Class 10 Maths Chapter 3 Exercise 3.2 – दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म

Class 10 Maths Chapter 3 Exercise 3.2 – दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म

जो विद्यार्थी 10वीं कक्षा में पढ़ रहे है उनके लिए यहां पर एनसीईआरटी कक्षा 10 गणित अध्याय 3. (दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म ) प्रश्नावली 3.2 के लिए सलूशन दिया गया है. जोकि एक सरल भाषा में दिया है .ताकि विद्यार्थी को पढने में कोई दिक्कत न आए .इसकी मदद से आप अपनी परीक्षा में अछे अंक प्राप्त कर सकते है. इसलिए निचे आपको एनसीईआरटी समाधान कक्षा 10 गणित अध्याय 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म प्रश्नावली 3.2 दिया गया है .

Class 10th Maths दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म (प्रश्नावली 3.2)

(i) कक्षा X के 10 विद्यार्थियों ने गणित की पहेली प्रतियोगिता में भाग लिया। यदि लड़कियों की संख्या लड़कों की संख्या 4 से अधिक हो, तो प्रतियोगिता में भाग लेने वाले लड़के और लड़कियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
(ii) 5 पेंसिलों और 7 कलमों का मूल्य ₹ 50 है, जबकि 7 पेंसिलों और 5 कलमों का मूल्य ₹ 46 है। एक पेंसिल और एक कलम का मूल्य ज्ञात कीजिए।

प्रतियोगिता में लड़कों की संख्या = ????
और प्रतियोगिता में लड़कियों की संख्या = y
प्रतियोगिता में भाग लेने वाले कुल विद्यार्थी = 10

∴ ???? + y = 10
या ???? + y – 10 = 0

प्रश्न अनुसार,
y = ???? + 4
या ???? = y – 4

अब रैखिक समीकरणों

???? + y = 10
और ???? – y + 4 = 0 का आलेख खींचिए।

???? + y = 10
या ???? = 10 – y …(1)

y = 0 को (1) में प्रतिस्थापित करनेपर हमें प्राप्त होता है।

???? = 10 – 0 = 10

y = 7 को (1) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है

???? = 10 – 7 = 3

y = 10 को (1) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है
???? = 10 – 10 = 0

सारणी

बिंदुओं A (10, 0), B (3, 7), C (0, 10) को आलेखित करने और उनको मिलाते हुए रेखा खींचने पर हमें समीकरण ???? + y = 10 का आलेख प्राप्त होता है।

???? – y + 4 = 0
या ???? = y – 4 …(2)
y = 0 को (2) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है।

???? = 0 – 4 = – 4
y = 7 को (2) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है।

???? = 7 – 4 = 3
y = 4 को (2) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है।

???? = 4 – 4 = 0

सारणी

बिंदुओं D (- 4, 0), B (3, 7), E (0, 4) को आलेखित करने और उनको मिलाते हुए रेखा खींचने पर हमें समीकरण ???? – y + 4 = 0 का आलेख प्राप्त होता है।

आलेख से यह स्पष्ट है कि दोनों रैखिक समीकरण बिंदु B (3, 7) पर मिलते
∴ बिंदु B (3, 7) आलेखीय स्थिति है।

अतः प्रतियोगिता में लड़कों की संख्या = 3
प्रतियोगिता में लड़कियों की संख्या = 7

(ii) मान लीजिए 1 पेंसिल का मूल्य = ₹ ????
और 1 कलम का मूल्य = ₹ y
पहली शर्त अनुसार,

5???? + 7y = 50
दूसरी शर्त अनुसार,

7???? + 5y = 46
∴ रैखिक समीकरण युग्म है :

5???? + 7y = 50
7???? + 5y = 46

अब इन रैखिक समीकरणों का आलेख खींचिए :

5???? + 7y = 50
या 5???? = 50 – 7y

या ….(1)

y = 0 को (1) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है।

x = 10
y = 5 को (1) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है।

y = 7 को (1) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है।

सारणी

बिंदुओं A (10, 0), B (3, 5), C (0.2, 7) को आलेखित करने और उनको मिलाते हुए रेखा खीचने पर हमें समीकरण 5???? + 7y = 50 का आलेख प्राप्त होता है।

