक्षा का प्रत्येक अनुभाग अपनी कक्षा की संख्या के बराबर पेड़ लगाएगा। उदाहरणार्थ, कक्षा I का एक अनुभाग 1 पेड़ लगाएगा, कक्षा II का एक अनुभाग 2 पेड़ लगाएगा, कक्षा III का एक अनुभाग 3 पेड़ लगाएगा, इत्यादि और ऐसा कक्षा XII तक के लिए चलता रहेगा। प्रत्येक कक्षा के तीन अनुभाग हैं। इस स्कूल के विद्यार्थियों द्वारा लगाए गए कुल पेड़ों की संख्या कितनी होगी?[/su_note]

[su_label]हल : कक्षा I के तीन अनुभागों द्वारा लगाए गए पेड़ों की संख्या = 3 x 1 = 3[/su_label]

कक्षा II के तीन अनुभागों द्वारा लगाए गए पेड़ों की संख्या = 3 x 2 = 6
कक्षा III के तीन भागों द्वारा लगाए गए पेड़ों की संख्या = 3 x 3 = 9
कक्षा XII के तीन अनुभागों द्वारा लगाए गए पेड़ों की संख्या = 3 x 12 = 36

∴ अभीष्ट A.P. है : 3, 6, 9,…, 36
यहाँ, α = T₁ = 3 ; T₂ = 6; T₃ = 9
और l = T_n, = 36 ; n = 12
d = T₂ – T₁ = 6 – 3 = 3

विद्यार्थियों द्वारा लगाए गए पेड़ों की कुल संख्या = S₁₂

विद्यार्थियों द्वारा लगाए गए पेड़

अतः, वायु प्रदूषण को रोकने के लिए विद्यार्थियों द्वारा 234 पेड़ लगाए
जाएँगे। उत्तर

[su_note]प्रश्न 18. केंद्र A से प्रारंभ करते हुए, बारी-बारी से केंद्रों A और B को लेते हुए,त्रिज्याओं 0.5 cm, 1.0 cm, 1.5 cm, 2.0 cm,….वाले उतरोत्तर अर्धवृत्तों को खींचकर एक सर्पिल (Spiral) बनाया गया है, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। तेरह क्रमागत अर्धवृत्तों से बने इस सर्पिल की कुल लंबाई क्या है?[/su_note]

( लीजिए ) [संकेत : क्रमश: केंद्रों A, B, A, B,… वाले अर्धवृत्तों के परिमाप l₁, l₂, l₃, l₄, हैं।

[su_label]हल : मान लीजिए l1 = प्रथम अर्धवृत्त का परिमाप[/su_label]

l₂ = दूसरे अर्धवृत्त का परिमाप

= ????r₂ = ????(1) = ????

l₃ तीसरे अर्धवृत्त का परिमाप

और l₄ = चौथे अर्धवृत्त का परिमाप

= ????r₄ = ????(2) = 2???? इसी तरह आगे भी

∵ उत्तरोत्तर अर्धवृत्तों के परिमाप एक A.P. बनाते हैं।

यहाँ

और n = 13

सर्पिल की कुल लंबाई = S₁₃

अतः, तेरह क्रमागत अर्धवृत्तों से बने सर्पिल की कुल लंबाई 143 cm है। उत्तर

[su_note]प्रश्न 19. 200 लट्ठों (logs) को ढेरी के रूप में इस प्रकार रखा जाता है : सबसे नीचे वाली पंक्ति में 20 लट्टे, उससे अगली पंक्ति में 19 लढे, उससे अगली पंक्ति में 18 लढे, इत्यादि (देखिए आकृति)। ये 200 लढे कितनी पंक्तियों में रखे गए हैं तथा सबसे ऊपरी पंक्ति में कितने लढे हैं?[/su_note]

[su_label]हल : सबसे नीचे वाली (पहली) पंक्ति में लट्ठों की संख्या = 20[/su_label]
दूसरी पंक्ति में लट्ठों की संख्या = 19
तीसरी पंक्ति में लट्ठों की संख्या = 18
इसी प्रकार आगे भी

∴ प्रत्येक पंक्ति में रखे गए लट्ठों की संख्या एक A.P. बनाती है।

यहाँ α = T₁ = 20 ;
T₂ = 19 ; T₃ = 18…
d = T₂ – T₁
= 19 – 20 = – 1
मान लीजिए S_n लट्ठों की कुल संख्या को व्यक्त करता है। सूत्र का प्रयोग करने पर,

∴


प्रश्न के अनुसार,

या 41n² – n² = 400
या – n² + 41n – 400 = 0
या n² – 41n + 400 = 0 |S = – 41
या n² – 16n – 25n + 400 = 0 |P = 400
या n (n – 16) – 25 (n – 16) = 0
या (n – 16) (n – 25) = 0
अर्थात् n – 16 = 0 या n – 25 = 0
अथवा n = 16 या n = 25
∴ n = 16, 25.

स्थिति I. जब n = 25

T²⁵ = α + (n – 1) d
= 20 + (25 – 1) (- 1)
= 20 – 24 = – 4 ; जोकि असंभव है
∴ n = 25 छोड़ देते हैं
स्थिति II. जब n = 16
T¹⁶ = α + (n – 1) d
= 20 + (16 – 1) (- 1)
= 20 – 15 = 5
अतः, कुल 16 पंक्तियाँ हैं और सबसे ऊपरी पंक्ति में 5 लट्ठे हैं। उत्तर

[su_note]प्रश्न 20. एक आलू दौड़ (potato race) में, प्रारंभिक स्थान पर एक बाल्टी रखी हुई है, जो पहले आलू से 5 m की दूरी पर है, तथा अन्य आलुओं को एक सीधी रेखा में परस्पर 3 m की दूरियों पर रखा गया है। इस रेखा पर 10 आलू रखे गए हैं (देखिए आकृति)।[/su_note]

प्रत्येक प्रतियोगी बाल्टी से चलना प्रारंभ करती है, निकटतम आलू को उठाती है, उसे उठाकर वापस आकर दौड़कर बाल्टी में डालती है, दूसरा आलू उठाने के लिए वापस दौड़ती है, उसे उठाकर वापस आकर बाल्टी में डालती है, और वह ऐसा तब तक करती रहती है, जब तक सभी आलू बाल्टी में न आ जाएँ। इसमें प्रतियोगी को कुल कितनी दूरी दौड़नी पड़ेगी.

[संकेत : पहले और दूसरे आलुओं को उठाकर बाल्टी में डालने तक दौड़ी गई दूरी = 2 x 5 + 2 x (5 + 3) है।]

[su_label]हल : पहला आलू उठाने के लिए तय की गई दूरी[/su_label]

= 2(5) m = 10 m

उतरोत्तर आलुओं के बीच की दूरी = 3 m
∴ दूसरा आलू उठाने के लिए तय की गई दूरी
= 2 (5 + 3) m = 16 m
तीसरा आलू उठाने के लिए तय की गई दूरी
= 2 (5 + 3 + 3) m
= 22 m

और यह प्रक्रिया चलती रहती है। इससे स्पष्ट है कि यह स्थिति एक A.P. बन जाती है।

10, 16, 22, 22, 28, …
यहाँ α = T₁ = 10; T₂ = 16; T₃ = 22, …
d = T₂ – T₁ = 16 – 10 = 6
और n = 10
∴ प्रतियोगी को कुल जितनी दूरी दौड़नी पड़ेगी समांतर श्रेढ़ी

= S₁₀

= 5[20 + 54]
5 x 74 = 370

अतः, प्रतियोगी को कुल 370 m की दूरी दौड़नी पड़ेगी। उत्तर

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