7???? + 5y = 46
या 7???? = 46 – 5y

या …(2)

y = 0 को (2) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है।

= 6.5

y = 5 को (2) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है।

y = – 4 को (2) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है।

सारणी

बिंदुओं E (6.5, 0), B (3, 5), F (9.5, – 4) को आलेखित करने और उनको मिलाते हुए रेखा खीचने पर हमें समीकरण 7???? + 5y = 46 का आलेख प्राप्त होता है। आलेख से यह स्पष्ट है कि दोनों रैखिक समीकरण बिंदु B (3, 5) पर मिलते हैं .:. ∴ बिंदु B (3, 5) आलेखीय स्थिति है।

प्रश्न 2.अनुपातों और की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, समांतर हैं या संपाती हैं :

(i) 5x – 4y + 8 = 0
7x + 6y – 9 = 0

(ii) 9x + 3y + 12 = 0
18x + 6y + 24 = 0

(iii) 6x – 3y + 10 = 0
2x – y + 9 = 0

5???? – 4y + 8 = 0
और 7???? + 6y – 9 = 0

यहाँ α₁ = 5, b₁ = – 4, c₁ = 8
α₂ = 7, b₂ = 6, c₂ = – 9

अब,

अतः, दी गई रैखिक समीकरण युग्म एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।

9???? + 3y + 12 = 0
और 18???? + 6y + 24 = 0
यहाँ α₁ = 9, b₁ = 3, c₁ = 12

α₂ = 18,b₂ = 6, c₂ = 24

अब

अतः, दी गई समीकरण-युग्म संपाती हैं।

6???? – 3y + 10 = 0

और 2???? – y + 9 = 0

यहाँ α₁ = 6, b₁ = – 3, c₁ = 10

α₂ = 2, b₂ = – 1, c₂ = 9

अब,

अतः, दी गई रैखिक समीकरण-युग्म एक दूसरे समांतर है।

प्रश्न 3. अनुपातों और की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म संगत हैं या असंगत है :

(i) 3x + 2y = 5; 2x – 3y = 7

(ii) 2x – 3y = 8; 4x – 6y = 9

(iii)

(iv) 5x – 3y = 11; – 10x + 6y = – 22

(v) x+2y = 8; 2x + 3y = 12

3???? + 2y = 5और 2???? – 3y = 7

या 3???? + 2y – 5 = 0

और 2???? – 3y – 7 = 0

यहाँ α₁ = 3, b₁ = 2, c₁ = – 5

α₂ = 2, b₂ = – 3, c₂ = – 7

अब

∴

अतः दी गई रैखिक समीकरण-युग्म संगत है।

2???? – 3y = 8

और 4???? – 6y = 9

या 2???? – 3y – 8 = 0

4???? – 6y – 9 = 0

यहाँ α₁ = 2, b₁, = – 3, c₁ = – 8

α₂ = 4, b₂ = – 6, c₂ = – 9

अब

∴

अतः, दी गई रैखिक समीकरण-युग्म असंगत है

और 9???? – 10y = 14

या

और 9???? – 10y – 14 = 0

यहाँ

α₂ = 9, b₂ = – 10, c₂ = – 14

अब

∴

अतः, दी गई रैखिक समीकरण-युग्म असंगत है।

5???? – 3y = 11

और – 10???? + 6y = – 22

या 5???? – 3y – 11 = 0

और – 10???? + 6y + 22 = 0

यहाँ α₁ = 5, b₁ = – 3, c₁ = – 11

α₂ = – 10, b₂ = 6, c₂ = 22

∵

अतः, दी गई रैखिक समीकरण-युग्म संगत है

???? + 2y = 8 और 2???? + 3y = 12

और ???? + 2y – 8 = 0

या 2???? + 3y – 12 = 0

यहाँ

α₂ = 2, b₂ = 3,c₂ = – 12

अब

∴

अतः, दी गई रैखिक समीकरण-युग्म संगत है।

(i) x + y = 5, 2x + 2y = 10
(ii) x – y = 8, 3x – 3y = 16
(iii) 2x + y – 6 = 0, 4x – 2y – 4 = 0
(iv) 2x – 2y – 2 = 0, 4x – 4y – 5 = 0

x + y = 5

और 2x + 2y = 10

या x + y – 5 = 0

2x + 2y – 10 = 0

यहाँ α₂ = 1, b₂ = 1, c₂ = – 5

α₂ = 2, b₂ = 2, c₂ =

∴

दी गई रैखिक समीकरण युग्म संगत है।

∴ दी गई रैखिक समीकरण युग्म का आलेख खींचिए

???? + y = 5
???? = 5 – y ….(1)

???? = 0 को (1) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है
???? = 5 – 0 = 5

???? = 3 को (1) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है
???? = 5 – 3 = 2

y = 5 को (1) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है।
???? = 5 – 5 = 0

सारणी

बिंदुओंA (5, 0), B (2, 3), C (0, 5) को आलेखित करने और उनको मिलाते हुए रेखा खींचने पर हमें समीकरण ???? + 1 = 5 का आलेख प्राप्त होता है।

2???? + 2y = 10 या 2 (???? + y) = 10
या ???? + y = 5
या ???? = 5 – y …(2)

y = 0 को (1) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
???? = 5 – 0 = 5

y = 2 को (2) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
???? = 5 – 2 = 3

y = 5 को (2) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
???? = 5 – 5 = 0

सारणी

बिंदुओंA (5, 0), D (3, 2), C (0, 5) को आलेखित करने और उनको मिलाते हुए रेखा खींचने पर हमें समीकरण 2???? + 2y = 10 का आलेख प्राप्त होता है।

आलेख से यह स्पष्ट है कि दी गई रैखिक समीकरण युग्म संपाती रेखाएँ हैं या इनके अपरिमित रूप से अनेकों हल हैं।

x – y = 8

और 3x – 3y = 16

या x – y – 8 = 0

और 3x – 3y – 16 = 0

यहाँ α₁ = 1,b₁ = – 1,c₁= – 8

α₂ = 3,b₂ = – 3,c₂= – 16

अब

∴

अतः, दी गई रैखिक समीकरण-युग्म असंगत है।

2???? + y – 6 = 0

और 4???? – 2y – 4 = 0

यहाँ α₁ = 2, b₁ = 1, c₁ = – 6

α₂ = 4, b₂ = – 2, c₂ = – 4

अब,

∴

∴ दी गई रैखिक समीकरण-युग्म संगत है।

इन रैखिक समीकरणों का आलेख खींचिए

2???? + y – 6 = 0

या 2???? = 6 – y

या ….(1)

y = 0 को (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है :

y = 2 को (1), में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है :

y = – 2 को (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है

सारणी

बिंदुओं A (3, 0), B (2, 2), C (4, – 2) को आलेखित करने और उनको मिलाते हुए रेखा खींचने पर हमें समीकरण 2???? + y – 6 = 0 का आलेख प्राप्त होता है।

4???? – 2y – 4 = 0

या 2[2???? – y – 2] = 0

या 2???? – y – 2 = 0

या 2???? = y + 2

या …(2)

y = 0 को (2) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है

y = 2 को (2) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है

y = – 2 को (2) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है

सारणी

बिंदुओं D (1, 0), B (2, 2), E (0, – 2) को आलेखित करने और उनको मिलाते हुए रेखा खींचने पर हमें समीकरण 4???? – 2y – 4 = 0 का आलेख प्राप्त होता है।

आलेख से यह स्पष्ट है कि दी गई समीकरण-युग्म बिंदु B (2, 2) पर मिलती है।

अतः, दी गई रैखिक समीकरण-युग्म अद्वितीय है।

2???? – 2y – 2 = 0

और 4???? – 4y – 5 = 0

यहाँ α₁ = 2, b₁ = – 2, c₁ = – 2

α₂ = 4, b₂ = – 4, c₂ = – 5

अब

∴

अतः, दी गई समीकरण युग्म असंगत है।

हल : मान लीजिए बाग की लंबाई = ???? m
बाग की चौड़ाई = y m
बाग का परिमाप = 2 [???? + y] m
बाग के परिमाण का आधा = (???? + y) m

प्रश्न की पहली शर्त अनुसार,
???? = y + 4

प्रश्न की दूसरी शर्त का अनुसार,
???? + y = 36

∴ रैखिक समीकरण-युग्म है :
???? = y + 4

और ???? + y = 36

???? = y + 4 …(1)

y = 0 को (1) में प्रतिस्थापित करनेपर हमें प्राप्त होता है :
???? = 0 + 4 = 4

y = – 4 को (1) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
???? = – 4 + 4 = 0 y

y = 16 को (1) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
x = 16 + 4 = 20

सारणी

बिंदुओं A (4, 0), B (0, – 4), C (20, 16) को आलेखित करने और उनको मिलाते हुए रेखा खींचने पर हमें समीकरण ???? = y + 4 का आलेख प्राप्त होता है।

???? + y = 36
???? = 36 – y

y = 12 को (2) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
???? = 36 – 12 = 24

y = 24 को (2) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
???? = 36 – 24 = 12

y= 16 को (2) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
???? = 36 – 16 = 20

सारणी

बिंदुओं D (24, 12), E (12, 24), C (20, 16) को आलेखित करने और उनको मिलाते हुए रेखा खींचने पर हमें समीकरण ???? + y = 36 का आलेख प्राप्त होता है।

आलेख से यह स्पष्ट है कि रैखिक समीकरणों का युग्म बिंदु C (20, 16) पर मिलता है।

∴ C (20, 16) अर्थात् ???? = 20 और y = 16 रैखिक समीकरण युग्म का हल है।

अतः,

बाग की लंबाई = 20 m
बाग की चौड़ाई = 16 m
एक अन्य विधि

मान लीजिए बाग बाग की चौड़ाई = ???? m
बाग की लंबाई = (???? + 4) m
बाग का परिमाप = 2 [लंबाई + चौड़ाई

= 2 [???? + ???? + 4] m
= [2???? + 4] m

∴ बाग के परिमाप का आधा

= (2∴ + 4) m
प्रश्न अनुसार,

2???? + 4 = 36

या 2???? = 36 – 4

या 2???? = 32

या

अतः, बाग की चौड़ाई = 16 m

और बाग की लंबाई = (16 + 4) m
= 20 m

(i) प्रतिच्छेदित रेखाएँ हों
(ii) समांतर रेखाएँ हों
(iii) संपाती रेखाएँ हों

2???? + 3y – 8 = 0 …(1)
यहाँ पर प्रतिच्छेदित रेखाएं की शर्तों को पूरा करने के लिए अनेक मान है
अर्थात

इनमें से एक है :
3???? – 2y – 6 = 0 …(2)

अब रैखिक समीकरण (1) और (2) का आलेख खींचिए।

2???? + 3y – 8 = 0

2???? = 8 – 3y

या …(1)

y = 0 को (1) में प्रतिस्थापित करनेपर हमें प्राप्त होता है :

y = – 2 को (1) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :

y= 2 को (1) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :

सारणी

बिंदुओं A (4, 0), B (7, – 2), C (1, 2) को आलेखित करने और उनको मिलाने पर प्राप्त रेखा खींचने पर हमें समीकरण 2???? + 3y, – 8 = 0 का आलेख प्राप्त होता है।

3???? – 2y – 6 = 0

या 3???? = 6 + 2y

या ….(2)

y = 0 को (1) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :

को y = – 3 को (1) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :

y = 3 को (2) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :

सारणी

बिंदुओं D (2, 0), E (0, -3), F (4, 3) को आलेखित करने और उनको मिलाने पर प्राप्त रेखा खींचने पर हमें समीकरण 3???? – 2y – 6 = 0 का आलेख प्राप्त होता है। आलेख से यह स्पष्ट है कि रैखिक किरण युग्म बिंदु G पर प्रतिच्छेद करता है।

स्थिति II. समांतर रेखाएँ दी गई रैखिक किए समीकरण है :

2???? + 3y – 8 = 0 …(1)
यहाँ दो चरों वाली और भी अधिक रैखिक समीकरण हो सकते हैं जो

समांतर रेखाओं की शर्त के संतुष्ट करते हैं अर्थात्
उनमें से एक है :

2???? + 3y – 5 = 0 …(3)
अब रैखिक समीकरण (1)और (3) का आलेख खींचिए। रैखिक समीकरण 2???? + 3y – 8 = 0 के लिए आलेख है:

सारणी

2???? + 3y – 5 = 0

या 2???? = 5 – 3y

या …(3)

y = 0 को (3) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :

y = 3 को (3) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :

y = – 3 को (3) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :

सारणी

बिंदुओं G (2.5, 0), H (- 2, 3), I (7, – 3) को आलेखित करने और उनको मिलाकर रेखा खींचने से हमें समीकरण 2x + 3y – 5 = 0 का आलेख प्राप्त होता है। स्थिति III. संपाती रेखाओं के लिए दी गई रैखिक समीकरण है

2???? + 3y – 8 = 0 …(1)

दो चरों में ऐसे और भी अधिकतम अन्य रैखिक समीकरण हो सकते हैं जो संपाती रेखाओं की शर्त को संतुष्ट करते हों अर्थात्

अतः उनमें से एक इस प्रकार है :

6???? + 9y – 24 = 0 …(4)

अब रैखिक समीकरणों (1) और (4) का आलेख खींचिए। रैखिक समीकरण (4) लीजिए

6???? + 9y – 24 = 0

या 3 [2???? + 3y – 8] = 0

या 2???? + 3y – 8 = 0

∴ दोनों में बिंदु एक समान है और दोनों समीकरणों की एक ही रेखा है।

???? – y + 1 = 0

और 3???? + 2y – 12 = 0

???? – y + 1 = 0

या ???? = y – 1 …(1)

y = 0 को (1) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :

???? = 0 – 1 = – 1

y = 3 को (1) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :

???? = 3 – 1 = 2

y = 1 को (1) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :

???? = 1 – 1 = 0

सारणी

बिंदुओं A (-1,0), B (2, 3), C (0, 1) को आलेखित करने और उनको मिला कर रेखा खींचने पर हमें समीकरण x – + 1 = 0 का आलेख प्राप्त होता है।

3???? + 2y – 12 = 0

या 3???? = 12 – 2y

या …(2)

y = 0 को (2) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :

y = 3 को (2), में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :

y = 6 को (2) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :

सारणी

बिंदुओं D (4, 0), B (2, 3), E (0, 6) को आलेखित करने और उनको मिलाकर रेखा खींचने पर हमें समीकरण 3???? + 2y – 12 = 0

आलेख प्राप्त होता है। रैखिक समीकरणों के युग्म और x-अक्ष द्वारा बनाए गए त्रिभुज के शीर्षों को आलेख में छायांकित किया गया है।

∆ABD इस प्रकार बनी त्रिभुज है।

∆ABD के शीर्षों के निर्देशांक हैं : A (- 1, 0), B (2, 3) और D (4, 0)

अब, आधार AD की लंबाई = AO + OD

= 1 + 4 = 5 मात्रक

लंब BF की लंबाई = 3 units

∴ ∆ABD का क्षेत्रफल = x आधार x लंब

वर्ग मात्रक

वर्ग मात्रक

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Class 10 Maths Chapter 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म Exercise 3.1
Class 10 Maths Chapter 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म Exercise 3.2
Class 10 Maths Chapter 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म Exercise 3.3
Class 10 Maths Chapter 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म Exercise 3.4
Class 10 Maths Chapter 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म Exercise 3.5
Class 10 Maths Chapter 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म Exercise 3.6
Class 10 Maths Chapter 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म Exercise 3.7